CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Через 2 лет вам нужно €50 000. Счёт даёт 3 % годовых с капитализацией ежемесячной. Сколько нужно положить сегодня? Найдите приведённую стоимость PV.

FV = €50 0003% / 12n = 2

PV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Ипотечный кредит €300 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 25 лет под 5,4 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько ещё остаётся должен заёмщик сразу после платежа в конце года 7? Найдите остаток долга B.

P = €300 0005,4% / 12N = 300k = 84

B = €

3.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €75 000 даёт в конце лет с 1 по 4 такие денежные потоки: €16 000, €15 000, €16 000, €37 000. Стоимость капитала — 10 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 10%CF₀ = −75 000CF₁ = 16 000CF₂ = 15 000CF₃ = 16 000CF₄ = 37 000

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €20 000 и приносит €11 500, €13 000, €15 000 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −20 000CF₁ = 11 500CF₂ = 13 000CF₃ = 15 000

IRR = %

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 7%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 11 лет. Доходность к погашению — 5% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 7%YTM = 5%n = 11

P = €

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 7% и погашается через 4 лет. Доходность к погашению — 5%. Найдите дюрацию Маколея D в годах.

F = €1 000купон = 7%n = 4YTM = 5%

D = годы

7.CAPM и WACCСредняя

Компания финансируется обыкновенными акциями стоимостью €5 000 000, привилегированными акциями стоимостью €1 000 000 и долгом стоимостью €4 000 000. Стоимость собственного капитала — 10%, стоимость привилегированного капитала — 7%, стоимость долга до налогов — 4%. Ставка налога — 28%. Найдите WACC.

E = €5 000 000P_s = €1 000 000D = €4 000 000r_e = 10%r_p = 7%r_d = 4%T = 28%

WACC = %

8.CAPM и WACCСложная

Бета акций компании равна 1,1 при текущем соотношении долга и собственного капитала 0,25. Компания планирует увеличить это соотношение до 0,6. Ставка налога — 25%, безрисковая ставка — 1%, рыночная премия за риск — 7%. Найдите стоимость собственного капитала r_e после изменения.

β_L = 1,1D/E₁ = 0,25D/E₂ = 0,6T = 25%r_f = 1%r_m − r_f = 7%

r_e = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 31, 59, 52, 29, 26, 58, 46.

n = 7

s =

10.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 100 и стандартным отклонением 10. Какая доля P значений меньше 120?

μ = 100σ = 10x = 120

P =

11.ВероятностьСредняя

В мешочке 3 красных и 4 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?

3 / 4

P =

12.ВероятностьСложная

Испытывают 5 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,4. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 5p = 0,4

P =

13.Нормальное распределениеСредняя

X нормальна со средним 60 s и стандартным отклонением 5 s; Y независима и нормальна со средним 45 s и стандартным отклонением 4 s. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 99,9 s. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 99,9 s

P =

14.Нормальное распределениеСложная

Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,02 mm и стандартным отклонением 0,02 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,015 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.

отверстие: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

15.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 7 элементов имеет среднее 82,5 и стандартное отклонение s = 19,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 7x̄ = 82,5s = 19,599%t(6) = 3,707

верхняя граница =

16.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 31. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 2,5?

σ = 31E = 2,590%

n =

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 25 студентов имеет средний балл 198,9 и выборочное стандартное отклонение 4. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 198,9s = 4n = 25

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 36 измерений имеет среднее 199,5. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 4. Найдите нижнюю границу L 95 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 199,5σ = 4n = 3695%

L =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 30Σy = 88Σx² = 220Σy² = 2012Σxy = 664

r =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 70?

n = 5ŷ = 70

x =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 47092 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·2 = 24

Приведённая стоимость

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1,062 = €47 091,75

Ответ

PV = €47 091,75

2.Временная стоимость денег

Ответ: B = 251704 €

Ежемесячный платёж

i = 0,0045, N = 300

A = 300 000·0,0045/(1 − (1 + 0,0045)⁻³⁰⁰) = €1 824,39

Приведённая стоимость оставшихся платежей

Всё, что ещё остаётся в долге, должно быть в точности погашено оставшимися платежами.

