Вы инвестируете €2 000 под 5 % годовых с непрерывным начислением процентов. Найдите стоимость FV через 7 лет.
PV = €2 000r = 5%t = 7
FV = €
2.Временная стоимость денегСложная
Вы откладываете €100 в конце каждого месяца в течение 29 лет. Счёт даёт 4,8 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.
A = €1004,8% / 12N = 348
FV = €
3.NPV и IRRСредняя
Инвестиция €20 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €6 000, €8 000, €6 000. Стоимость капитала — 10 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.
Проект стоит €10 000 и приносит €3 500, €5 500, €4 000 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.
CF0 = −10 000CF1 = 3 500CF2 = 5 500CF3 = 4 000
IRR = %
5.Цена и доходность облигацийСредняя
Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 5% и погашается через 15 лет. Её доходность к погашению меняется с 7% до 6,5%. На сколько ΔP изменится цена облигации?
F = €1 000купон = 5%n = 15y1 = 7%y2 = 6,5%
ΔP = €
6.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 6% погашается через 9 лет и продаётся за €1 110. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.
F = €1 000купон = 6%n = 9P = €1 110
YTM = %
7.CAPM и WACCСредняя
Собственный капитал компании стоит €8 000 000, долг — €5 000 000. Её WACC равна 6,62%, стоимость долга до налогов — 4%, ставка налога — 30%. Найдите стоимость собственного капитала re.
У компании 2 500 000 акций по €50,50 за штуку и 10 000 облигаций рыночной стоимостью €980 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 7%, ставка налога — 25,8%. Бета акции — 0,6, безрисковая ставка — 1,5%, доходность рынка — 5,5%. Найдите WACC.
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 70 и стандартным отклонением 5. Найдите z-оценку z для результата 60.
μ = 70σ = 5x = 60
z =
11.ВероятностьСредняя
Правильный кубик бросают 4 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?
n = 4
P =
12.ВероятностьСложная
Игра стоит €2. Вы выигрываете €10 с вероятностью 0,3 и €20 с вероятностью 0,05; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.
ставка = €2€10: p = 0,3€20: p = 0,05
E(G) = €
13.Нормальное распределениеСредняя
Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,5587. Найдите z с точностью до двух знаков.
A = 0,5587
z =
14.Нормальное распределениеСложная
Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,04 mm и стандартным отклонением 0,015 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,015 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.
отверстие: μ = 25,04 mm, σ = 0,015 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
15.Доверительные интервалыСредняя
99 % доверительный интервал для среднего, построенный по 50 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 5. Какой будет предельная ошибка E₂ 95 % интервала по тем же данным?
99%n₁ = 50E₁ = 595%
E₂ =
16.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 24. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 3?
σ = 24E = 399%
n =
17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 16 студентов имеет средний балл 91 и выборочное стандартное отклонение 20. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 91s = 20n = 16
t =
18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Выборка из 25 измерений имеет среднее 205,4. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 15. Найдите верхнюю границу U 90 % доверительного интервала для среднего.
x̄ = 205,4σ = 15n = 2590%
U =
19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.
n = 5
r² =
20.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 124?
n = 6ŷ = 124
x =
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: FV = 2838 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Показатель степени
r·t = 0,05·7 = 0,35
e0,35 = 1,419
Будущая стоимость
FV = 2 000·1,419 = €2 838,14
Ответ
FV = €2 838,14
2.Временная стоимость денег
Ответ: FV = 75293 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Приведённая стоимость каждого потока
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 6 000/1,1 = 5 454,55
CF2/(1 + 0,1)2 = 8 000/1,21 = 6 611,57
CF3/(1 + 0,1)3 = 6 000/1,331 = 4 507,89
Сложите
NPV = €−3 426,00
Ответ
NPV = €−3 426,00
NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.
4.NPV и IRR
Ответ: IRR = 14,01 %
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Ограничьте IRR с двух сторон
NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.
NPV(10%) = 732,53
NPV(15%) = −167,67
Сужайте
Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.
IRR ≈ 10 + 5·732,53/(732,53 − (−167,67)) = 14,07%
точно: NPV(14,01%) = 0 → IRR = 14,01%
Ответ
IRR = 14,01%
5.Цена и доходность облигаций
Ответ: ΔP = 41,12 €
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Уравнение для доходности
€1 110 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Численное решение
P(4%) = €1 148,71, P(5%) = €1 071,08
YTM = 4,488%
Ответ
YTM = 4,488%
7.CAPM и WACC
Ответ: re = 9,008 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Веса
V = €13 000 000, E/V = 0,6154, D/V = 0,3846
Долговая часть WACC
0,3846·4%·(1 − 0,3) = 1,077%
Стоимость собственного капитала
re = (6,62% − 1,077%)/0,6154 = 9,008%
Ответ
re = 9,008%
8.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 3,993 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (60 − 70)/5 = −2
Ответ
z = −2
11.Вероятность
Ответ: P = 0,5177
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Противоположное событие
P(нет шестёрки) = (5/6)4 = 0,4823
P = 1 − 0,4823 = 0,5177
Ответ
P = 0,5177
12.Вероятность
Ответ: E(G) = 2 €
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Чистые исходы
G: 8 (p = 0,3), 18 (p = 0,05), −2 (p = 0,65)
Математическое ожидание
E(G) = 8·0,3 + 18·0,05 − 2·0,65 = 2 €
Ответ
E(G) = 2 €
Положительное значение означает, что в среднем вы выигрываете деньги.
13.Нормальное распределение
Ответ: z = 0,77
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева от z
Φ(z) = (1 + 0,5587)/2 = 0,7794
Читайте таблицу z в обратную сторону
Найдите 0,7794 внутри таблицы и считайте z.
z = 0,77
Ответ
z = 0,77
14.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,9706
Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).
Распределение разности
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02121 mm
Стандартизуйте
z = (0 − 0,04)/0,02121 = −1,89
Вероятность
P = 1 − Φ(−1,89) = 0,9706
Ответ
P = 0,9706
15.Доверительные интервалы
Ответ: E₂ = 3,804
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Отношение предельных ошибок
E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(50/50) = 0,7609
Новая предельная ошибка
E₂ = 5·0,7609 = 3,804
Ответ
E₂ = 3,804
16.Доверительные интервалы
Ответ: n = 425
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (2,576·24/3)² = 424,7
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 425
Ответ
n = 425
17.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −1,8
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 20/√16 = 20/4 = 5
Статистика критерия
t = (91 − 100)/5 = −1,8
Ответ
t = −1,8
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
18.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: U = 210,3
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Предельная ошибка
E = 1,645·15/√25 = 4,935
Граница интервала
U = 205,4 + 4,935 = 210,3
Ответ
U = 210,3
19.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r² = 0,978
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 246/5 = 49,2
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 128
Syy = Σ(y − ȳ)² = 418,8
Коэффициент детерминации
r² = 128²/(40·418,8) = 0,978
Ответ
r² = 0,978
Прямая объясняет около 97,8% вариации y.
20.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: x = 24,06
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 666/6 = 111
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 442
Линия регрессии
b = 442/70 = 6,314
a = 111 − 6,314·22 = −27,91
ŷ = −27,91 + 6,314·x
Найдите x
x = (124 − (−27,91))/6,314 = 24,06
Ответ
x = 24,06
Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.