CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Аннуитет выплачивает €500 в конце каждого года в течение 20 лет. Процентная ставка — 3 % годовых. Найдите приведённую стоимость PV аннуитета.

A = €500i = 3%n = 20

PV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €200 в конце каждого месяца в течение 28 лет. Счёт даёт 4,8 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €2004,8% / 12N = 336

FV = €

3.NPV и IRRСредняя

Проект стоит €60 000 сегодня и приносит €17 500 в конце каждого года в течение 5 лет. Стоимость капитала — 12 %. Считайте, что денежные потоки поступают равномерно в течение каждого года. Найдите дисконтированный срок окупаемости DPB в годах.

r = 12%CF₀ = −60 000CF₁ = 17 500CF₂ = 17 500CF₃ = 17 500CF₄ = 17 500CF₅ = 17 500

DPB = годы

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €20 000 и приносит €11 500, €10 000, €9 000 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −20 000CF₁ = 11 500CF₂ = 10 000CF₃ = 9 000

IRR = %

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 8% и погашается через 12 лет. Её доходность к погашению меняется с 7% до 8%. На сколько ΔP изменится цена облигации?

F = €1 000купон = 8%n = 12y₁ = 7%y₂ = 8%

ΔP = €

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 2% и погашается через 6 лет. Доходность к погашению — 6%. Найдите дюрацию Маколея D в годах.

F = €1 000купон = 2%n = 6YTM = 6%

D = годы

7.CAPM и WACCСредняя

Компания финансируется обыкновенными акциями стоимостью €4 000 000, привилегированными акциями стоимостью €2 000 000 и долгом стоимостью €3 000 000. Стоимость собственного капитала — 10%, стоимость привилегированного капитала — 7,5%, стоимость долга до налогов — 5%. Ставка налога — 25%. Найдите WACC.

E = €4 000 000P_s = €2 000 000D = €3 000 000r_e = 10%r_p = 7,5%r_d = 5%T = 25%

WACC = %

8.CAPM и WACCСложная

Рыночная стоимость собственного капитала компании — €8 000 000, стоимость собственного капитала — 14%. Её долг состоит из 5 000 облигаций (номинал €1 000, ежегодный купон 7%, 4 лет до погашения), каждая из которых торгуется по €967. Ставка налога — 28%. Найдите WACC, используя доходность облигаций к погашению как стоимость долга до налогов.

E = €8 000 000r_e = 14%облигации: 5 000 × €967купон = 7%n = 4T = 28%

WACC = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 11, 57, 51, 48, 48, 51, 16.

n = 7

s =

10.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 60 и стандартным отклонением 20. Какая доля P значений меньше 72?

μ = 60σ = 20x = 72

P =

11.ВероятностьСредняя

Правильный кубик бросают 2 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?

n = 2

P =

12.ВероятностьСложная

В тесте 10 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,6, независимо. Какова вероятность P ровно 2 верных ответов?

n = 10p = 0,6k = 2

P =

13.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (коробки) независимы и нормально распределены со средним 12 kg и стандартным отклонением 0,8 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 9 из них превышает 105,6 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 9> 105,6 kg

P =

14.Нормальное распределениеСложная

Масса X изделия с линии 1 и Y с линии 2 независимы и нормально распределены: X имеет среднее 500 g и стандартное отклонение 8 g, Y имеет среднее 490 g и стандартное отклонение 6 g. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

15.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 8 элементов имеет среднее 40,5 и стандартное отклонение s = 17,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 8x̄ = 40,5s = 17,599%t(7) = 3,499

нижняя граница =

16.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 23. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 1?

σ = 23E = 195%

n =

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Две производственные линии изготавливают одну и ту же деталь. Линия 1: выборка из 100 деталей имеет среднюю длину 125 mm, известное стандартное отклонение линии 18 mm. Линия 2: выборка из 100 деталей имеет среднее 120,2 mm, известное стандартное отклонение 20 mm. Найдите статистику критерия z для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (линия 1 минус линия 2).

n₁ = 100x̄₁ = 125 mmσ₁ = 18 mmn₂ = 100x̄₂ = 120,2 mmσ₂ = 20 mm

z =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий при α = 0,05 должен обнаруживать сдвиг среднего на 3 единиц с мощностью 90 %. Стандартное отклонение равно 22. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,05мощность = 90%δ = 3σ = 22z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6

r =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 5,5.

n = 5x = 5,5

ŷ =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 7439 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Коэффициент аннуитета

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,5537)/0,03 = 14,88

Приведённая стоимость

PV = 500·14,88 = €7 438,74

Ответ

PV = €7 438,74

2.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 141204 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·28 = 336

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 200·(3,824 − 1)/0,004 = €141 204,24

Ответ

FV = €141 204,24

Сами вы внесли €67 200; остальное — проценты.

3.NPV и IRR

Ответ: DPB = 4,689 годы

Срок окупаемости: время, за которое накопленные денежные потоки возмещают первоначальные инвестиции. Предполагается, что деньги поступают равномерно в течение каждого года, поэтому последний отрезок — это доля года. Простой срок окупаемости не учитывает временную стоимость денег; дисконтированный срок окупаемости использует вместо этого дисконтированные денежные потоки.

