CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €3 000 под номинальную ставку 5 % годовых с капитализацией ежемесячной. Найдите стоимость FV инвестиции через 8 лет.

PV = €3 0005% / 12n = 8

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы вносите €6 000 в начале каждого года в течение 19 лет, первый взнос — сегодня. Счёт даёт 4 % годовых. Сколько будет на счёте в конце года 19? Найдите FV.

A = €6 000i = 4%n = 19

FV = €

3.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €45 000 даёт в конце лет с 1 по 4 такие денежные потоки: €9 000, €19 000, €19 000, €22 000. Стоимость капитала — 10 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 10%CF₀ = −45 000CF₁ = 9 000CF₂ = 19 000CF₃ = 19 000CF₄ = 22 000

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €200 000 сегодня. Его денежный поток в конце года 1 равен €60 000 и растёт на 5 % в год до последнего денежного потока в конце года 4. Стоимость капитала — 8 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €200 000CF₁ = €60 000g = 5%n = 4r = 8%

NPV = €

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 3%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 8 лет. Доходность к погашению — 6% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 3%YTM = 6%n = 8

P = €

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 3% погашается через 8 лет и продаётся за €1 075. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.

F = €1 000купон = 3%n = 8P = €1 075

YTM = %

7.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €8 000 000 и долг стоимостью €2 000 000. Стоимость собственного капитала — 10%, стоимость заёмного капитала до налогов — 4,5%, ставка налога — 25,8%. Найдите WACC.

E = €8 000 000D = €2 000 000r_e = 10%r_d = 4,5%T = 25,8%

WACC = %

8.CAPM и WACCСложная

Бизнес компании имеет бету без учёта долга (бету активов) 0,7. Компания планирует соотношение долга и собственного капитала 0,4. Ставка налога — 25,8%, безрисковая ставка — 3,5%, рыночная премия за риск — 5%. Найдите стоимость собственного капитала r_e при новой структуре капитала.

β_U = 0,7D/E = 0,4T = 25,8%r_f = 3,5%r_m − r_f = 5%

r_e = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 45, 48, 12, 25, 30.

n = 5

s =

10.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 70 и стандартным отклонением 10. Найдите z-оценку z для результата 76.

μ = 70σ = 10x = 76

z =

11.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,1, 0,35, 0,2, 0,35

Var(X) =

12.ВероятностьСложная

Испытывают 5 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,5. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 5p = 0,5

P =

13.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,8324. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,8324

z =

14.Нормальное распределениеСложная

Распределение «сроки службы батареек» нормальное: среднее 500 h, стандартное отклонение 40 h. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 40% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 500 hσ = 40 h40%

x = h

15.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 30 элементов имеет среднее 116 и стандартное отклонение s = 7. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 30x̄ = 116s = 790%t(29) = 1,699

E =

16.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 11. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 1?

σ = 11E = 195%

n =

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 16 студентов имеет средний балл 490,3 и выборочное стандартное отклонение 15. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 490,3s = 15n = 16

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 90 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 2? Стандартное отклонение — 8. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 8E = 290%

n =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (24,5, 92). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(24,5, 92)

e =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 4472 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,05/12 = 0,004167

N = m·n = 12·8 = 96

Будущая стоимость

FV = 3 000·(1 + 0,004167)⁹⁶ = 3 000·1,491 = €4 471,76

Ответ

FV = €4 471,76

2.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 172668 €

Коэффициент обычного аннуитета

((1 + 0,04)¹⁹ − 1)/0,04 = 27,67

Аннуитет пренумерандо

Каждый взнос инвестирован на год дольше.

FV = 6 000·27,67·1,04 = €172 668,47

Ответ

FV = €172 668,47

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = 8186 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 9 000/1,1 = 8 181,82

CF₂/(1 + 0,1)² = 19 000/1,21 = 15 702,48

CF₃/(1 + 0,1)³ = 19 000/1,331 = 14 274,98

CF₄/(1 + 0,1)⁴ = 22 000/1,464 = 15 026,30

Сложите

NPV = €8 185,57

Ответ

NPV = €8 185,57

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

4.NPV и IRR

Ответ: NPV = 13133 €

Приведённая стоимость растущего аннуитета

((1,05)/(1,08))⁴ = 0,8934

PV = 60 000/(0,08 − 0,05)·(1 − 0,8934) = 213 133,24

NPV

NPV = 213 133,24 − 200 000 = €13 133,24

Ответ

NPV = €13 133,24

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 811,6 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €15,00, i = 0,03, N = 16

Приведённая стоимость купонов

€15,00·(1 − 0,6232)/0,03 = €188,42

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,6232 = €623,17

Цена

P = €811,58

Ответ

P = €811,58

Доходность выше купонной ставки, поэтому облигация продаётся с дисконтом.

