Кредитная карта начисляет номинальную процентную ставку 22 % годовых с ежедневно капитализацией. Найдите эффективную годовую ставку EAR в процентах.
r = 22%m = 365
EAR = %
2.Временная стоимость денегСложная
Кредит €250 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 30 лет. Ставка — 3,6 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный платёж A.
P = €250 0003,6% / 12N = 360
A = €
3.NPV и IRRСредняя
Проект стоит €200 000 сегодня. Он приносит €11 000 в конце первого года, а затем денежный поток растёт на 4 % в год бессрочно. Стоимость капитала — 9 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.
C0 = €200 000CF1 = €11 000g = 4%r = 9%
NPV = €
4.NPV и IRRСложная
Инвестиция €80 000 приносит €18 000 в конце каждого года в течение 8 лет. Найдите её внутреннюю норму доходности IRR в процентах.
C0 = €80 000CF = €18 000n = 8
IRR = %
5.Цена и доходность облигацийСредняя
Облигация номиналом €1 000 выплачивает ежегодный купон 2% и погашается через 12 лет. Её доходность к погашению меняется с 4% до 6%. На сколько ΔP изменится цена облигации?
F = €1 000купон = 2%n = 12y1 = 4%y2 = 6%
ΔP = €
6.Цена и доходность облигацийСложная
Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 7% погашается через 6 лет и продаётся за €955. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.
F = €1 000купон = 7%n = 6P = €955
YTM = %
7.CAPM и WACCСредняя
У компании собственный капитал стоимостью €6 000 000 и долг стоимостью €1 000 000. Стоимость собственного капитала — 8%, стоимость заёмного капитала до налогов — 5%, ставка налога — 25%. Найдите WACC.
E = €6 000 000D = €1 000 000re = 8%rd = 5%T = 25%
WACC = %
8.CAPM и WACCСложная
У компании 5 000 000 акций, торгующихся по €40,50; балансовая стоимость её собственного капитала — €81 000 000. Она только что выплатила дивиденд €1,30 на акцию, дивиденды растут на 5% в год. Рыночная стоимость её долга — €202 500 000, стоимость долга до налогов — 4,5%. Ставка налога — 28%. Найдите WACC, используя для стоимости собственного капитала модель роста дивидендов.
Величина распределена нормально со средним 500 и стандартным отклонением 60. Какая доля P значений меньше 440?
μ = 500σ = 60x = 440
P =
11.ВероятностьСредняя
Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 5 человек из группы из 13 человек? Порядок не важен.
n = 13k = 5
N =
12.ВероятностьСложная
Игра стоит €2. Вы выигрываете €10 с вероятностью 0,1 и €20 с вероятностью 0,02; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.
ставка = €2€10: p = 0,1€20: p = 0,02
E(G) = €
13.Нормальное распределениеСредняя
Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,5407. Найдите z с точностью до двух знаков.
A = 0,5407
z =
14.Нормальное распределениеСложная
Распределение «сроки службы батареек» нормальное: среднее 500 h, стандартное отклонение 40 h. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 40% были слева от неё. Найдите границу x.
μ = 500 hσ = 40 h40%
x = h
15.Доверительные интервалыСредняя
Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 100 телефонов, среднее 79,5 h, известное стандартное отклонение 12 h. Модель 2: 80 телефонов, среднее 91 h, известное стандартное отклонение 17 h. Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.
17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 16 студентов имеет средний балл 52,63 и выборочное стандартное отклонение 5. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 52,63s = 5n = 16
t =
18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
В исследовании выздоравливают 50 из 200 пациентов, получавших лечение A, и 25 из 80 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 50n₁ = 200x₂ = 25n₂ = 80
z =
19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.
n = 6
r² =
20.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 2,5.
n = 6x = 2,5
ŷ =
3Растворы
1.Временная стоимость денег
Ответ: EAR = 24,6 %
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Ставка за период
r/m = 0,22/365 = 0,0006027
Наращение за один год
EAR = (1 + 0,0006027)365 − 1 = 1,246 − 1 = 24,6%
Ответ
EAR = 24,6%
Если проценты начисляются чаще одного раза в год, EAR всегда выше номинальной ставки.
2.Временная стоимость денег
Ответ: A = 1137 €
Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)n. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.
Месячная ставка и число платежей
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·30 = 360
Платёж
Приведённая стоимость N равных платежей A равна A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Приравняйте её к кредиту и найдите A.
(1 + i)−N = 0,3401
A = 250 000·0,003/(1 − 0,3401) = €1 136,61
Ответ
A = €1 136,61
3.NPV и IRR
Ответ: NPV = 20000 €
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Стоимость денежных потоков
PV = 11 000/(0,09 − 0,04) = 220 000,00
NPV
NPV = 220 000,00 − 200 000 = €20 000,00
Ответ
NPV = €20 000,00
NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.
