CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Аннуитет выплачивает €5 000 в конце каждого года в течение 12 лет. Процентная ставка — 6 % годовых. Найдите приведённую стоимость PV аннуитета.

A = €5 000i = 6%n = 12

PV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы откладываете €250 в конце каждого месяца в течение 18 лет. Счёт даёт 4,8 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько вы накопите в конце? Найдите FV.

A = €2504,8% / 12N = 216

FV = €

3.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €20 000 даёт в конце лет с 1 по 4 такие денежные потоки: €7 000, €5 000, €6 000, €7 000. Стоимость капитала — 12 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 12%CF₀ = −20 000CF₁ = 7 000CF₂ = 5 000CF₃ = 6 000CF₄ = 7 000

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Инвестиция €40 000 приносит €15 000 в конце каждого года в течение 3 лет. Найдите её внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

C₀ = €40 000CF = €15 000n = 3

IRR = %

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 3%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 3 лет. Доходность к погашению — 4% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 3%YTM = 4%n = 3

P = €

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 2% и погашается через 6 лет. Доходность к погашению — 4%. Найдите дюрацию Маколея D в годах.

F = €1 000купон = 2%n = 6YTM = 4%

D = годы

7.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €8 000 000 и долг стоимостью €1 000 000. Стоимость собственного капитала — 13%, стоимость заёмного капитала до налогов — 4,5%, ставка налога — 25,8%. Найдите WACC.

E = €8 000 000D = €1 000 000r_e = 13%r_d = 4,5%T = 25,8%

WACC = %

8.CAPM и WACCСложная

У компании 4 000 000 акций по €36,50 за штуку и 5 000 облигаций рыночной стоимостью €1 000 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 7%, ставка налога — 21%. Бета акции — 1,1, безрисковая ставка — 1,5%, доходность рынка — 7%. Найдите WACC.

β = 1,1r_f = 1,5%r_m = 7%r_d = 7%T = 21%

WACC = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 12, 54, 18, 59, 27, 38, 20.

n = 7

s =

10.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 50 и стандартным отклонением 15. Какая доля P значений меньше 56?

μ = 50σ = 15x = 56

P =

11.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,25, 0,2, 0,2

σ =

12.ВероятностьСложная

Игра стоит €10. Вы выигрываете €30 с вероятностью 0,1 и €200 с вероятностью 0,01; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €10€30: p = 0,1€200: p = 0,01

E(G) = €

13.Нормальное распределениеСредняя

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Какая доля значений лежит между 245,25 и 252,5 g? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 250σ = 5x₁ = 245,25x₂ = 252,5

P =

14.Нормальное распределениеСложная

Распределение «массы пакетов» нормальное: среднее 250 g, стандартное отклонение 5 g. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 10% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 250 gσ = 5 g10%

x = g

15.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 12 элементов имеет среднее 115,5 и стандартное отклонение s = 13,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 12x̄ = 115,5s = 13,599%t(11) = 3,106

нижняя граница =

16.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 29. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 4?

σ = 29E = 499%

n =

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 49 студентов имеет средний балл 114,7 и выборочное стандартное отклонение 12. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 114,7s = 12n = 49

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий при α = 0,05 должен обнаруживать сдвиг среднего на 3 единиц с мощностью 90 %. Стандартное отклонение равно 10. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,05мощность = 90%δ = 3σ = 10z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6

r =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 62?

n = 5ŷ = 62

x =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 41919 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Коэффициент аннуитета

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,497)/0,06 = 8,384

Приведённая стоимость

PV = 5 000·8,384 = €41 919,22

Ответ

PV = €41 919,22

2.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 85534 €

Месячная ставка и число взносов

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·18 = 216

Будущая стоимость взносов

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(2,369 − 1)/0,004 = €85 534,17

Ответ

FV = €85 534,17

Сами вы внесли €54 000; остальное — проценты.

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = −1045 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,12)¹ = 7 000/1,12 = 6 250,00

CF₂/(1 + 0,12)² = 5 000/1,254 = 3 985,97

CF₃/(1 + 0,12)³ = 6 000/1,405 = 4 270,68

CF₄/(1 + 0,12)⁴ = 7 000/1,574 = 4 448,63

Сложите

NPV = €−1 044,72

Ответ

NPV = €−1 044,72

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

4.NPV и IRR

Ответ: IRR = 6,129 %

Требуемый коэффициент аннуитета

(1 − (1 + i)⁻³)/i = 40 000/15 000 = 2,667

Находим ставку

Коэффициент аннуитета уменьшается с ростом ставки; найдите интервал для ставки и сужайте его.

i = 6%: 2,673

i = 7%: 2,624

IRR = 6,129%

Ответ

IRR = 6,129%

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 972 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €15,00, i = 0,02, N = 6

Приведённая стоимость купонов

€15,00·(1 − 0,888)/0,02 = €84,02

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,888 = €887,97

Цена

P = €971,99

Ответ

P = €971,99

Доходность выше купонной ставки, поэтому облигация продаётся с дисконтом.

