CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Через 9 лет вам нужно €5 000. Счёт даёт 3 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Сколько нужно положить сегодня? Найдите приведённую стоимость PV.

FV = €5 0003% / 4n = 9

PV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Ипотечный кредит €150 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 30 лет под 3,6 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько ещё остаётся должен заёмщик сразу после платежа в конце года 10? Найдите остаток долга B.

P = €150 0003,6% / 12N = 360k = 120

B = €

3.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €75 000 даёт в конце лет с 1 по 4 такие денежные потоки: €36 000, €19 000, €29 000, €22 000. Стоимость капитала — 6 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 6%CF₀ = −75 000CF₁ = 36 000CF₂ = 19 000CF₃ = 29 000CF₄ = 22 000

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Инвестиция €80 000 приносит €18 000 в конце каждого года в течение 6 лет. Найдите её внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

C₀ = €80 000CF = €18 000n = 6

IRR = %

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 погашается через 12 лет и выплачивает ежегодные купоны. Она продаётся за €1 462 при доходности к погашению 2,5%. Найдите купонную ставку c в процентах.

F = €1 000n = 12P = €1 462YTM = 2,5%

c = %

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 6% погашается через 4 лет и продаётся за €1 075. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.

F = €1 000купон = 6%n = 4P = €1 075

YTM = %

7.CAPM и WACCСредняя

Собственный капитал компании стоит €10 000 000, долг — €4 000 000. Её WACC равна 8%, стоимость долга до налогов — 4%, ставка налога — 25%. Найдите стоимость собственного капитала r_e.

E = €10 000 000D = €4 000 000WACC = 8%r_d = 4%T = 25%

r_e = %

8.CAPM и WACCСложная

У компании 5 000 000 акций по €32,50 за штуку и 10 000 облигаций рыночной стоимостью €960 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 6%, ставка налога — 21%. Бета акции — 0,8, безрисковая ставка — 3%, доходность рынка — 9%. Найдите WACC.

β = 0,8r_f = 3%r_m = 9%r_d = 6%T = 21%

WACC = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 16, 38, 54, 26, 49, 39, 45.

n = 7

s =

10.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 60 и стандартным отклонением 12. Найдите z-оценку z для результата 48.

μ = 60σ = 12x = 48

z =

11.ВероятностьСредняя

Правильный кубик бросают 5 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?

n = 5

P =

12.ВероятностьСложная

В тесте 12 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,25, независимо. Какова вероятность P ровно 2 верных ответов?

n = 12p = 0,25k = 2

P =

13.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,4108. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,4108

z =

14.Нормальное распределениеСложная

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Найдите значение x, ниже которого лежат 95 % значений (95-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 95%

x = g

15.Доверительные интервалыСредняя

95 % доверительный интервал для среднего, построенный по 64 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 5,5. Какой будет предельная ошибка E₂ 99 % интервала по тем же данным?

95%n₁ = 64E₁ = 5,599%

E₂ =

16.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 32. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 1,5?

σ = 32E = 1,599%

n =

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

12 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна 4,12, стандартное отклонение разностей — 4,2. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μ_d = 0.

n = 12d̄ = 4,12s_d = 4,2

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 90 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 1? Стандартное отклонение — 4. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 4E = 190%

n =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (25,5, 85). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(25,5, 85)

e =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 3821 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = 0,03/4 = 0,0075

N = 4·9 = 36

Приведённая стоимость

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1,309 = €3 820,74

Ответ

PV = €3 820,74

2.Временная стоимость денег

Ответ: B = 116554 €

Ежемесячный платёж

i = 0,003, N = 360

A = 150 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)⁻³⁶⁰) = €681,97

Приведённая стоимость оставшихся платежей

Всё, что ещё остаётся в долге, должно быть в точности погашено оставшимися платежами.

