CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Аннуитет выплачивает €2 000 в конце каждого года в течение 19 лет. Процентная ставка — 4 % годовых. Найдите приведённую стоимость PV аннуитета.

A = €2 000i = 4%n = 19

PV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы вносите €2 000 в начале каждого года в течение 18 лет, первый взнос — сегодня. Счёт даёт 8 % годовых. Сколько будет на счёте в конце года 18? Найдите FV.

A = €2 000i = 8%n = 18

FV = €

3.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €45 000 даёт в конце лет с 1 по 4 такие денежные потоки: €11 000, €11 000, €22 000, €15 000. Стоимость капитала — 8 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 8%CF₀ = −45 000CF₁ = 11 000CF₂ = 11 000CF₃ = 22 000CF₄ = 15 000

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект A стоит €10 000 и приносит €5 500, €4 000, €2 500 в конце годов с 1-го по 3-й. Проект B стоит €12 000 и приносит €3 000, €4 500, €7 000. Найдите точку Фишера (ставку пересечения) r*, при которой оба проекта имеют одинаковую NPV, в процентах.

A: −10 000, 5 500, 4 000, 2 500B: −12 000, 3 000, 4 500, 7 000

r* = %

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 6%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 9 лет. Доходность к погашению — 3% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 6%YTM = 3%n = 9

P = €

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация торгуется по €1 015 при доходности к погашению 6% (ежегодная капитализация) и дюрации Маколея 11,4 лет. С помощью модифицированной дюрации оцените новую цену P, если доходность вырастет на 75 базисных пунктов.

P₀ = €1 015y = 6%D = 11,4Δy = +75 bp

P = €

7.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €5 000 000 и долг стоимостью €3 000 000. Стоимость собственного капитала — 11%, стоимость заёмного капитала до налогов — 4,5%, ставка налога — 30%. Найдите WACC.

E = €5 000 000D = €3 000 000r_e = 11%r_d = 4,5%T = 30%

WACC = %

8.CAPM и WACCСложная

У компании 5 000 000 акций по €11,50 за штуку и 5 000 облигаций рыночной стоимостью €1 020 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 4,5%, ставка налога — 21%. Бета акции — 1,2, безрисковая ставка — 4%, доходность рынка — 8,5%. Найдите WACC.

β = 1,2r_f = 4%r_m = 8,5%r_d = 4,5%T = 21%

WACC = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 56, 20, 26, 25, 27.

n = 5

s =

10.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 500 и стандартным отклонением 40. Найдите z-оценку z для результата 540.

μ = 500σ = 40x = 540

z =

11.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,3, 0,3, 0,15

Var(X) =

12.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 2X + 10. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,25, 0,2, 0,3Y = 2X + 10

σ_Y =

13.Нормальное распределениеСредняя

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Какая доля значений лежит между 240,25 и 257,5 g? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 250σ = 5x₁ = 240,25x₂ = 257,5

P =

14.Нормальное распределениеСложная

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Найдите значение x, ниже которого лежат 97,5 % значений (97,5-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 97,5%

x = g

15.Доверительные интервалыСредняя

90 % доверительный интервал для среднего, построенный по 36 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 2,7. Какой будет предельная ошибка E₂ 99 % интервала по тем же данным?

90%n₁ = 36E₁ = 2,799%

E₂ =

16.Доверительные интервалыСложная

Диаметры 16 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 7,9 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — верхняя граница σ. При df = 15 2,5 % распределения χ² лежит ниже 6,262 и 2,5 % — выше 27,488.

n = 16s = 7,9 µmχ² = 6,262, 27,488

σ = µm

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

6 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна 4,97, стандартное отклонение разностей — 8,7. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μ_d = 0.

n = 6d̄ = 4,97s_d = 8,7

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 64 измерений имеет среднее 119,7. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 8. Найдите верхнюю границу U 90 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 119,7σ = 8n = 6490%

U =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5

r =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 2,5.

n = 6x = 2,5

ŷ =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 26268 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Коэффициент аннуитета

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,4746)/0,04 = 13,13

Приведённая стоимость

PV = 2 000·13,13 = €26 267,88

Ответ

PV = €26 267,88

2.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 80893 €

Коэффициент обычного аннуитета

((1 + 0,08)¹⁸ − 1)/0,08 = 37,45

Аннуитет пренумерандо

Каждый взнос инвестирован на год дольше.

FV = 2 000·37,45·1,08 = €80 892,53

Ответ

FV = €80 892,53

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = 3106 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 11 000/1,08 = 10 185,19

CF₂/(1 + 0,08)² = 11 000/1,166 = 9 430,73

CF₃/(1 + 0,08)³ = 22 000/1,26 = 17 464,31

CF₄/(1 + 0,08)⁴ = 15 000/1,36 = 11 025,45

Сложите

NPV = €3 105,67

Ответ

NPV = €3 105,67

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

4.NPV и IRR

Ответ: r* = 4,59 %

Ставка пересечения (точка Фишера): ставка дисконтирования, при которой два проекта имеют одинаковую NPV. Это IRR разности их денежных потоков (B − A). Ниже неё больше NPV у проекта с более поздними и крупными денежными потоками; выше неё выигрывает другой.