Дисконтированные и накопленные денежные потоки

год 1: 17 500/1,12 = 15 625,00 → Σ = 15 625,00

год 2: 17 500/1,254 = 13 950,89 → Σ = 29 575,89

год 3: 17 500/1,405 = 12 456,15 → Σ = 42 032,05

год 4: 17 500/1,574 = 11 121,57 → Σ = 53 153,61

год 5: 17 500/1,762 = 9 929,97 → Σ = 63 083,58

Доля последнего года

DPB = 4 + 6 846,39/9 929,97 = 4,689

Ответ

DPB = 4,689 годы

Дисконтированный срок окупаемости всегда длиннее простого (3,429 лет).

4.NPV и IRR

Ответ: IRR = 25,73 %

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(25%) = 208,00

NPV(30%) = −1 140,19

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 25 + 5·208,00/(208,00 − (−1 140,19)) = 25,77%

точно: NPV(25,73%) = 0 → IRR = 25,73%

Ответ

IRR = 25,73%

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: ΔP = −79,43 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Цена при прежней доходности

C = €80,00, i = 0,07, N = 12

€80,00·(1 − 0,444)/0,07 + €1 000·0,444 = €635,41 + €444,01 = €1 079,43

Цена при новой доходности

C = €80,00, i = 0,08, N = 12

€80,00·(1 − 0,3971)/0,08 + €1 000·0,3971 = €602,89 + €397,11 = €1 000,00

Изменение

ΔP = 1 000,00 − 1 079,43 = −€79,43

Ответ

ΔP = −€79,43

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: D = 5,673 годы

Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Приведённая стоимость каждого потока

t = 1: 20/1,06 = 18,87, t·PV = 18,87

t = 2: 20/1,124 = 17,80, t·PV = 35,60

t = 3: 20/1,191 = 16,79, t·PV = 50,38

t = 4: 20/1,262 = 15,84, t·PV = 63,37

t = 5: 20/1,338 = 14,95, t·PV = 74,73

t = 6: 1020/1,419 = 719,06, t·PV = 4 314,36

Дюрация

P = 803,31

D = 4 557,30/803,31 = 5,673

Ответ

D = 5,673 годы

7.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 7,361 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = 4 000 000 + 2 000 000 + 3 000 000 = €9 000 000

E/V = 0,4444, P_s/V = 0,2222, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,4444·10% + 0,2222·7,5% + 0,3333·5%·(1 − 0,25) = 7,361%

Ответ

WACC = 7,361%

8.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 10,89 %

Стоимость долга (YTM)

967 = 70·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + 1000/(1 + y)⁴

y = 7,996%

Рыночные стоимости

D = 5 000·€967 = €4 835 000

V = €12 835 000, E/V = 0,6233, D/V = 0,3767

WACC

WACC = 0,6233·14% + 0,3767·7,996%·(1 − 0,28) = 10,89%

Ответ

WACC = 10,89%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 18,6

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 282/7 = 40,29

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−29,29)² + 16,71² + 10,71² + 7,714² + 7,714² + 10,71² + (−24,29)² = 2075

Стандартное отклонение

s = √(2075/6) = 18,6

Ответ

s = 18,6

10.Описательная статистика

Ответ: P = 0,7257

Стандартизуйте

z = 0,6

Таблица нормального распределения

Φ(0,6) = 0,7257

P = 0,7257

Ответ

P = 0,7257

11.Вероятность

Ответ: P = 0,3056

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Противоположное событие

P(нет шестёрки) = (5/6)² = 0,6944

P = 1 − 0,6944 = 0,3056

Ответ

P = 0,3056

12.Вероятность

Ответ: P = 0,01062

Формула Бернулли

P(X = 2) = 45·0,6²·0,4⁸ = 45·0,36·0,0006554 = 0,01062

Ответ

P = 0,01062

13.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8413

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 108 kg, σ_T = 0,8·√9 = 2,4 kg

Стандартизуйте

z = (105,6 − 108)/2,4 = −1

Вероятность

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Ответ

P = 0,8413

14.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8413

Распределение разности

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/10 = −1

Вероятность

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Ответ

P = 0,8413

15.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 18,85

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 7, t = 3,499

Предельная ошибка

E = 3,499·17,5/√8 = 21,65

Интервал

40,5 ± 21,65 → [18,85, 62,15]

Ответ

нижняя граница = 18,85

16.Доверительные интервалы

Ответ: n = 2033

Выразите n

n = (1,96·23/1)² = 2032

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 2033

Ответ

n = 2033

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = 1,784

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартная ошибка разности

SE = √(18²/100 + 20²/100) = √7,24 = 2,691

Статистика критерия

z = (125 − 120,2)/2,691 = 1,784

Ответ

z = 1,784

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 461

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((1,645 + 1,282)·22/3)² = 460,7

Округлите вверх

n = 461

Ответ

n = 461

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9899

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 562/6 = 93,67

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 486

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 3443

Коэффициент корреляции

r = 486/√(70·3443) = 0,9899

Ответ

r = 0,9899

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 63,85

Средние

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 308/5 = 61,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 45

Линия регрессии

b = 45/10 = 4,5

a = 61,6 − 4,5·5 = 39,1

ŷ = 39,1 + 4,5·x

Прогноз

ŷ = 39,1 + 4,5·5,5 = 63,85

Ответ

ŷ = 63,85

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income