N − k = 360 − 120 = 240

B = 682·(1 − (1 + 0,003)⁻²⁴⁰)/0,003 = €116 553,52

Ответ

B = €116 553,52

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = 17647 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 36 000/1,06 = 33 962,26

CF₂/(1 + 0,06)² = 19 000/1,124 = 16 909,93

CF₃/(1 + 0,06)³ = 29 000/1,191 = 24 348,96

CF₄/(1 + 0,06)⁴ = 22 000/1,262 = 17 426,06

Сложите

NPV = €17 647,22

Ответ

NPV = €17 647,22

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

4.NPV и IRR

Ответ: IRR = 9,312 %

Требуемый коэффициент аннуитета

(1 − (1 + i)⁻⁶)/i = 80 000/18 000 = 4,444

Находим ставку

Коэффициент аннуитета уменьшается с ростом ставки; найдите интервал для ставки и сужайте его.

i = 9%: 4,486

i = 10%: 4,355

IRR = 9,312%

Ответ

IRR = 9,312%

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: c = 7,004 %

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Приведённая стоимость номинала

1000·(1 + 0,025)⁻¹² = €743,56

Купон

C = (1462 − 743,56)/10,26 = €70,04

Купонная ставка

c = 70,04/1000 = 7,004%

Ответ

c = 7,004%

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 3,937 %

Уравнение для доходности

€1 075 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

Численное решение

P(3%) = €1 111,51, P(4%) = €1 072,60

YTM = 3,937%

Ответ

YTM = 3,937%

7.CAPM и WACC

Ответ: r_e = 10 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €14 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857

Долговая часть WACC

0,2857·4%·(1 − 0,25) = 0,8571%

Стоимость собственного капитала

r_e = (8% − 0,8571%)/0,7143 = 10%

Ответ

r_e = 10%

8.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 7,629 %

Рыночные стоимости

E = 5 000 000·€32,50 = €162 500 000

D = 10 000·€960 = €9 600 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 3% + 0,8·6% = 7,8%

Веса

V = €172 100 000, E/V = 0,9442, D/V = 0,05578

WACC

WACC = 0,9442·7,8% + 0,05578·6%·(1 − 0,21) = 7,629%

Ответ

WACC = 7,629%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 13,26

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 267/7 = 38,14

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−22,14)² + (−0,1429)² + 15,86² + (−12,14)² + 10,86² + 0,8571² + 6,857² = 1055

Стандартное отклонение

s = √(1055/6) = 13,26

Ответ

s = 13,26

10.Описательная статистика

Ответ: z = −1

Стандартизуйте

z = (48 − 60)/12 = −1

Ответ

z = −1

11.Вероятность

Ответ: P = 0,5981

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Противоположное событие

P(нет шестёрки) = (5/6)⁵ = 0,4019

P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Ответ

P = 0,5981

12.Вероятность

Ответ: P = 0,2323

Формула Бернулли

P(X = 2) = 66·0,25²·0,75¹⁰ = 66·0,0625·0,05631 = 0,2323

Ответ

P = 0,2323

13.Нормальное распределение

Ответ: z = 0,54

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,4108)/2 = 0,7054

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,7054 внутри таблицы и считайте z.

z = 0,54

Ответ

z = 0,54

14.Нормальное распределение

Ответ: x = 258,2 g

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Обратно к x

x = 250 + 1,645·5 = 258,22 g

Ответ

x = 258,22 g

15.Доверительные интервалы

Ответ: E₂ = 7,229

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Отношение предельных ошибок

E₂/E₁ = (2,576/1,96)·√(64/64) = 1,314

Новая предельная ошибка

E₂ = 5,5·1,314 = 7,229

Ответ

E₂ = 7,229

16.Доверительные интервалы

Ответ: n = 3021

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (2,576·32/1,5)² = 3020

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 3021

Ответ

n = 3021

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 3,398

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартная ошибка средней разности

SE = 4,2/√12 = 1,212

Статистика критерия

t = 4,12/1,212 = 3,398

Ответ

t = 3,398

При df = 11 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,201; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 44

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Выразите n

n = (1,645·4/1)² = 43,3

Округлите вверх

n = 44

Ответ

n = 44

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9753

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 430/5 = 86

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 188

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 906

Коэффициент детерминации

r² = 188²/(40·906) = 0,9753

Ответ

r² = 0,9753

Прямая объясняет около 97,53% вариации y.

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 2

Средние

x̄ = 153/6 = 25,5

ȳ = 498/6 = 83

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 624

Линия регрессии

b = 624/157,5 = 3,962

a = 83 − 3,962·25,5 = −18,03

ŷ = −18,03 + 3,962·x

Прогнозируемое значение

ŷ = −18,03 + 3,962·25,5 = 83

Остаток

e = 85 − 83 = 2

Ответ

e = 2

Точка лежит выше прямой.

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income