CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €20 000 под номинальную ставку 2 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Найдите стоимость FV инвестиции через 7 лет.

PV = €20 0002% / 4n = 7

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Ипотечный кредит €250 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 25 лет под 4,2 % годовых с ежемесячной капитализацией. Сколько ещё остаётся должен заёмщик сразу после платежа в конце года 9? Найдите остаток долга B.

P = €250 0004,2% / 12N = 300k = 108

B = €

3.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €45 000 даёт в конце лет с 1 по 3 такие денежные потоки: €16 000, €17 000, €15 000. Стоимость капитала — 9 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 9%CF₀ = −45 000CF₁ = 16 000CF₂ = 17 000CF₃ = 15 000

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €25 000 и приносит €16 000, €12 500, €14 500 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −25 000CF₁ = 16 000CF₂ = 12 500CF₃ = 14 500

IRR = %

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 6%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 3 лет. Доходность к погашению — 3% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 6%YTM = 3%n = 3

P = €

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 выплачивает годовой купон 4,5% двумя полугодовыми платежами и погашается через 4 лет. Она продаётся за €852. Найдите её доходность к погашению YTM как годовую ставку (удвоенная полугодовая доходность) в процентах.

F = €1 000купон = 4,5% (2×)n = 4P = €852

YTM = %

7.CAPM и WACCСредняя

Компания финансируется обыкновенными акциями стоимостью €5 000 000, привилегированными акциями стоимостью €2 000 000 и долгом стоимостью €4 000 000. Стоимость собственного капитала — 10%, стоимость привилегированного капитала — 7%, стоимость долга до налогов — 5%. Ставка налога — 20%. Найдите WACC.

E = €5 000 000P_s = €2 000 000D = €4 000 000r_e = 10%r_p = 7%r_d = 5%T = 20%

WACC = %

8.CAPM и WACCСложная

У компании 4 000 000 акций по €29,00 за штуку и 5 000 облигаций рыночной стоимостью €1 000 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 3%, ставка налога — 25%. Бета акции — 1,1, безрисковая ставка — 4%, доходность рынка — 10%. Найдите WACC.

β = 1,1r_f = 4%r_m = 10%r_d = 3%T = 25%

WACC = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 36, 40, 27, 31, 27, 25.

n = 6

s =

10.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 60 и стандартным отклонением 8. Найдите z-оценку z для результата 52.

μ = 60σ = 8x = 52

z =

11.ВероятностьСредняя

Правильный кубик бросают 5 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?

n = 5

P =

12.ВероятностьСложная

Испытывают 10 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,6. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 10p = 0,6

P =

13.Нормальное распределениеСредняя

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Какая доля значений лежит между 30,5 и 38 min? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 32σ = 6x₁ = 30,5x₂ = 38

P =

14.Нормальное распределениеСложная

Распределение «массы пакетов» нормальное: среднее 250 g, стандартное отклонение 5 g. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 90% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 250 gσ = 5 g90%

x = g

15.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 13 элементов имеет среднее 13,5 и стандартное отклонение s = 8,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 13x̄ = 13,5s = 8,595%t(12) = 2,179

E =

16.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 5. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 1?

σ = 5E = 199%

n =

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 36 студентов имеет средний балл 98,53 и выборочное стандартное отклонение 4. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 98,53s = 4n = 36

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 100 против H₁: μ < 100 проводится при α = 0.10 по выборке объёмом 25; стандартное отклонение известно и равно 10. В действительности среднее равно 96.8. Найдите мощность 1 − β критерия в процентах.

μ₀ = 100μ = 96,8σ = 10n = 25α = 0,10

1 − β = %

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 49?

n = 5ŷ = 49

x =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 22997 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,02/4 = 0,005

N = m·n = 4·7 = 28

Будущая стоимость

FV = 20 000·(1 + 0,005)²⁸ = 20 000·1,15 = €22 997,45

Ответ

FV = €22 997,45

2.Временная стоимость денег

Ответ: B = 188135 €

Ежемесячный платёж

i = 0,0035, N = 300

A = 250 000·0,0035/(1 − (1 + 0,0035)⁻³⁰⁰) = €1 347,36

Приведённая стоимость оставшихся платежей

Всё, что ещё остаётся в долге, должно быть в точности погашено оставшимися платежами.

N − k = 300 − 108 = 192

B = 1347·(1 − (1 + 0,0035)⁻¹⁹²)/0,0035 = €188 134,87

Ответ

B = €188 134,87

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = −4430 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 16 000/1,09 = 14 678,90

CF₂/(1 + 0,09)² = 17 000/1,188 = 14 308,56

CF₃/(1 + 0,09)³ = 15 000/1,295 = 11 582,75

Сложите

NPV = €−4 429,79

Ответ

NPV = €−4 429,79

NPV отрицательна, значит проект зарабатывает меньше требуемой доходности.

