Вы инвестируете €20 000 под номинальную ставку 2 % годовых с капитализацией ежемесячной. Найдите стоимость FV инвестиции через 2 лет.
PV = €20 0002% / 12n = 2
FV = €
2.Временная стоимость денегСложная
Кредит €200 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 25 лет. Ставка — 7,2 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный платёж A.
P = €200 0007,2% / 12N = 300
A = €
3.NPV и IRRСредняя
Проект стоит €40 000 сегодня и приносит €13 000 в конце каждого года в течение 4 лет. Стоимость капитала — 8 %. Считайте, что денежные потоки поступают равномерно в течение каждого года. Найдите дисконтированный срок окупаемости DPB в годах.
Проект стоит €50 000 сегодня. Его денежный поток в конце года 1 равен €5 000 и растёт на 2 % в год до последнего денежного потока в конце года 9. Стоимость капитала — 8 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.
C0 = €50 000CF1 = €5 000g = 2%n = 9r = 8%
NPV = €
5.Цена и доходность облигацийСредняя
Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 7%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 5 лет. Доходность к погашению — 3% годовых. Найдите цену облигации P.
F = €1 000купон = 7%YTM = 3%n = 5
P = €
6.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 6% и погашается через 5 лет. Доходность к погашению — 3%. Найдите дюрацию Маколея D в годах.
F = €1 000купон = 6%n = 5YTM = 3%
D = годы
7.CAPM и WACCСредняя
Акция с бетой 0,9 имеет требуемую доходность 7,8%. Безрисковая ставка — 1,5%. Какую ожидаемую доходность рынка rm подразумевает CAPM?
β = 0,9re = 7,8%rf = 1,5%
rm = %
8.CAPM и WACCСложная
У компании 2 500 000 акций по €41,50 за штуку и 40 000 облигаций рыночной стоимостью €960 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 5%, ставка налога — 28%. Бета акции — 1,8, безрисковая ставка — 3,5%, доходность рынка — 8%. Найдите WACC.
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 170 и стандартным отклонением 5. Найдите z-оценку z для результата 164.
μ = 170σ = 5x = 164
z =
11.ВероятностьСредняя
В мешочке 7 красных и 7 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?
7 / 7
P =
12.ВероятностьСложная
X имеет показанное распределение, а Y = 5X − 3. Найдите стандартное отклонение σY величины Y.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,05, 0,3, 0,3Y = 5X − 3
σY =
13.Нормальное распределениеСредняя
X нормальна со средним 250 g и стандартным отклонением 4 g; Y независима и нормальна со средним 500 g и стандартным отклонением 9 g. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 745,1 g. Округлите z до двух знаков после запятой.
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 745,1 g
P =
14.Нормальное распределениеСложная
Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 20 % значений (20-й процентиль).
μ = 65σ = 10P = 20%
x = баллов
15.Доверительные интервалыСредняя
99 % доверительный интервал для среднего, построенный по 36 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 10. Какой будет предельная ошибка E₂, если в том же исследовании использовать 144 наблюдений?
99%n₁ = 36E₁ = 10n₂ = 144
E₂ =
16.Доверительные интервалыСложная
Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 20 участков, средний урожай 13,5 kg, стандартное отклонение 7 kg. Группа участков 2: 6 участков, среднее 19,5 kg, стандартное отклонение 9 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.
17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 100 студентов имеет средний балл 496,9 и выборочное стандартное отклонение 10. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 496,9s = 10n = 100
t =
18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Односторонний z-критерий для H₀: μ = 50 против H₁: μ < 50 проводится при α = 0.05 по выборке объёмом 36; стандартное отклонение известно и равно 15. В действительности среднее равно 47.5. Найдите вероятность ошибки второго рода β в процентах.
μ₀ = 50μ = 47,5σ = 15n = 36α = 0,05
β = %
19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 6
r =
20.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (3,5, 48). Найдите его остаток e = y − ŷ.
n = 5(3,5, 48)
e =
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: FV = 20816 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Месячная ставка и число платежей
i = 0,07200000000000001/12 = 0,006
N = 12·25 = 300
Платёж
Приведённая стоимость N равных платежей A равна A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Приравняйте её к кредиту и найдите A.
(1 + i)−N = 0,1662
A = 200 000·0,006/(1 − 0,1662) = €1 439,18
Ответ
A = €1 439,18
3.NPV и IRR
Ответ: DPB = 3,68 годы
Срок окупаемости: время, за которое накопленные денежные потоки возмещают первоначальные инвестиции. Предполагается, что деньги поступают равномерно в течение каждого года, поэтому последний отрезок — это доля года. Простой срок окупаемости не учитывает временную стоимость денег; дисконтированный срок окупаемости использует вместо этого дисконтированные денежные потоки.
