Ожидается, что объект недвижимости принесёт в следующем году чистую арендную плату €12 000. Ожидается, что арендная плата будет расти на 4 % в год бессрочно. Требуемая доходность — 6 % годовых. Найдите стоимость PV объекта сегодня.
C1 = €12 000g = 4%r = 6%
PV = €
2.Временная стоимость денегСложная
Вы вносите €3 000 в начале каждого года в течение 24 лет, первый взнос — сегодня. Счёт даёт 5 % годовых. Сколько будет на счёте в конце года 24? Найдите FV.
A = €3 000i = 5%n = 24
FV = €
3.NPV и IRRСредняя
Инвестиция €20 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €9 000, €9 000, €9 000. Стоимость капитала — 12 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.
Проект стоит €40 000 и приносит €21 000, €26 000, €20 500 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.
CF0 = −40 000CF1 = 21 000CF2 = 26 000CF3 = 20 500
IRR = %
5.Цена и доходность облигацийСредняя
Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 4% и погашается через 8 лет. Её доходность к погашению меняется с 6% до 5,5%. На сколько ΔP изменится цена облигации?
F = €1 000купон = 4%n = 8y1 = 6%y2 = 5,5%
ΔP = €
6.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 4% погашается через 10 лет и продаётся за €1 130. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.
F = €1 000купон = 4%n = 10P = €1 130
YTM = %
7.CAPM и WACCСредняя
У компании собственный капитал стоимостью €8 000 000 и долг стоимостью €2 000 000. Стоимость собственного капитала — 13%, стоимость заёмного капитала до налогов — 5%, ставка налога — 21%. Найдите WACC.
У компании 1 000 000 акций по €44,00 за штуку и 20 000 облигаций рыночной стоимостью €1 000 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 4%, ставка налога — 28%. Бета акции — 1,3, безрисковая ставка — 3,5%, доходность рынка — 9,5%. Найдите WACC.
Величина распределена нормально со средним 50 и стандартным отклонением 5. Какая доля P значений меньше 56,25?
μ = 50σ = 5x = 56,25
P =
11.ВероятностьСредняя
Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 2 человек из группы из 13 человек? Порядок не важен.
n = 13k = 2
N =
12.ВероятностьСложная
Испытывают 7 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,6. Какова вероятность P, что откажет не более одного?
n = 7p = 0,6
P =
13.Нормальное распределениеСредняя
Массы объектов (мешки с цементом) независимы и нормально распределены со средним 25 kg и стандартным отклонением 0,5 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 4 из них превышает 101 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.
μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 4> 101 kg
P =
14.Нормальное распределениеСложная
Масса X изделия с линии 1 и Y с линии 2 независимы и нормально распределены: X имеет среднее 500 g и стандартное отклонение 8 g, Y имеет среднее 490 g и стандартное отклонение 6 g. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
15.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 8 элементов имеет среднее 102 и стандартное отклонение s = 19. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.
n = 8x̄ = 102s = 1999%t(7) = 3,499
верхняя граница =
16.Доверительные интервалыСложная
Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 14 участков, средний урожай 70,5 kg, стандартное отклонение 5 kg. Группа участков 2: 12 участков, среднее 71 kg, стандартное отклонение 5 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите нижнюю границу 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.
17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
10 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна 1,88, стандартное отклонение разностей — 5,4. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μd = 0.
n = 10d̄ = 1,88sd = 5,4
t =
18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Выборка из 16 измерений имеет среднее 51,3. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 10. Найдите верхнюю границу U 99 % доверительного интервала для среднего.
x̄ = 51,3σ = 10n = 1699%
U =
19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 5
r =
20.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 22?
n = 5ŷ = 22
x =
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: PV = 600000 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Коэффициент обычного аннуитета
((1 + 0,05)24 − 1)/0,05 = 44,5
Аннуитет пренумерандо
Каждый взнос инвестирован на год дольше.
FV = 3 000·44,5·1,05 = €140 181,30
Ответ
FV = €140 181,30
3.NPV и IRR
Ответ: NPV = 1616 €
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Приведённая стоимость каждого потока
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 9 000/1,12 = 8 035,71
CF2/(1 + 0,12)2 = 9 000/1,254 = 7 174,74
CF3/(1 + 0,12)3 = 9 000/1,405 = 6 406,02
Сложите
NPV = €1 616,48
Ответ
NPV = €1 616,48
NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.
4.NPV и IRR
Ответ: IRR = 31,54 %
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Ограничьте IRR с двух сторон
NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.
NPV(30%) = 869,37
NPV(35%) = −1 846,26
Сужайте
Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Веса
V = €10 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2
WACC
WACC = 0,8·13% + 0,2·5%·(1 − 0,21) = 11,19%
Ответ
WACC = 11,19%
8.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 8,669 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = 1,25
Таблица нормального распределения
Φ(1,25) = 0,8944
P = 0,8944
Ответ
P = 0,8944
11.Вероятность
Ответ: N = 78
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Сочетания
C(13, 2) = (13·12)/(2·1) = 78
Ответ
N = 78
12.Вероятность
Ответ: P = 0,01884
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Ноль и один отказ
P(X = 0) = 0,47 = 0,001638
P(X = 1) = 7·0,6·0,46 = 0,0172
Сложите
P = 0,001638 + 0,0172 = 0,01884
Ответ
P = 0,01884
13.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,1587
Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).
Распределение суммы
μT = 100 kg, σT = 0,5·√4 = 1 kg
Стандартизуйте
z = (101 − 100)/1 = 1
Вероятность
P = 1 − Φ(1) = 0,1587
Ответ
P = 0,1587
14.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,8413
Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).
Распределение разности
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Стандартизуйте
z = (0 − 10)/10 = −1
Вероятность
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Ответ
P = 0,8413
15.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = 125,5
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 7, t = 3,499
Предельная ошибка
E = 3,499·19/√8 = 23,5
Интервал
102 ± 23,5 → [78,5, 125,5]
Ответ
верхняя граница = 125,5
16.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = −4,56 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Объединённое стандартное отклонение
sp² = (13·5² + 11·5²)/24 = 25
sp = 5
Предельная ошибка
E = 2,064·5·√(1/14 + 1/12) = 4,06
Интервал
−0,5 ± 4,06 → [−4,56, 3,56]
Ответ
нижняя граница = −4,56 kg
17.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 1,101
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Стандартная ошибка средней разности
SE = 5,4/√10 = 1,708
Статистика критерия
t = 1,88/1,708 = 1,101
Ответ
t = 1,101
При df = 9 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,262; |t| меньше, поэтому H₀ не отвергается.
18.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: U = 57,74
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Предельная ошибка
E = 2,576·10/√16 = 6,44
Граница интервала
U = 51,3 + 6,44 = 57,74
Ответ
U = 57,74
19.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = 0,986
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 494/5 = 98,8
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 178
Syy = Σ(y − ȳ)² = 814,8
Коэффициент корреляции
r = 178/√(40·814,8) = 0,986
Ответ
r = 0,986
20.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: x = 1,364
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 83/5 = 16,6
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33
Линия регрессии
b = −33/10 = −3,3
a = 16,6 − (−3,3)·3 = 26,5
ŷ = 26,5 − 3,3·x
Найдите x
x = (22 − 26,5)/(−3,3) = 1,364
Ответ
x = 1,364
Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.