Аннуитет выплачивает €3 000 в конце каждого года в течение 13 лет. Процентная ставка — 5 % годовых. Найдите приведённую стоимость PV аннуитета.
A = €3 000i = 5%n = 13
PV = €
2.Временная стоимость денегСложная
Кредит €8 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 6 лет. Ставка — 3 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный платёж A.
P = €8 0003% / 12N = 72
A = €
3.NPV и IRRСредняя
Станок стоит €80 000 сегодня. Он приносит €16 500 в конце каждого года в течение 6 лет, а затем может быть продан за €12 000. Стоимость капитала — 8 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.
C0 = €80 000CF = €16 500S = €12 000n = 6r = 8%
NPV = €
4.NPV и IRRСложная
Проект стоит €10 000 и приносит €5 000, €7 000 в конце лет с 1 по 2. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.
CF0 = −10 000CF1 = 5 000CF2 = 7 000
IRR = %
5.Цена и доходность облигацийСредняя
Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 7% и погашается через 8 лет. Её доходность к погашению меняется с 4% до 2,5%. На сколько ΔP изменится цена облигации?
F = €1 000купон = 7%n = 8y1 = 4%y2 = 2,5%
ΔP = €
6.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 3% погашается через 9 лет и продаётся за €925. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.
F = €1 000купон = 3%n = 9P = €925
YTM = %
7.CAPM и WACCСредняя
Акция с бетой 0,9 имеет требуемую доходность 8,9%. Безрисковая ставка — 3,5%. Какую ожидаемую доходность рынка rm подразумевает CAPM?
β = 0,9re = 8,9%rf = 3,5%
rm = %
8.CAPM и WACCСложная
У компании 4 000 000 акций по €51,00 за штуку и 5 000 облигаций рыночной стоимостью €980 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 6%, ставка налога — 21%. Бета акции — 1,1, безрисковая ставка — 3,5%, доходность рынка — 10%. Найдите WACC.
Величина распределена нормально со средним 100 и стандартным отклонением 5. Какая доля P значений меньше 94?
μ = 100σ = 5x = 94
P =
11.ВероятностьСредняя
Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 5 человек из группы из 9 человек? Порядок не важен.
n = 9k = 5
N =
12.ВероятностьСложная
X имеет показанное распределение, а Y = 5X + 10. Найдите стандартное отклонение σY величины Y.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3Y = 5X + 10
σY =
13.Нормальное распределениеСредняя
Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,3899. Найдите z с точностью до двух знаков.
A = 0,3899
z =
14.Нормальное распределениеСложная
Масса X изделия с линии 1 и Y с линии 2 независимы и нормально распределены: X имеет среднее 500 g и стандартное отклонение 8 g, Y имеет среднее 490 g и стандартное отклонение 6 g. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
15.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 21 элементов имеет среднее 67 и стандартное отклонение s = 12. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.
n = 21x̄ = 67s = 1299%t(20) = 2,845
нижняя граница =
16.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 17. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 3?
σ = 17E = 395%
n =
17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 64 студентов имеет средний балл 71,1 и выборочное стандартное отклонение 12. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 71,1s = 12n = 64
t =
18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Односторонний z-критерий для H₀: μ = 100 против H₁: μ > 100 проводится при α = 0,05 по выборке объёмом 100; стандартное отклонение известно и равно 25. В действительности среднее равно 104,5. Найдите вероятность ошибки второго рода β в процентах.
μ₀ = 100μ = 104,5σ = 25n = 100α = 0,05
β = %
19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 6
r =
20.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (3,5, 15). Найдите его остаток e = y − ŷ.
n = 5(3,5, 15)
e =
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: PV = 28181 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Коэффициент аннуитета
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,5303)/0,05 = 9,394
Приведённая стоимость
PV = 3 000·9,394 = €28 180,72
Ответ
PV = €28 180,72
2.Временная стоимость денег
Ответ: A = 121,5 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Месячная ставка и число платежей
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·6 = 72
Платёж
Приведённая стоимость N равных платежей A равна A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Приравняйте её к кредиту и найдите A.
(1 + i)−N = 0,8355
A = 8 000·0,0025/(1 − 0,8355) = €121,55
Ответ
A = €121,55
3.NPV и IRR
Ответ: NPV = 3840 €
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Приведённая стоимость ежегодных денежных потоков
16 500·4,623 = 76 277,51
Приведённая стоимость ликвидационной стоимости
12 000/1,587 = 7 562,04
NPV
NPV = −80 000 + 76 277,51 + 7 562,04 = €3 839,55
Ответ
NPV = €3 839,55
4.NPV и IRR
Ответ: IRR = 12,32 %
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Ограничьте IRR с двух сторон
NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.
NPV(10%) = 330,58
NPV(15%) = −359,17
Сужайте
Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.
IRR ≈ 10 + 5·330,58/(330,58 − (−359,17)) = 12,4%
точно: NPV(12,32%) = 0 → IRR = 12,32%
Ответ
IRR = 12,32%
5.Цена и доходность облигаций
Ответ: ΔP = 120,7 €
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Уравнение для доходности
€925 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Численное решение
P(4%) = €925,65, P(5%) = €857,84
YTM = 4,009%
Ответ
YTM = 4,009%
7.CAPM и WACC
Ответ: rm = 9,5 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Рыночная премия за риск
rm − rf = (8,9% − 3,5%)/0,9 = 6%
Доходность рынка
rm = 3,5% + 6% = 9,5%
Ответ
rm = 9,5%
8.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 10,51 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = −1,2
Таблица нормального распределения
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 0,1151
Ответ
P = 0,1151
11.Вероятность
Ответ: N = 126
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Сочетания
C(9, 5) = (9·8·7·6·5)/(5·4·3·2·1) = 126
Ответ
N = 126
12.Вероятность
Ответ: σY = 4,023
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Разброс X
μ = 0,95, Var(X) = 0,6475, σX = 0,8047
Линейное преобразование
σY = |5|·0,8047 = 4,023
Ответ
σY = 4,023
Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 5·0,95 + 10 = 14,75.
13.Нормальное распределение
Ответ: z = 0,51
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева от z
Φ(z) = (1 + 0,3899)/2 = 0,6950
Читайте таблицу z в обратную сторону
Найдите 0,6950 внутри таблицы и считайте z.
z = 0,51
Ответ
z = 0,51
14.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,8413
Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).
Распределение разности
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Стандартизуйте
z = (0 − 10)/10 = −1
Вероятность
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Ответ
P = 0,8413
15.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = 59,55
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 20, t = 2,845
Предельная ошибка
E = 2,845·12/√21 = 7,45
Интервал
67 ± 7,45 → [59,55, 74,45]
Ответ
нижняя граница = 59,55
16.Доверительные интервалы
Ответ: n = 124
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (1,96·17/3)² = 123,4
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 124
Ответ
n = 124
17.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −2,6
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 12/√64 = 12/8 = 1,5
Статистика критерия
t = (71,1 − 75)/1,5 = −2,6
Ответ
t = −2,6
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
18.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: β = 43,84 %
Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Критическое выборочное среднее
SE = 25/√100 = 2,5
x̄c = 100 + 1,645·2,5 = 104,1
z при истинном среднем
z = (104,1 − 104,5)/2,5 = −0,155
Ошибка второго рода
мощность = P(Z > −0,155) = 56,16%
β = 100% − 56,16% = 43,84%
Ответ
β = 43,84%
19.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = 0,9894
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 361/6 = 60,17
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 293
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1253
Коэффициент корреляции
r = 293/√(70·1253) = 0,9894
Ответ
r = 0,9894
20.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: e = −2
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.