Дисконтированные и накопленные денежные потоки
год 1: 13 000/1,08 = 12 037,04 → Σ = 12 037,04
год 2: 13 000/1,166 = 11 145,40 → Σ = 23 182,44
год 3: 13 000/1,26 = 10 319,82 → Σ = 33 502,26
год 4: 13 000/1,36 = 9 555,39 → Σ = 43 057,65
Доля последнего года
DPB = 3 + 6 497,74/9 555,39 = 3,68
Ответ
DPB = 3,68 годы
Дисконтированный срок окупаемости всегда длиннее простого (3,077 лет).
4.NPV и IRR
Ответ: NPV = −16487 €
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Приведённая стоимость растущего аннуитета
((1,02)/(1,08))9 = 0,5978
PV = 5 000/(0,08 − 0,02)·(1 − 0,5978) = 33 513,01
NPV
NPV = 33 513,01 − 50 000 = −€16 486,99
Ответ
NPV = −€16 486,99
NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.
5.Цена и доходность облигаций
Ответ: P = 1184 €
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
За период
C = €35,00, i = 0,015, N = 10
Приведённая стоимость купонов
€35,00·(1 − 0,8617)/0,015 = €322,78
Приведённая стоимость номинала
€1 000·0,8617 = €861,67
Цена
P = €1 184,44
Ответ
P = €1 184,44
Доходность ниже купонной ставки, поэтому облигация продаётся с премией.
6.Цена и доходность облигаций
Ответ: D = 4,503 годы
Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Приведённая стоимость каждого потока
t = 1: 60/1,03 = 58,25, t·PV = 58,25
t = 2: 60/1,061 = 56,56, t·PV = 113,11
t = 3: 60/1,093 = 54,91, t·PV = 164,73
t = 4: 60/1,126 = 53,31, t·PV = 213,24
t = 5: 1060/1,159 = 914,37, t·PV = 4 571,83
Дюрация
P = 1 137,39
D = 5 121,15/1 137,39 = 4,503
Ответ
D = 4,503 годы
7.CAPM и WACC
Ответ: rm = 8,5 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Рыночная премия за риск
rm − rf = (7,8% − 1,5%)/0,9 = 7%
Доходность рынка
rm = 1,5% + 7% = 8,5%
Ответ
rm = 8,5%
8.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 9,439 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (164 − 170)/5 = −1,2
Ответ
z = −1,2
11.Вероятность
Ответ: P = 0,2308
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Первое и второе извлечение
P = 7/14 · 6/13 = 42/182 = 0,2308
Ответ
P = 0,2308
12.Вероятность
Ответ: σY = 6,22
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Разброс X
μ = 2,55, Var(X) = 1,548, σX = 1,244
Линейное преобразование
σY = |5|·1,244 = 6,22
Ответ
σY = 6,22
Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 5·2,55 − 3 = 9,75.
13.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,6915
Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).
Распределение суммы
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g
Стандартизуйте
z = (745,1 − 750)/9,849 = −0,5
Верхний хвост
P = 1 − Φ(−0,5) = 1 − 0,3085 = 0,6915
Ответ
P = 0,6915
14.Нормальное распределение
Ответ: x = 56,58 баллов
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z для процентиля
Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416
Обратно к x
x = 65 + −0,8416·10 = 56,58 баллов
Ответ
x = 56,58 баллов
15.Доверительные интервалы
Ответ: E₂ = 5
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Отношение предельных ошибок
E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(36/144) = 0,5
Новая предельная ошибка
E₂ = 10·0,5 = 5
Ответ
E₂ = 5
16.Доверительные интервалы
Ответ: E = 7,168 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Объединённое стандартное отклонение
sp² = (19·7² + 5·9²)/24 = 55,67
sp = 7,461
Предельная ошибка
E = 2,064·7,461·√(1/20 + 1/6) = 7,168
Ответ
E = 7,168 kg
17.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −3,1
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 10/√100 = 10/10 = 1
Статистика критерия
t = (496,9 − 500)/1 = −3,1
Ответ
t = −3,1
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| > 1,984, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
18.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: β = 74,05 %
Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критическое выборочное среднее
SE = 15/√36 = 2,5
x̄c = 50 − 1,645·2,5 = 45,89
z при истинном среднем
z = (45,89 − 47,5)/2,5 = −0,645
Ошибка второго рода
мощность = P(Z < −0.645) = 25.95%
β = 100% − 25,95% = 74,05%
Ответ
β = 74,05%
19.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = −0,9742
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 124/6 = 20,67
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −43
Syy = Σ(y − ȳ)² = 111,3
Коэффициент корреляции
r = −43/√(17,5·111,3) = −0,9742
Ответ
r = −0,9742
20.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: e = −2,85
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 239/5 = 47,8
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 61
Линия регрессии
b = 61/10 = 6,1
a = 47,8 − 6,1·3 = 29,5
ŷ = 29,5 + 6,1·x
Прогнозируемое значение
ŷ = 29,5 + 6,1·3,5 = 50,85
Остаток
e = 48 − 50,85 = −2,85
Ответ
e = −2,85
Точка лежит ниже прямой.
Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.