CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Через 2 лет вам нужно €40 000. Счёт даёт 2 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Сколько нужно положить сегодня? Найдите приведённую стоимость PV.

FV = €40 0002% / 4n = 2

PV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Кредит €20 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 4 лет под 4,2 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько процентов I будет уплачено всего за весь срок кредита?

P = €20 0004,2% / 12N = 48

I = €

3.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €30 000 даёт в конце лет с 1 по 4 такие денежные потоки: €13 000, €14 000, €14 000, €7 000. Стоимость капитала — 9 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 9%CF₀ = −30 000CF₁ = 13 000CF₂ = 14 000CF₃ = 14 000CF₄ = 7 000

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €10 000 и приносит €5 000, €7 000 в конце лет с 1 по 2. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −10 000CF₁ = 5 000CF₂ = 7 000

IRR = %

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Вы покупаете облигацию со сроком до погашения 11 лет (номинал €1 000, ежегодный купон 8%) при доходности к погашению 9%. Через год, сразу после получения первого купона, вы продаёте её при доходности к погашению 8,5%. Найдите доходность за период владения HPR в процентах.

F = €1 000купон = 8%n = 11y₀ = 9%y₁ = 8,5%

HPR = %

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 выплачивает годовой купон 2% двумя полугодовыми платежами и погашается через 7 лет. Она продаётся за €727. Найдите её доходность к погашению YTM как годовую ставку (удвоенная полугодовая доходность) в процентах.

F = €1 000купон = 2% (2×)n = 7P = €727

YTM = %

7.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €6 000 000 и долг стоимостью €1 000 000. Стоимость собственного капитала — 8%, стоимость заёмного капитала до налогов — 4%, ставка налога — 25%. Найдите WACC.

E = €6 000 000D = €1 000 000r_e = 8%r_d = 4%T = 25%

WACC = %

8.CAPM и WACCСложная

У компании 5 000 000 акций по €14,00 за штуку и 40 000 облигаций рыночной стоимостью €1 020 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 5%, ставка налога — 20%. Бета акции — 0,8, безрисковая ставка — 2%, доходность рынка — 8%. Найдите WACC.

β = 0,8r_f = 2%r_m = 8%r_d = 5%T = 20%

WACC = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 17, 58, 45, 56, 57.

n = 5

s =

10.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 60 и стандартным отклонением 10. Какая доля P значений меньше 45?

μ = 60σ = 10x = 45

P =

11.ВероятностьСредняя

В мешочке 8 красных и 7 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?

8 / 7

P =

12.ВероятностьСложная

Испытывают 6 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,1. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 6p = 0,1

P =

13.Нормальное распределениеСредняя

X нормальна со средним 250 g и стандартным отклонением 4 g; Y независима и нормальна со средним 500 g и стандартным отклонением 9 g. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 764,8 g. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 764,8 g

P =

14.Нормальное распределениеСложная

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 5 % значений (5-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 5%

x = баллов

15.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 9 элементов имеет среднее 38 и стандартное отклонение s = 14. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 9x̄ = 38s = 1495%t(8) = 2,306

верхняя граница =

16.Доверительные интервалыСложная

О доле бракованных изделий заранее ничего не известно. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 99 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,01?

p = 0,5E = 0,0199%

n =

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 9 студентов, средний балл 70,5, стандартное отклонение 7. Группа 2: 8 студентов, средний балл 59,6, стандартное отклонение 11,5. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).

n₁ = 9x̄₁ = 70,5s₁ = 7n₂ = 8x̄₂ = 59,6s₂ = 11,5

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 50 из 250 пациентов, получавших лечение A, и 16 из 200 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 50n₁ = 250x₂ = 16n₂ = 200

z =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6Σx = 42Σy = 80Σx² = 364Σy² = 1370Σxy = 702

r =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 3,5.

n = 5x = 3,5

ŷ =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 38435 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = 0,02/4 = 0,005

N = 4·2 = 8

Приведённая стоимость

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1,041 = €38 435,41

Ответ

PV = €38 435,41

2.Временная стоимость денег

Ответ: I = 1762 €

Ежемесячный платёж

i = 0,0035, N = 48

A = 20 000·0,0035/(1 − (1 + 0,0035)⁻⁴⁸) = €453,37

Всего процентов

I = N·A − P = 48·453,4 − 20 000 = €1 761,92

Ответ

I = €1 761,92

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = 9480 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 13 000/1,09 = 11 926,61

CF₂/(1 + 0,09)² = 14 000/1,188 = 11 783,52

CF₃/(1 + 0,09)³ = 14 000/1,295 = 10 810,57

CF₄/(1 + 0,09)⁴ = 7 000/1,412 = 4 958,98

Сложите

NPV = €9 479,67

Ответ

NPV = €9 479,67

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

4.NPV и IRR

Ответ: IRR = 12,32 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(10%) = 330,58

