CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €20 000 под 3 % годовых с непрерывным начислением процентов. Найдите стоимость FV через 6 лет.

PV = €20 000r = 3%t = 6

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Кредит €12 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 6 лет. Ставка — 2,4 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный платёж A.

P = €12 0002,4% / 12N = 72

A = €

3.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €45 000 даёт в конце лет с 1 по 4 такие денежные потоки: €20 000, €16 000, €17 000, €21 000. Стоимость капитала — 10 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 10%CF₀ = −45 000CF₁ = 20 000CF₂ = 16 000CF₃ = 17 000CF₄ = 21 000

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €100 000 сегодня. Его денежный поток в конце года 1 равен €9 000 и растёт на 4 % в год до последнего денежного потока в конце года 10. Стоимость капитала — 12 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €100 000CF₁ = €9 000g = 4%n = 10r = 12%

NPV = €

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 6%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 9 лет. Доходность к погашению — 3,5% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 6%YTM = 3,5%n = 9

P = €

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 3% и погашается через 3 лет. Доходность к погашению — 5%. Найдите дюрацию Маколея D в годах.

F = €1 000купон = 3%n = 3YTM = 5%

D = годы

7.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €5 000 000 и долг стоимостью €2 000 000. Стоимость собственного капитала — 14%, стоимость заёмного капитала до налогов — 4%, ставка налога — 30%. Найдите WACC.

E = €5 000 000D = €2 000 000r_e = 14%r_d = 4%T = 30%

WACC = %

8.CAPM и WACCСложная

У компании 4 000 000 акций по €40,00 за штуку и 20 000 облигаций рыночной стоимостью €1 020 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 7%, ставка налога — 30%. Бета акции — 0,6, безрисковая ставка — 3%, доходность рынка — 7,5%. Найдите WACC.

β = 0,6r_f = 3%r_m = 7,5%r_d = 7%T = 30%

WACC = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 29, 18, 45, 46, 16.

n = 5

s =

10.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 70 и стандартным отклонением 20. Какая доля P значений меньше 78?

μ = 70σ = 20x = 78

P =

11.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,35, 0,25, 0,05, 0,25, 0,1

Var(X) =

12.ВероятностьСложная

В тесте 8 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,2, независимо. Какова вероятность P ровно 4 верных ответов?

n = 8p = 0,2k = 4

P =

13.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,6047. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,6047

z =

14.Нормальное распределениеСложная

Распределение «значения роста взрослых мужчин» нормальное: среднее 178 cm, стандартное отклонение 7 cm. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 75% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm75%

x = cm

15.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 21 элементов имеет среднее 31 и стандартное отклонение s = 17,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 21x̄ = 31s = 17,590%t(20) = 1,725

E =

16.Доверительные интервалыСложная

Диаметры 16 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 5,2 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — верхняя граница σ. При df = 15 2,5 % распределения χ² лежит ниже 6,262 и 2,5 % — выше 27,488.

n = 16s = 5,2 µmχ² = 6,262, 27,488

σ = µm

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 100 студентов имеет средний балл 499,4 и выборочное стандартное отклонение 4. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 499,4s = 4n = 100

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 64 измерений имеет среднее 121,1. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 10. Найдите нижнюю границу L 95 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 121,1σ = 10n = 6495%

L =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5

r =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (26,5, 91). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(26,5, 91)

e =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 23944 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Показатель степени

r·t = 0,03·6 = 0,18

e^0,18 = 1,197

Будущая стоимость

FV = 20 000·1,197 = €23 944,35

Ответ

FV = €23 944,35

2.Временная стоимость денег

Ответ: A = 179,1 €

Месячная ставка и число платежей

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·6 = 72

Платёж

Приведённая стоимость N равных платежей A равна A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Приравняйте её к кредиту и найдите A.

(1 + i)^−N = 0,866

A = 12 000·0,002/(1 − 0,866) = €179,12

Ответ

A = €179,12

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = 13521 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 20 000/1,1 = 18 181,82

CF₂/(1 + 0,1)² = 16 000/1,21 = 13 223,14

CF₃/(1 + 0,1)³ = 17 000/1,331 = 12 772,35

CF₄/(1 + 0,1)⁴ = 21 000/1,464 = 14 343,28

Сложите

NPV = €13 520,59

Ответ

NPV = €13 520,59

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

4.NPV и IRR

Ответ: NPV = −41117 €

Приведённая стоимость растущего аннуитета

((1,04)/(1,12))¹⁰ = 0,4766

PV = 9 000/(0,12 − 0,04)·(1 − 0,4766) = 58 882,61

NPV

NPV = 58 882,61 − 100 000 = −€41 117,39

Ответ

NPV = −€41 117,39

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 1192 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €30,00, i = 0,0175, N = 18

Приведённая стоимость купонов

€30,00·(1 − 0,7318)/0,0175 = €459,81

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,7318 = €731,78

Цена

P = €1 191,59

Ответ

P = €1 191,59

Доходность ниже купонной ставки, поэтому облигация продаётся с премией.

