Аннуитет выплачивает €1 500 в конце каждого года в течение 5 лет. Процентная ставка — 5 % годовых. Найдите приведённую стоимость PV аннуитета.
A = €1 500i = 5%n = 5
PV = €
2.Временная стоимость денегСложная
Кредит €200 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 30 лет. Ставка — 3,6 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный платёж A.
P = €200 0003,6% / 12N = 360
A = €
3.NPV и IRRСредняя
Проект стоит €400 000 сегодня. Он приносит €26 000 в конце первого года, а затем денежный поток растёт на 1 % в год бессрочно. Стоимость капитала — 9 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.
C0 = €400 000CF1 = €26 000g = 1%r = 9%
NPV = €
4.NPV и IRRСложная
Проект стоит €40 000 и приносит €29 000, €17 000 в конце лет с 1 по 2. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.
CF0 = −40 000CF1 = 29 000CF2 = 17 000
IRR = %
5.Цена и доходность облигацийСредняя
Вы покупаете облигацию со сроком до погашения 9 лет (номинал €1 000, ежегодный купон 4,5%) при доходности к погашению 9%. Через год, сразу после получения первого купона, вы продаёте её при доходности к погашению 9,5%. Найдите доходность за период владения HPR в процентах.
F = €1 000купон = 4,5%n = 9y0 = 9%y1 = 9,5%
HPR = %
6.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 4% погашается через 5 лет и продаётся за €1 095. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.
F = €1 000купон = 4%n = 5P = €1 095
YTM = %
7.CAPM и WACCСредняя
У компании собственный капитал стоимостью €3 000 000 и долг стоимостью €6 000 000. Стоимость собственного капитала — 11%, стоимость заёмного капитала до налогов — 4,5%, ставка налога — 30%. Найдите WACC.
У компании 1 000 000 акций по €18,00 за штуку и 40 000 облигаций рыночной стоимостью €1 050 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 5%, ставка налога — 28%. Бета акции — 1,3, безрисковая ставка — 3,5%, доходность рынка — 7,5%. Найдите WACC.
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 100 и стандартным отклонением 8. Найдите z-оценку z для результата 104,8.
μ = 100σ = 8x = 104,8
z =
11.ВероятностьСредняя
В мешочке 6 красных и 4 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?
6 / 4
P =
12.ВероятностьСложная
Игра стоит €5. Вы выигрываете €20 с вероятностью 0,3 и €250 с вероятностью 0,05; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.
ставка = €5€20: p = 0,3€250: p = 0,05
E(G) = €
13.Нормальное распределениеСредняя
Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Какая доля значений лежит между 167,15 и 181,85 cm? Дайте P в виде десятичной дроби.
μ = 178σ = 7x1 = 167,15x2 = 181,85
P =
14.Нормальное распределениеСложная
Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,03 mm и стандартным отклонением 0,015 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,01 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.
отверстие: μ = 25,03 mm, σ = 0,015 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
15.Доверительные интервалыСредняя
95 % доверительный интервал для среднего, построенный по 100 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 6,4. Какой будет предельная ошибка E₂ 90 % интервала по тем же данным?
95%n₁ = 100E₁ = 6,490%
E₂ =
16.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 21. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 2,5?
σ = 21E = 2,599%
n =
17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 49 студентов имеет средний балл 498,2 и выборочное стандартное отклонение 4. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 498,2s = 4n = 49
t =
18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Односторонний z-критерий при α = 0,01 должен обнаруживать сдвиг среднего на 5 единиц с мощностью 80 %. Стандартное отклонение равно 10. Найдите минимальный объём выборки n.
В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 5
r =
20.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 3,5.
n = 5x = 3,5
ŷ =
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: PV = 6494 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Коэффициент аннуитета
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,7835)/0,05 = 4,329
Приведённая стоимость
PV = 1 500·4,329 = €6 494,22
Ответ
PV = €6 494,22
2.Временная стоимость денег
Ответ: A = 909,3 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Месячная ставка и число платежей
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·30 = 360
Платёж
Приведённая стоимость N равных платежей A равна A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Приравняйте её к кредиту и найдите A.
(1 + i)−N = 0,3401
A = 200 000·0,003/(1 − 0,3401) = €909,29
Ответ
A = €909,29
3.NPV и IRR
Ответ: NPV = −75000 €
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Стоимость денежных потоков
PV = 26 000/(0,09 − 0,01) = 325 000,00
NPV
NPV = 325 000,00 − 400 000 = −€75 000,00
Ответ
NPV = −€75 000,00
NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.
4.NPV и IRR
Ответ: IRR = 10,84 %
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Ограничьте IRR с двух сторон
NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.
NPV(10%) = 413,22
NPV(15%) = −1 928,17
Сужайте
Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Уравнение для доходности
€1 095 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Численное решение
P(1%) = €1 145,60, P(2%) = €1 094,27
YTM = 1,985%
Ответ
YTM = 1,985%
7.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 5,767 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Рыночные стоимости
E = 1 000 000·€18,00 = €18 000 000
D = 40 000·€1 050 = €42 000 000
Стоимость собственного капитала (CAPM)
re = 3,5% + 1,3·4% = 8,7%
Веса
V = €60 000 000, E/V = 0,3, D/V = 0,7
WACC
WACC = 0,3·8,7% + 0,7·5%·(1 − 0,28) = 5,13%
Ответ
WACC = 5,13%
9.Описательная статистика
Ответ: s = 16,07
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (104,8 − 100)/8 = 0,6
Ответ
z = 0,6
11.Вероятность
Ответ: P = 0,3333
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Первое и второе извлечение
P = 6/10 · 5/9 = 30/90 = 0,3333
Ответ
P = 0,3333
12.Вероятность
Ответ: E(G) = 13,5 €
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Чистые исходы
G: 15 (p = 0,3), 245 (p = 0,05), −5 (p = 0,65)
Математическое ожидание
E(G) = 15·0,3 + 245·0,05 − 5·0,65 = 13,5 €
Ответ
E(G) = 13,5 €
Положительное значение означает, что в среднем вы выигрываете деньги.
13.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,6483
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).
Распределение разности
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,01803 mm
Стандартизуйте
z = (0 − 0,03)/0,01803 = −1,66
Вероятность
P = 1 − Φ(−1,66) = 0,9515
Ответ
P = 0,9515
15.Доверительные интервалы
Ответ: E₂ = 5,371
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Отношение предельных ошибок
E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(100/100) = 0,8393
Новая предельная ошибка
E₂ = 6,4·0,8393 = 5,371
Ответ
E₂ = 5,371
16.Доверительные интервалы
Ответ: n = 469
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (2,576·21/2,5)² = 468,2
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 469
Ответ
n = 469
17.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −3,15
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 4/√49 = 4/7 = 0,5714
Статистика критерия
t = (498,2 − 500)/0,5714 = −3,15
Ответ
t = −3,15
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| > 2,011, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
18.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: n = 41
Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.
Выразите n
n = ((2,326 + 0,842)·10/5)² = 40,14
Округлите вверх
n = 41
Ответ
n = 41
19.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = 0,9673
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 49/5 = 9,8
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 50
Syy = Σ(y − ȳ)² = 66,8
Коэффициент корреляции
r = 50/√(40·66,8) = 0,9673
Ответ
r = 0,9673
20.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: ŷ = 23
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 120/5 = 24
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −20
Линия регрессии
b = −20/10 = −2
a = 24 − (−2)·3 = 30
ŷ = 30 − 2·x
Прогноз
ŷ = 30 + (−2)·3,5 = 23
Ответ
ŷ = 23
Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.