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: D = 5,694 годы

Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Приведённая стоимость каждого потока

t = 1: 20/1,04 = 19,23, t·PV = 19,23

t = 2: 20/1,082 = 18,49, t·PV = 36,98

t = 3: 20/1,125 = 17,78, t·PV = 53,34

t = 4: 20/1,17 = 17,10, t·PV = 68,38

t = 5: 20/1,217 = 16,44, t·PV = 82,19

t = 6: 1020/1,265 = 806,12, t·PV = 4 836,72

Дюрация

P = 895,16

D = 5 096,85/895,16 = 5,694

Ответ

D = 5,694 годы

7.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 11,93 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €9 000 000, E/V = 0,8889, D/V = 0,1111

WACC

WACC = 0,8889·13% + 0,1111·4,5%·(1 − 0,258) = 11,93%

Ответ

WACC = 11,93%

8.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 7,483 %

Рыночные стоимости

E = 4 000 000·€36,50 = €146 000 000

D = 5 000·€1 000 = €5 000 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 1,5% + 1,1·5,5% = 7,55%

Веса

V = €151 000 000, E/V = 0,9669, D/V = 0,03311

WACC

WACC = 0,9669·7,55% + 0,03311·7%·(1 − 0,21) = 7,483%

Ответ

WACC = 7,483%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 18,31

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 228/7 = 32,57

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−20,57)² + 21,43² + (−14,57)² + 26,43² + (−5,571)² + 5,429² + (−12,57)² = 2012

Стандартное отклонение

s = √(2012/6) = 18,31

Ответ

s = 18,31

10.Описательная статистика

Ответ: P = 0,6554

Стандартизуйте

z = 0,4

Таблица нормального распределения

Φ(0,4) = 0,6554

P = 0,6554

Ответ

P = 0,6554

11.Вероятность

Ответ: σ = 11,35

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 10·0,35 + 20·0,25 + 30·0,2 + 40·0,2 = 22,5

Среднее квадратов

E(X²) = 100·0,35 + 400·0,25 + 900·0,2 + 1600·0,2 = 635

Дисперсия

Var(X) = 635 − 22,5² = 128,8

σ = √128,8 = 11,35

Ответ

σ = 11,35

12.Вероятность

Ответ: E(G) = −5 €

Чистые исходы

G: 20 (p = 0,1), 190 (p = 0,01), −10 (p = 0,89)

Математическое ожидание

E(G) = 20·0,1 + 190·0,01 − 10·0,89 = −5 €

Ответ

E(G) = −5 €

Отрицательное значение означает, что в среднем вы теряете деньги.

13.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,5204

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (245,25 − 250)/5 = −0,95

z₂ = (252,5 − 250)/5 = 0,5

Площадь между

P = Φ(0,5) − Φ(−0,95) = 0,6915 − 0,1711 = 0,5204

Ответ

P = 0,5204

14.Нормальное распределение

Ответ: x = 243,6 g

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,1

z из таблицы

z ≈ −1,28

Возврат к исходным единицам

x = 250 − 1,28·5 = 243,6 g

Ответ

x = 243,6 g

15.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 103,4

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 11, t = 3,106

Предельная ошибка

E = 3,106·13,5/√12 = 12,1

Интервал

115,5 ± 12,1 → [103,4, 127,6]

Ответ

нижняя граница = 103,4

16.Доверительные интервалы

Ответ: n = 349

Выразите n

n = (2,576·29/4)² = 348,8

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 349

Ответ

n = 349

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −3,092

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 12/√49 = 12/7 = 1,714

Статистика критерия

t = (114,7 − 120)/1,714 = −3,092

Ответ

t = −3,092

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 96

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((1,645 + 1,282)·10/3)² = 95,19

Округлите вверх

n = 96

Ответ

n = 96

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9912

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 384/6 = 64

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 334

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1622

Коэффициент корреляции

r = 334/√(70·1622) = 0,9912

Ответ

r = 0,9912

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 5,368

Средние

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 284/5 = 56,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 38

Линия регрессии

b = 38/10 = 3,8

a = 56,8 − 3,8·4 = 41,6

ŷ = 41,6 + 3,8·x

Найдите x

x = (62 − 41,6)/3,8 = 5,368

Ответ

x = 5,368

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income