4.NPV и IRR
Ответ: IRR = 15,29 %
Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.
Требуемый коэффициент аннуитета
(1 − (1 + i)−8)/i = 80 000/18 000 = 4,444
Находим ставку
Коэффициент аннуитета уменьшается с ростом ставки; найдите интервал для ставки и сужайте его.
i = 15%: 4,487
i = 16%: 4,344
IRR = 15,29%
Ответ
IRR = 15,29%
5.Цена и доходность облигаций
Ответ: ΔP = −147,7 €
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.
Уравнение для доходности
€955 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Численное решение
P(7%) = €1 000,00, P(8%) = €953,77
YTM = 7,973%
Ответ
YTM = 7,973%
7.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 7,393 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Веса
V = €7 000 000, E/V = 0,8571, D/V = 0,1429
WACC
WACC = 0,8571·8% + 0,1429·5%·(1 − 0,25) = 7,393%
Ответ
WACC = 7,393%
8.CAPM и WACC
Ответ: WACC = 5,805 %
Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: re = rf + β·(rm − rf). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).
Стоимость собственного капитала
D1 = 1,3·1,05 = €1,37
re = 1,365/40,5 + 0,05 = 8,37%
Рыночные стоимости
E = 5 000 000·€40,50 = €202 500 000
V = €405 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·8,37% + 0,5·4,5%·(1 − 0,28) = 5,805%
Ответ
WACC = 5,805%
9.Описательная статистика
Ответ: s = 10,61
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = −1
Таблица нормального распределения
Φ(−1) = 0,1587
P = 0,1587
Ответ
P = 0,1587
11.Вероятность
Ответ: N = 1287
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Сочетания
C(13, 5) = (13·12·11·10·9)/(5·4·3·2·1) = 1287
Ответ
N = 1287
12.Вероятность
Ответ: E(G) = −0,6 €
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Чистые исходы
G: 8 (p = 0,1), 18 (p = 0,02), −2 (p = 0,88)
Математическое ожидание
E(G) = 8·0,1 + 18·0,02 − 2·0,88 = −0,6 €
Ответ
E(G) = −0,6 €
Отрицательное значение означает, что в среднем вы теряете деньги.
13.Нормальное распределение
Ответ: z = 0,74
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева от z
Φ(z) = (1 + 0,5407)/2 = 0,7704
Читайте таблицу z в обратную сторону
Найдите 0,7704 внутри таблицы и считайте z.
z = 0,74
Ответ
z = 0,74
14.Нормальное распределение
Ответ: x = 490 h
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева
Φ(z) = 0,4
z из таблицы
z ≈ −0,25
Возврат к исходным единицам
x = 500 − 0,25·40 = 490 h
Ответ
x = 490 h
15.Доверительные интервалы
Ответ: E = 4,406 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точечная оценка
x̄₁ − x̄₂ = 79,5 − 91 = −11,5
Стандартная ошибка
SE = √(12²/100 + 17²/80) = 2,248
Предельная ошибка
E = 1,96·2,248 = 4,406
Ответ
E = 4,406 h
Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.
16.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = 11,35 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Объединённое стандартное отклонение
sp² = (5·10² + 5·6,5²)/10 = 71,13
sp = 8,434
Предельная ошибка
E = 2,228·8,434·√(1/6 + 1/6) = 10,85
Интервал
0,5 ± 10,85 → [−10,35, 11,35]
Ответ
верхняя граница = 11,35 kg
17.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 2,104
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 5/√16 = 5/4 = 1,25
Статистика критерия
t = (52,63 − 50)/1,25 = 2,104
Ответ
t = 2,104
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
18.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: z = −1,067
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Выборочные доли
p̂₁ = 50/200 = 0,25
p̂₂ = 25/80 = 0,3125
p̂ = 75/280 = 0,2679
Стандартная ошибка при H₀
SE = √(0,2679·0,7321·(1/200 + 1/80)) = 0,05858
Статистика критерия
z = (0,25 − 0,3125)/0,05858 = −1,067
Ответ
z = −1,067
|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
19.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r² = 0,8605
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 138/6 = 23
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −32
Syy = Σ(y − ȳ)² = 68
Коэффициент детерминации
r² = −32²/(17,5·68) = 0,8605
Ответ
r² = 0,8605
Прямая объясняет около 86,05% вариации y.
20.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: ŷ = 19,9
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 104/6 = 17,33
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −45
Линия регрессии
b = −45/17,5 = −2,571
a = 17,33 − (−2,571)·3,5 = 26,33
ŷ = 26,33 − 2,571·x
Прогноз
ŷ = 26,33 + (−2,571)·2,5 = 19,9
Ответ
ŷ = 19,9
Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.