Ожидается, что объект недвижимости принесёт в следующем году чистую арендную плату €20 000. Ожидается, что арендная плата будет расти на 3 % в год бессрочно. Требуемая доходность — 9 % годовых. Найдите стоимость PV объекта сегодня.
C1 = €20 000g = 3%r = 9%
PV = €
2.Временная стоимость денегСложная
Кредит €25 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 3 лет. Ставка — 6 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный платёж A.
P = €25 0006% / 12N = 36
A = €
3.NPV и IRRСредняя
Инвестиция €20 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €5 000, €6 000, €5 000. Стоимость капитала — 12 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.
Проект стоит €25 000 и приносит €16 500, €10 000, €13 000 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.
CF0 = −25 000CF1 = 16 500CF2 = 10 000CF3 = 13 000
IRR = %
5.Цена и доходность облигацийСредняя
Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 4,5% и погашается через 11 лет. Её доходность к погашению меняется с 9% до 9,5%. На сколько ΔP изменится цена облигации?
F = €1 000купон = 4,5%n = 11y1 = 9%y2 = 9,5%
ΔP = €
6.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация номиналом €1 000 выплачивает годовой купон 4,5% двумя полугодовыми платежами и погашается через 7 лет. Она продаётся за €915. Найдите её доходность к погашению YTM как годовую ставку (удвоенная полугодовая доходность) в процентах.
F = €1 000купон = 4,5% (2×)n = 7P = €915
YTM = %
7.CAPM и WACCСредняя
Компания финансируется обыкновенными акциями стоимостью €10 000 000, привилегированными акциями стоимостью €500 000 и долгом стоимостью €4 000 000. Стоимость собственного капитала — 10%, стоимость привилегированного капитала — 8%, стоимость долга до налогов — 6%. Ставка налога — 21%. Найдите WACC.
У компании 4 000 000 акций по €16,50 за штуку и 5 000 облигаций рыночной стоимостью €1 000 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 5%, ставка налога — 30%. Бета акции — 1,3, безрисковая ставка — 3%, доходность рынка — 7,5%. Найдите WACC.
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 50 и стандартным отклонением 10. Найдите z-оценку z для результата 42.
μ = 50σ = 10x = 42
z =
11.ВероятностьСредняя
Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 2 человек из группы из 11 человек? Порядок не важен.
n = 11k = 2
N =
12.ВероятностьСложная
В тесте 10 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,3, независимо. Какова вероятность P ровно 5 верных ответов?
n = 10p = 0,3k = 5
P =
13.Нормальное распределениеСредняя
Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,2981. Найдите z с точностью до двух знаков.
A = 0,2981
z =
14.Нормальное распределениеСложная
Распределение «значения роста взрослых мужчин» нормальное: среднее 178 cm, стандартное отклонение 7 cm. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 95% были справа от неё. Найдите границу x.
μ = 178 cmσ = 7 cm95%
x = cm
15.Доверительные интервалыСредняя
90 % доверительный интервал для среднего, построенный по 36 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 3,2. Какой будет предельная ошибка E₂ 95 % интервала по тем же данным?
90%n₁ = 36E₁ = 3,295%
E₂ =
16.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 17. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 4?
σ = 17E = 495%
n =
17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 81 студентов имеет средний балл 71,56 и выборочное стандартное отклонение 10. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 71,56s = 10n = 81
t =
18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
В исследовании выздоравливают 52 из 80 пациентов, получавших лечение A, и 66 из 120 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 52n₁ = 80x₂ = 66n₂ = 120
z =
19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.
n = 6
r² =
20.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 15?
n = 6ŷ = 15
x =
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: PV = 333333 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Месячная ставка и число платежей
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·3 = 36
Платёж
Приведённая стоимость N равных платежей A равна A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Приравняйте её к кредиту и найдите A.
(1 + i)−N = 0,8356
A = 25 000·0,005/(1 − 0,8356) = €760,55
Ответ
A = €760,55
3.NPV и IRR
Ответ: NPV = −7194 €
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Приведённая стоимость каждого потока
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 5 000/1,12 = 4 464,29
CF2/(1 + 0,12)2 = 6 000/1,254 = 4 783,16
CF3/(1 + 0,12)3 = 5 000/1,405 = 3 558,90
Сложите
NPV = €−7 193,65
Ответ
NPV = €−7 193,65
NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.
4.NPV и IRR
Ответ: IRR = 28,57 %
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Ограничьте IRR с двух сторон
NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.
NPV(25%) = 1 256,00
NPV(30%) = −473,37
Сужайте
Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
За период
C = €22,50, N = 14
Численное решение
i = 3,003% за полгода
YTM
YTM = 2·3,003% = 6,005%
Ответ
YTM = 6,005%
7.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 8,48 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (42 − 50)/10 = −0,8
Ответ
z = −0,8
11.Вероятность
Ответ: N = 55
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Сочетания
C(11, 2) = (11·10)/(2·1) = 55
Ответ
N = 55
12.Вероятность
Ответ: P = 0,1029
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева от z
Φ(z) = 1 − 0,2981 = 0,7019
Читайте таблицу z в обратную сторону
Найдите 0,7019 внутри таблицы и считайте z.
z = 0,53
Ответ
z = 0,53
14.Нормальное распределение
Ответ: x = 166,5 cm
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева
Φ(z) = 0,05
z из таблицы
z ≈ −1,64
Возврат к исходным единицам
x = 178 − 1,64·7 = 166,5 cm
Ответ
x = 166,5 cm
15.Доверительные интервалы
Ответ: E₂ = 3,813
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Отношение предельных ошибок
E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(36/36) = 1,191
Новая предельная ошибка
E₂ = 3,2·1,191 = 3,813
Ответ
E₂ = 3,813
16.Доверительные интервалы
Ответ: n = 70
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (1,96·17/4)² = 69,39
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 70
Ответ
n = 70
17.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −3,096
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 10/√81 = 10/9 = 1,111
Статистика критерия
t = (71,56 − 75)/1,111 = −3,096
Ответ
t = −3,096
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| > 1,99, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
18.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: z = 1,409
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Выборочные доли
p̂₁ = 52/80 = 0,65
p̂₂ = 66/120 = 0,55
p̂ = 118/200 = 0,59
Стандартная ошибка при H₀
SE = √(0,59·0,41·(1/80 + 1/120)) = 0,07099
Статистика критерия
z = (0,65 − 0,55)/0,07099 = 1,409
Ответ
z = 1,409
|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
19.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r² = 0,993
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 153/6 = 25,5
ȳ = 511/6 = 85,17
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 697,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 3111
Коэффициент детерминации
r² = 697,5²/(157,5·3111) = 0,993
Ответ
r² = 0,993
Прямая объясняет около 99,3% вариации y.
20.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: x = 8,977
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 70/6 = 11,67
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 118
Линия регрессии
b = 118/70 = 1,686
a = 11,67 − 1,686·7 = −0,1333
ŷ = −0,1333 + 1,686·x
Найдите x
x = (15 − (−0,1333))/1,686 = 8,977
Ответ
x = 8,977
Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.