Через 10 лет вам нужно €15 000. Счёт даёт 3,6 % годовых с капитализацией ежемесячной. Сколько нужно положить сегодня? Найдите приведённую стоимость PV.
FV = €15 0003,6% / 12n = 10
PV = €
2.Временная стоимость денегСложная
Вы берёте в долг €12 000 под 3,6 % годовых с ежемесячной капитализацией и погашаете €225 в конце каждого месяца. Через сколько месяцев кредит будет погашен (последний платёж может быть меньше)? Укажите число платежей N.
P = €12 000A = €2253,6% / 12
N = платежей
3.NPV и IRRСредняя
Инвестиция €60 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €18 000, €25 000, €16 000. Стоимость капитала — 8 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.
Проект стоит €25 000 и приносит €14 000, €11 500, €13 500 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.
CF0 = −25 000CF1 = 14 000CF2 = 11 500CF3 = 13 500
IRR = %
5.Цена и доходность облигацийСредняя
Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 4,5%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 12 лет. Доходность к погашению — 5% годовых. Найдите цену облигации P.
F = €1 000купон = 4,5%YTM = 5%n = 12
P = €
6.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 7% погашается через 10 лет и продаётся за €1 115. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.
F = €1 000купон = 7%n = 10P = €1 115
YTM = %
7.CAPM и WACCСредняя
У компании собственный капитал стоимостью €3 000 000 и долг стоимостью €2 000 000. Стоимость собственного капитала — 9%, стоимость заёмного капитала до налогов — 4%, ставка налога — 21%. Найдите WACC.
E = €3 000 000D = €2 000 000re = 9%rd = 4%T = 21%
WACC = %
8.CAPM и WACCСложная
У компании 5 000 000 акций по €58,00 за штуку и 5 000 облигаций рыночной стоимостью €1 050 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 3,5%, ставка налога — 21%. Бета акции — 1,8, безрисковая ставка — 1%, доходность рынка — 6%. Найдите WACC.
Величина распределена нормально со средним 70 и стандартным отклонением 8. Какая доля P значений меньше 62?
μ = 70σ = 8x = 62
P =
11.ВероятностьСредняя
В мешочке 7 красных и 8 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?
7 / 8
P =
12.ВероятностьСложная
В тесте 10 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,5, независимо. Какова вероятность P ровно 5 верных ответов?
n = 10p = 0,5k = 5
P =
13.Нормальное распределениеСредняя
Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,8584. Найдите z с точностью до двух знаков.
A = 0,8584
z =
14.Нормальное распределениеСложная
Масса X изделия с линии 1 и Y с линии 2 независимы и нормально распределены: X имеет среднее 500 g и стандартное отклонение 8 g, Y имеет среднее 490 g и стандартное отклонение 6 g. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
15.Доверительные интервалыСредняя
90 % доверительный интервал для среднего, построенный по 25 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 12. Какой будет предельная ошибка E₂ 95 % интервала по 50 наблюдениям?
90%n₁ = 25E₁ = 1295%n₂ = 50
E₂ =
16.Доверительные интервалыСложная
Диаметры 10 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 4,5 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — верхняя граница σ. При df = 9 2,5 % распределения χ² лежит ниже 2,7 и 2,5 % — выше 19,023.
n = 10s = 4,5 µmχ² = 2,7, 19,023
σ = µm
17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 49 студентов имеет средний балл 98,46 и выборочное стандартное отклонение 12. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 98,46s = 12n = 49
t =
18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Выборка из 100 измерений имеет среднее 73,3. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 15. Найдите нижнюю границу L 99 % доверительного интервала для среднего.
x̄ = 73,3σ = 15n = 10099%
L =
19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.