Разность денежных потоков

ΔCF₀ = −12 000 − (−10 000) = −2 000

ΔCF₁ = 3 000 − 5 500 = −2 500

ΔCF₂ = 4 500 − 4 000 = 500

ΔCF₃ = 7 000 − 2 500 = 4 500

IRR разности

NPV_Δ(4%) = 58,92

NPV_Δ(5%) = −40,17

r* = 4,59%

Ответ

r* = 4,59%

Проверка: при 4,59% обе NPV равны €1 100,42.

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 1235 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €30,00, i = 0,015, N = 18

Приведённая стоимость купонов

€30,00·(1 − 0,7649)/0,015 = €470,18

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,7649 = €764,91

Цена

P = €1 235,09

Ответ

P = €1 235,09

Доходность ниже купонной ставки, поэтому облигация продаётся с премией.

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 933,1 €

Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Модифицированная дюрация

D_mod = 11,4/1,06 = 10,75

Оценка изменения цены

%ΔP ≈ −10,75·(0,0075) = −8,066%

P ≈ 1015·(1 − 0,08066) = €933,13

Ответ

P = €933,13

Дюрация даёт линейную оценку; при больших изменениях доходности из-за выпуклости фактическая цена немного выше.

7.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 8,056 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €8 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375

WACC

WACC = 0,625·11% + 0,375·4,5%·(1 − 0,3) = 8,056%

Ответ

WACC = 8,056%

8.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 8,924 %

Рыночные стоимости

E = 5 000 000·€11,50 = €57 500 000

D = 5 000·€1 020 = €5 100 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 4% + 1,2·4,5% = 9,4%

Веса

V = €62 600 000, E/V = 0,9185, D/V = 0,08147

WACC

WACC = 0,9185·9,4% + 0,08147·4,5%·(1 − 0,21) = 8,924%

Ответ

WACC = 8,924%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 14,34

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 154/5 = 30,8

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 25,2² + (−10,8)² + (−4,8)² + (−5,8)² + (−3,8)² = 822,8

Стандартное отклонение

s = √(822,8/4) = 14,34

Ответ

s = 14,34

10.Описательная статистика

Ответ: z = 1

Стандартизуйте

z = (540 − 500)/40 = 1

Ответ

z = 1

11.Вероятность

Ответ: Var(X) = 1,028

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,25 + 1·0,3 + 2·0,3 + 3·0,15 = 1,35

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,3 + 4·0,3 + 9·0,15 = 2,85

Дисперсия

Var(X) = 2,85 − 1,35² = 1,028

Ответ

Var(X) = 1,028

12.Вероятность

Ответ: σ_Y = 2,322

Разброс X

μ = 1,55, Var(X) = 1,348, σ_X = 1,161

Линейное преобразование

σ_Y = |2|·1,161 = 2,322

Ответ

σ_Y = 2,322

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 2·1,55 + 10 = 13,1.

13.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9076

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (240,25 − 250)/5 = −1,95

z₂ = (257,5 − 250)/5 = 1,5

Площадь между

P = Φ(1,5) − Φ(−1,95) = 0,9332 − 0,02559 = 0,9076

Ответ

P = 0,9076

14.Нормальное распределение

Ответ: x = 259,8 g

z для процентиля

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Обратно к x

x = 250 + 1,96·5 = 259,8 g

Ответ

x = 259,8 g

15.Доверительные интервалы

Ответ: E₂ = 4,228

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Отношение предельных ошибок

E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(36/36) = 1,566

Новая предельная ошибка

E₂ = 2,7·1,566 = 4,228

Ответ

E₂ = 4,228

16.Доверительные интервалы

Ответ: σ = 12,23 µm

Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.

Сумма квадратов

(n − 1)s² = 15·7,9² = 936,2

Границы для σ²

936,2/27,488 = 34,06

936,2/6,262 = 149,5

Граница для σ

σ = √149,5 = 12,23 µm

Ответ

σ = 12,23 µm

95 % интервал для σ: [5,836, 12,23] µm.

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 1,399

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартная ошибка средней разности

SE = 8,7/√6 = 3,552

Статистика критерия

t = 4,97/3,552 = 1,399

Ответ

t = 1,399

При df = 5 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,571; |t| меньше, поэтому H₀ не отвергается.

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: U = 121,3

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Предельная ошибка

E = 1,645·8/√64 = 1,645

Граница интервала

U = 119,7 + 1,645 = 121,3

Ответ

U = 121,3

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9596

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 246/5 = 49,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 64

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 444,8

Коэффициент корреляции

r = 64/√(10·444,8) = 0,9596

Ответ

r = 0,9596

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 64,42

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 416/6 = 69,33

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 86

Линия регрессии

b = 86/17,5 = 4,914

a = 69,33 − 4,914·3,5 = 52,13

ŷ = 52,13 + 4,914·x

Прогноз

ŷ = 52,13 + 4,914·2,5 = 64,42

Ответ

ŷ = 64,42

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income