NPV(15%) = −359,17

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 10 + 5·330,58/(330,58 − (−359,17)) = 12,4%

точно: NPV(12,32%) = 0 → IRR = 12,32%

Ответ

IRR = 12,32%

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: HPR = 12,37 %

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Цена покупки

C = €80,00, i = 0,09, N = 11

€80,00·(1 − 0,3875)/0,09 + €1 000·0,3875 = €544,42 + €387,53 = €931,95

Цена продажи

C = €80,00, i = 0,085, N = 10

€80,00·(1 − 0,4423)/0,085 + €1 000·0,4423 = €524,91 + €442,29 = €967,19

Доходность за период владения

HPR = (80 + 967,19 − 931,95)/931,95 = 12,37%

Ответ

HPR = 12,37%

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 7 %

За период

C = €10,00, N = 14

Численное решение

i = 3,5% за полгода

YTM

YTM = 2·3,5% = 7%

Ответ

YTM = 7%

7.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 7,286 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €7 000 000, E/V = 0,8571, D/V = 0,1429

WACC

WACC = 0,8571·8% + 0,1429·4%·(1 − 0,25) = 7,286%

Ответ

WACC = 7,286%

8.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 5,769 %

Рыночные стоимости

E = 5 000 000·€14,00 = €70 000 000

D = 40 000·€1 020 = €40 800 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 2% + 0,8·6% = 6,8%

Веса

V = €110 800 000, E/V = 0,6318, D/V = 0,3682

WACC

WACC = 0,6318·6,8% + 0,3682·5%·(1 − 0,2) = 5,769%

Ответ

WACC = 5,769%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 17,36

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 233/5 = 46,6

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−29,6)² + 11,4² + (−1,6)² + 9,4² + 10,4² = 1205

Стандартное отклонение

s = √(1205/4) = 17,36

Ответ

s = 17,36

10.Описательная статистика

Ответ: P = 0,06681

Стандартизуйте

z = −1,5

Таблица нормального распределения

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 0,06681

Ответ

P = 0,06681

11.Вероятность

Ответ: P = 0,2667

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Первое и второе извлечение

P = 8/15 · 7/14 = 56/210 = 0,2667

Ответ

P = 0,2667

12.Вероятность

Ответ: P = 0,8857

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,9⁶ = 0,5314

P(X = 1) = 6·0,1·0,9⁵ = 0,3543

Сложите

P = 0,5314 + 0,3543 = 0,8857

Ответ

P = 0,8857

13.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,06681

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Стандартизуйте

z = (764,8 − 750)/9,849 = 1,5

Верхний хвост

P = 1 − Φ(1,5) = 1 − 0,9332 = 0,06681

Ответ

P = 0,06681

14.Нормальное распределение

Ответ: x = 48,55 баллов

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Обратно к x

x = 65 + −1,645·10 = 48,55 баллов

Ответ

x = 48,55 баллов

15.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 48,76

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 8, t = 2,306

Предельная ошибка

E = 2,306·14/√9 = 10,76

Интервал

38 ± 10,76 → [27,24, 48,76]

Ответ

верхняя граница = 48,76

16.Доверительные интервалы

Ответ: n = 16590

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Выразите n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,01² = 16589

Округлите вверх

n = 16590

Ответ

n = 16590

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,393

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Объединённая дисперсия

s_p² = (8·7² + 7·11,5²)/15 = 87,85

s_p = 9,373

Стандартная ошибка

SE = 9,373·√(1/9 + 1/8) = 4,554

Статистика критерия

t = (70,5 − 59,6)/4,554 = 2,393

Ответ

t = 2,393

При df = 15 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,131; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = 3,575

Выборочные доли

p̂₁ = 50/250 = 0,2

p̂₂ = 16/200 = 0,08

p̂ = 66/450 = 0,1467

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,1467·0,8533·(1/250 + 1/200)) = 0,03356

Статистика критерия

z = (0,2 − 0,08)/0,03356 = 3,575

Ответ

z = 3,575

|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9745

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 702 − 42·80/6 = 142

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 1370 − 80²/6 = 303,3

Коэффициент корреляции

r = 142/√(70·303,3) = 0,9745

Ответ

r = 0,9745

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 52,15

Средние

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 275/5 = 55

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 57

Линия регрессии

b = 57/10 = 5,7

a = 55 − 5,7·4 = 32,2

ŷ = 32,2 + 5,7·x

Прогноз

ŷ = 32,2 + 5,7·3,5 = 52,15

Ответ

ŷ = 52,15

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income