N − k = 300 − 84 = 216

B = 1824·(1 − (1 + 0,0045)⁻²¹⁶)/0,0045 = €251 704,38

Ответ

B = €251 704,38

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = −10765 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 16 000/1,1 = 14 545,45

CF₂/(1 + 0,1)² = 15 000/1,21 = 12 396,69

CF₃/(1 + 0,1)³ = 16 000/1,331 = 12 021,04

CF₄/(1 + 0,1)⁴ = 37 000/1,464 = 25 271,50

Сложите

NPV = €−10 765,32

Ответ

NPV = €−10 765,32

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

4.NPV и IRR

Ответ: IRR = 41,17 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(40%) = 313,41

NPV(45%) = −965,60

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 40 + 5·313,41/(313,41 − (−965,60)) = 41,23%

точно: NPV(41,17%) = 0 → IRR = 41,17%

Ответ

IRR = 41,17%

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 1168 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €35,00, i = 0,025, N = 22

Приведённая стоимость купонов

€35,00·(1 − 0,5809)/0,025 = €586,79

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,5809 = €580,86

Цена

P = €1 167,65

Ответ

P = €1 167,65

Доходность ниже купонной ставки, поэтому облигация продаётся с премией.

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: D = 3,638 годы

Дюрация: дюрация Маколея — это средневзвешенное время поступления денежных потоков по облигации, где весами служат приведённые стоимости денежных потоков: D = Σ t·PVₜ/P. Модифицированная дюрация D/(1 + y) оценивает процентное изменение цены при небольшом изменении доходности: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Приведённая стоимость каждого потока

t = 1: 70/1,05 = 66,67, t·PV = 66,67

t = 2: 70/1,103 = 63,49, t·PV = 126,98

t = 3: 70/1,158 = 60,47, t·PV = 181,41

t = 4: 1070/1,216 = 880,29, t·PV = 3 521,17

Дюрация

P = 1 070,92

D = 3 896,22/1 070,92 = 3,638

Ответ

D = 3,638 годы

7.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 6,852 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = 5 000 000 + 1 000 000 + 4 000 000 = €10 000 000

E/V = 0,5, P_s/V = 0,1, D/V = 0,4

WACC

WACC = 0,5·10% + 0,1·7% + 0,4·4%·(1 − 0,28) = 6,852%

Ответ

WACC = 6,852%

8.CAPM и WACC

Ответ: r_e = 10,4 %

Бета с учётом долга (Хамада): долг делает собственный капитал более рискованным. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), где β_U — бета бизнеса без долга. Чтобы перенести бету на другую структуру капитала, сначала очистите её от влияния долга, а затем пересчитайте при новом D/E.

Бета без учёта долга

β_U = 1,1/(1 + 0,75·0,25) = 0,9263

Пересчёт при новом D/E

β_L = 0,9263·(1 + 0,75·0,6) = 1,343

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 1% + 1,343·7% = 10,4%

Ответ

r_e = 10,4%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 14,14

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 301/7 = 43

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−12)² + 16² + 9² + (−14)² + (−17)² + 15² + 3² = 1200

Стандартное отклонение

s = √(1200/6) = 14,14

Ответ

s = 14,14

10.Описательная статистика

Ответ: P = 0,9772

Стандартизуйте

z = 2

Таблица нормального распределения

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Ответ

P = 0,9772

11.Вероятность

Ответ: P = 0,1429

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Первое и второе извлечение

P = 3/7 · 2/6 = 6/42 = 0,1429

Ответ

P = 0,1429

12.Вероятность

Ответ: P = 0,337

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,6⁵ = 0,07776

P(X = 1) = 5·0,4·0,6⁴ = 0,2592

Сложите

P = 0,07776 + 0,2592 = 0,337

Ответ

P = 0,337

13.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7881

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Стандартизуйте

z = (99,9 − 105)/6,403 = −0,8

Верхний хвост

P = 1 − Φ(−0,8) = 1 − 0,2119 = 0,7881

Ответ

P = 0,7881

14.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7881

Распределение разности

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,025 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,02)/0,025 = −0,8

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Ответ

P = 0,7881

15.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 109,8

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 6, t = 3,707

Предельная ошибка

E = 3,707·19,5/√7 = 27,32

Интервал

82,5 ± 27,32 → [55,18, 109,8]

Ответ

верхняя граница = 109,8

16.Доверительные интервалы

Ответ: n = 417

Выразите n

n = (1,645·31/2,5)² = 416,1

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 417

Ответ

n = 417

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −1,375

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 4/√25 = 4/5 = 0,8

Статистика критерия

t = (198,9 − 200)/0,8 = −1,375

Ответ

t = −1,375

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 198,2

Предельная ошибка

E = 1,96·4/√36 = 1,307

Граница интервала

L = 199,5 − 1,307 = 198,2

Ответ

L = 198,2

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9991

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 664 − 30·88/5 = 136

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 2012 − 88²/5 = 463,2

Коэффициент корреляции

r = 136/√(40·463,2) = 0,9991

Ответ

r = 0,9991

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 9,063

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 301/5 = 60,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 128

Линия регрессии

b = 128/40 = 3,2

a = 60,2 − 3,2·6 = 41

ŷ = 41 + 3,2·x

Найдите x

x = (70 − 41)/3,2 = 9,063

Ответ

x = 9,063

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income