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: D = 2,911 годы

Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Приведённая стоимость каждого потока

t = 1: 30/1,05 = 28,57, t·PV = 28,57

t = 2: 30/1,103 = 27,21, t·PV = 54,42

t = 3: 1030/1,158 = 889,75, t·PV = 2 669,26

Дюрация

P = 945,54

D = 2 752,25/945,54 = 2,911

Ответ

D = 2,911 годы

7.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 10,8 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €7 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857

WACC

WACC = 0,7143·14% + 0,2857·4%·(1 − 0,3) = 10,8%

Ответ

WACC = 10,8%

8.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 5,61 %

Рыночные стоимости

E = 4 000 000·€40,00 = €160 000 000

D = 20 000·€1 020 = €20 400 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 3% + 0,6·4,5% = 5,7%

Веса

V = €180 400 000, E/V = 0,8869, D/V = 0,1131

WACC

WACC = 0,8869·5,7% + 0,1131·7%·(1 − 0,3) = 5,61%

Ответ

WACC = 5,61%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 14,31

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 154/5 = 30,8

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−1,8)² + (−12,8)² + 14,2² + 15,2² + (−14,8)² = 818,8

Стандартное отклонение

s = √(818,8/4) = 14,31

Ответ

s = 14,31

10.Описательная статистика

Ответ: P = 0,6554

Стандартизуйте

z = 0,4

Таблица нормального распределения

Φ(0,4) = 0,6554

P = 0,6554

Ответ

P = 0,6554

11.Вероятность

Ответ: Var(X) = 2,05

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 1·0,35 + 2·0,25 + 3·0,05 + 4·0,25 + 5·0,1 = 2,5

Среднее квадратов

E(X²) = 1·0,35 + 4·0,25 + 9·0,05 + 16·0,25 + 25·0,1 = 8,3

Дисперсия

Var(X) = 8,3 − 2,5² = 2,05

Ответ

Var(X) = 2,05

12.Вероятность

Ответ: P = 0,04588

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Формула Бернулли

P(X = 4) = 70·0,2⁴·0,8⁴ = 70·0,0016·0,4096 = 0,04588

Ответ

P = 0,04588

13.Нормальное распределение

Ответ: z = 0,85

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,6047)/2 = 0,8023

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,8023 внутри таблицы и считайте z.

z = 0,85

Ответ

z = 0,85

14.Нормальное распределение

Ответ: x = 182,7 cm

Площадь слева

Φ(z) = 0,75

z из таблицы

z ≈ 0,67

Возврат к исходным единицам

x = 178 + 0,67·7 = 182,7 cm

Ответ

x = 182,7 cm

15.Доверительные интервалы

Ответ: E = 6,587

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 20, t = 1,725

Предельная ошибка

E = 1,725·17,5/√21 = 6,587

Ответ

E = 6,587

16.Доверительные интервалы

Ответ: σ = 8,048 µm

Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.

Сумма квадратов

(n − 1)s² = 15·5,2² = 405,6

Границы для σ²

405,6/27,488 = 14,76

405,6/6,262 = 64,77

Граница для σ

σ = √64,77 = 8,048 µm

Ответ

σ = 8,048 µm

95 % интервал для σ: [3,841, 8,048] µm.

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −1,5

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 4/√100 = 4/10 = 0,4

Статистика критерия

t = (499,4 − 500)/0,4 = −1,5

Ответ

t = −1,5

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 118,6

Предельная ошибка

E = 1,96·10/√64 = 2,45

Граница интервала

L = 121,1 − 2,45 = 118,6

Ответ

L = 118,6

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9841

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 302/5 = 60,4

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 52

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 279,2

Коэффициент корреляции

r = 52/√(10·279,2) = 0,9841

Ответ

r = 0,9841

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 3,55

Средние

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 366/5 = 73,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 285

Линия регрессии

b = 285/90 = 3,167

a = 73,2 − 3,167·22 = 3,533

ŷ = 3,533 + 3,167·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 3,533 + 3,167·26,5 = 87,45

Остаток

e = 91 − 87,45 = 3,55

Ответ

e = 3,55

Точка лежит выше прямой.

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income