В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 17?
n = 6ŷ = 17
x =
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: PV = 10471 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Ставка и число периодов
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·10 = 120
Приведённая стоимость
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1,433 = €10 470,79
Ответ
PV = €10 470,79
2.Временная стоимость денег
Ответ: N = 59 платежей
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Преобразуем формулу аннуитета
i = 0,003
(1 + i)−N = 1 − 12 000·0,003/225 = 0,84
Решаем с помощью логарифмов
N = −ln(0,84)/ln(1,003) = 58,2
Округляем вверх до целых платежей
После 58 полных платежей остаётся небольшой долг, который погашает последний, меньший платёж.
N = 59
Ответ
N = 59 платежей
3.NPV и IRR
Ответ: NPV = −9199 €
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Приведённая стоимость каждого потока
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 18 000/1,08 = 16 666,67
CF2/(1 + 0,08)2 = 25 000/1,166 = 21 433,47
CF3/(1 + 0,08)3 = 16 000/1,26 = 12 701,32
Сложите
NPV = €−9 198,55
Ответ
NPV = €−9 198,55
NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.
4.NPV и IRR
Ответ: IRR = 26,29 %
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Ограничьте IRR с двух сторон
NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.
NPV(25%) = 472,00
NPV(30%) = −1 281,29
Сужайте
Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
За период
C = €22,50, i = 0,025, N = 24
Приведённая стоимость купонов
€22,50·(1 − 0,5529)/0,025 = €402,41
Приведённая стоимость номинала
€1 000·0,5529 = €552,88
Цена
P = €955,29
Ответ
P = €955,29
Доходность выше купонной ставки, поэтому облигация продаётся с дисконтом.
6.Цена и доходность облигаций
Ответ: YTM = 5,476 %
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Веса
V = €5 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4
WACC
WACC = 0,6·9% + 0,4·4%·(1 − 0,21) = 6,664%
Ответ
WACC = 6,664%
8.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 9,871 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = −1
Таблица нормального распределения
Φ(−1) = 0,1587
P = 0,1587
Ответ
P = 0,1587
11.Вероятность
Ответ: P = 0,2
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Первое и второе извлечение
P = 7/15 · 6/14 = 42/210 = 0,2
Ответ
P = 0,2
12.Вероятность
Ответ: P = 0,2461
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева от z
Φ(z) = (1 + 0,8584)/2 = 0,9292
Читайте таблицу z в обратную сторону
Найдите 0,9292 внутри таблицы и считайте z.
z = 1,47
Ответ
z = 1,47
14.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,8413
Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).
Распределение разности
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Стандартизуйте
z = (0 − 10)/10 = −1
Вероятность
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Ответ
P = 0,8413
15.Доверительные интервалы
Ответ: E₂ = 10,11
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Отношение предельных ошибок
E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(25/50) = 0,8425
Новая предельная ошибка
E₂ = 12·0,8425 = 10,11
Ответ
E₂ = 10,11
16.Доверительные интервалы
Ответ: σ = 8,216 µm
Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.
Сумма квадратов
(n − 1)s² = 9·4,5² = 182,3
Границы для σ²
182,3/19,023 = 9,581
182,3/2,7 = 67,5
Граница для σ
σ = √67,5 = 8,216 µm
Ответ
σ = 8,216 µm
95 % интервал для σ: [3,095, 8,216] µm.
17.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −0,8983
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 12/√49 = 12/7 = 1,714
Статистика критерия
t = (98,46 − 100)/1,714 = −0,8983
Ответ
t = −0,8983
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
18.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: L = 69,44
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Предельная ошибка
E = 2,576·15/√100 = 3,864
Граница интервала
L = 73,3 − 3,864 = 69,44
Ответ
L = 69,44
19.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = 0,9935
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Центрированные суммы
Sxy = 3068 − 42·384/6 = 380
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 26666 − 384²/6 = 2090
Коэффициент корреляции
r = 380/√(70·2090) = 0,9935
Ответ
r = 0,9935
20.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: x = 5,004
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 147/6 = 24,5
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 263
Линия регрессии
b = 263/70 = 3,757
a = 24,5 − 3,757·7 = −1,8
ŷ = −1,8 + 3,757·x
Найдите x
x = (17 − (−1,8))/3,757 = 5,004
Ответ
x = 5,004
Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.