4.NPV и IRR

Ответ: IRR = 33,78 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(30%) = 1 304,05

NPV(35%) = −396,03

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 30 + 5·1 304,05/(1 304,05 − (−396,03)) = 33,84%

точно: NPV(33,78%) = 0 → IRR = 33,78%

Ответ

IRR = 33,78%

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 1085 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €30,00, i = 0,015, N = 6

Приведённая стоимость купонов

€30,00·(1 − 0,9145)/0,015 = €170,92

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,9145 = €914,54

Цена

P = €1 085,46

Ответ

P = €1 085,46

Доходность ниже купонной ставки, поэтому облигация продаётся с премией.

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 8,986 %

За период

C = €22,50, N = 8

Численное решение

i = 4,493% за полгода

YTM

YTM = 2·4,493% = 8,986%

Ответ

YTM = 8,986%

7.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 7,273 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = 5 000 000 + 2 000 000 + 4 000 000 = €11 000 000

E/V = 0,4545, P_s/V = 0,1818, D/V = 0,3636

WACC

WACC = 0,4545·10% + 0,1818·7% + 0,3636·5%·(1 − 0,2) = 7,273%

Ответ

WACC = 7,273%

8.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 10,25 %

Рыночные стоимости

E = 4 000 000·€29,00 = €116 000 000

D = 5 000·€1 000 = €5 000 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 4% + 1,1·6% = 10,6%

Веса

V = €121 000 000, E/V = 0,9587, D/V = 0,04132

WACC

WACC = 0,9587·10,6% + 0,04132·3%·(1 − 0,25) = 10,25%

Ответ

WACC = 10,25%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 5,899

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 186/6 = 31

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 5² + 9² + (−4)² + 0² + (−4)² + (−6)² = 174

Стандартное отклонение

s = √(174/5) = 5,899

Ответ

s = 5,899

10.Описательная статистика

Ответ: z = −1

Стандартизуйте

z = (52 − 60)/8 = −1

Ответ

z = −1

11.Вероятность

Ответ: P = 0,5981

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Противоположное событие

P(нет шестёрки) = (5/6)⁵ = 0,4019

P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Ответ

P = 0,5981

12.Вероятность

Ответ: P = 0,001678

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,4¹⁰ = 0,0001049

P(X = 1) = 10·0,6·0,4⁹ = 0,001573

Сложите

P = 0,0001049 + 0,001573 = 0,001678

Ответ

P = 0,001678

13.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,4401

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (30,5 − 32)/6 = −0,25

z₂ = (38 − 32)/6 = 1

Площадь между

P = Φ(1) − Φ(−0,25) = 0,8413 − 0,4013 = 0,4401

Ответ

P = 0,4401

14.Нормальное распределение

Ответ: x = 256,4 g

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,9

z из таблицы

z ≈ 1,28

Возврат к исходным единицам

x = 250 + 1,28·5 = 256,4 g

Ответ

x = 256,4 g

15.Доверительные интервалы

Ответ: E = 5,137

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 12, t = 2,179

Предельная ошибка

E = 2,179·8,5/√13 = 5,137

Ответ

E = 5,137

16.Доверительные интервалы

Ответ: n = 166

Выразите n

n = (2,576·5/1)² = 165,9

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 166

Ответ

n = 166

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −2,205

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 4/√36 = 4/6 = 0,6667

Статистика критерия

t = (98,53 − 100)/0,6667 = −2,205

Ответ

t = −2,205

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: 1 − β = 62,48 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 10/√25 = 2

x̄_c = 100 − 1,282·2 = 97,44

z при истинном среднем

z = (97,44 − 96,8)/2 = 0,318

Мощность

мощность = P(Z < 0.318) = 62.48%

1 − β = 62,48%

Ответ

1 − β = 62,48%

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9922

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 108/5 = 21,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 156

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 613,2

Коэффициент детерминации

r² = 156²/(40·613,2) = 0,9922

Ответ

r² = 0,9922

Прямая объясняет около 99,22% вариации y.

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 4,918

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 268/5 = 53,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 170

Линия регрессии

b = 170/40 = 4,25

a = 53,6 − 4,25·6 = 28,1

ŷ = 28,1 + 4,25·x

Найдите x

x = (49 − 28,1)/4,25 = 4,918

Ответ

x = 4,918

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income