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 1,977 %

Уравнение для доходности

€1 075 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

Численное решение

P(1%) = €1 153,03, P(2%) = €1 073,25

YTM = 1,977%

Ответ

YTM = 1,977%

7.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 8,668 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €10 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2

WACC

WACC = 0,8·10% + 0,2·4,5%·(1 − 0,258) = 8,668%

Ответ

WACC = 8,668%

8.CAPM и WACC

Ответ: r_e = 8,039 %

Бета с учётом долга (Хамада): долг делает собственный капитал более рискованным. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), где β_U — бета бизнеса без долга. Чтобы перенести бету на другую структуру капитала, сначала очистите её от влияния долга, а затем пересчитайте при новом D/E.

Бета с учётом долга

β_L = 0,7·(1 + 0,742·0,4) = 0,9078

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 3,5% + 0,9078·5% = 8,039%

Ответ

r_e = 8,039%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 14,82

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 160/5 = 32

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 13² + 16² + (−20)² + (−7)² + (−2)² = 878

Стандартное отклонение

s = √(878/4) = 14,82

Ответ

s = 14,82

10.Описательная статистика

Ответ: z = 0,6

Стандартизуйте

z = (76 − 70)/10 = 0,6

Ответ

z = 0,6

11.Вероятность

Ответ: Var(X) = 4,24

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,1 + 2·0,35 + 4·0,2 + 6·0,35 = 3,6

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,1 + 4·0,35 + 16·0,2 + 36·0,35 = 17,2

Дисперсия

Var(X) = 17,2 − 3,6² = 4,24

Ответ

Var(X) = 4,24

12.Вероятность

Ответ: P = 0,1875

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,5⁵ = 0,03125

P(X = 1) = 5·0,5·0,5⁴ = 0,1563

Сложите

P = 0,03125 + 0,1563 = 0,1875

Ответ

P = 0,1875

13.Нормальное распределение

Ответ: z = 1,38

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,8324)/2 = 0,9162

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9162 внутри таблицы и считайте z.

z = 1,38

Ответ

z = 1,38

14.Нормальное распределение

Ответ: x = 490 h

Площадь слева

Φ(z) = 0,4

z из таблицы

z ≈ −0,25

Возврат к исходным единицам

x = 500 − 0,25·40 = 490 h

Ответ

x = 490 h

15.Доверительные интервалы

Ответ: E = 2,171

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 29, t = 1,699

Предельная ошибка

E = 1,699·7/√30 = 2,171

Ответ

E = 2,171

16.Доверительные интервалы

Ответ: n = 465

Выразите n

n = (1,96·11/1)² = 464,8

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 465

Ответ

n = 465

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −2,587

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 15/√16 = 15/4 = 3,75

Статистика критерия

t = (490,3 − 500)/3,75 = −2,587

Ответ

t = −2,587

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 44

Выразите n

n = (1,645·8/2)² = 43,3

Округлите вверх

n = 44

Ответ

n = 44

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9897

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 103/5 = 20,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 136

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 467,2

Коэффициент детерминации

r² = 136²/(40·467,2) = 0,9897

Ответ

r² = 0,9897

Прямая объясняет около 98,97% вариации y.

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 4,85

Средние

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 348/5 = 69,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 351

Линия регрессии

b = 351/90 = 3,9

a = 69,6 − 3,9·20 = −8,4

ŷ = −8,4 + 3,9·x

Прогнозируемое значение

ŷ = −8,4 + 3,9·24,5 = 87,15

Остаток

e = 92 − 87,15 = 4,85

Ответ

e = 4,85

Точка лежит выше прямой.

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income