CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Вы инвестируете €8 000 под номинальную ставку 3,6 % годовых с капитализацией ежемесячной. Найдите стоимость FV инвестиции через 2 лет.

PV = €8 0003,6% / 12n = 2

FV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Кредит €250 000 погашается равными ежемесячными платежами в течение 20 лет. Ставка — 5,4 % годовых с ежемесячной капитализацией. Найдите ежемесячный платёж A.

P = €250 0005,4% / 12N = 240

A = €

3.NPV и IRRСредняя

Станок стоит €40 000 сегодня. Он приносит €5 000 в конце каждого года в течение 8 лет, а затем может быть продан за €4 000. Стоимость капитала — 6 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

C₀ = €40 000CF = €5 000S = €4 000n = 8r = 6%

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €40 000 и приносит €21 000, €27 000 в конце лет с 1 по 2. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −40 000CF₁ = 21 000CF₂ = 27 000

IRR = %

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 приносит годовой купон 8%, выплачиваемый двумя полугодовыми платежами; срок до погашения — 7 лет. Доходность к погашению — 3,5% годовых. Найдите цену облигации P.

F = €1 000купон = 8%YTM = 3,5%n = 7

P = €

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация номиналом €1 000 с годовым купоном 7% погашается через 8 лет и продаётся за €915. Найдите её доходность к погашению YTM в процентах.

F = €1 000купон = 7%n = 8P = €915

YTM = %

7.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €4 000 000 и долг стоимостью €5 000 000. Стоимость собственного капитала — 13%, стоимость заёмного капитала до налогов — 3,5%, ставка налога — 21%. Найдите WACC.

E = €4 000 000D = €5 000 000r_e = 13%r_d = 3,5%T = 21%

WACC = %

8.CAPM и WACCСложная

Бета акций компании равна 0,9 при текущем соотношении долга и собственного капитала 0,4. Компания планирует увеличить это соотношение до 0,6. Ставка налога — 21%, безрисковая ставка — 1,5%, рыночная премия за риск — 4,5%. Найдите стоимость собственного капитала r_e после изменения.

β_L = 0,9D/E₁ = 0,4D/E₂ = 0,6T = 21%r_f = 1,5%r_m − r_f = 4,5%

r_e = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 33, 58, 33, 41, 28, 53.

n = 6

s =

10.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 500 и стандартным отклонением 50. Найдите z-оценку z для результата 400.

μ = 500σ = 50x = 400

z =

11.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,1, 0,35, 0,25, 0,3

Var(X) =

12.ВероятностьСложная

В тесте 6 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,7, независимо. Какова вероятность P ровно 2 верных ответов?

n = 6p = 0,7k = 2

P =

13.Нормальное распределениеСредняя

X нормальна со средним 120 mm и стандартным отклонением 0,3 mm; Y независима и нормальна со средним 80 mm и стандартным отклонением 0,4 mm. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 201 mm. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 201 mm

P =

14.Нормальное распределениеСложная

Рост мужчин X и женщин Y в группе независимы и нормально распределены: X имеет среднее 180 cm и стандартное отклонение 10 cm, Y имеет среднее 170 cm и стандартное отклонение 12 cm. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

15.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 12 элементов имеет среднее 110 и стандартное отклонение s = 14,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 12x̄ = 110s = 14,595%t(11) = 2,201

E =

16.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 7 участков, средний урожай 34,5 kg, стандартное отклонение 4,5 kg. Группа участков 2: 7 участков, среднее 44 kg, стандартное отклонение 6,5 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 7x̄₁ = 34,5s₁ = 4,5n₂ = 7x̄₂ = 44s₂ = 6,599%t(12) = 3,055

верхняя граница = kg

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 64 студентов имеет средний балл 96,5 и выборочное стандартное отклонение 20. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 96,5s = 20n = 64

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 49 измерений имеет среднее 49,2. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 4. Найдите нижнюю границу L 95 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 49,2σ = 4n = 4995%

L =

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6

r =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 61?

n = 6ŷ = 61

x =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 8596 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = r/m = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = m·n = 12·2 = 24

Будущая стоимость

FV = 8 000·(1 + 0,003)²⁴ = 8 000·1,075 = €8 596,32

Ответ

FV = €8 596,32

2.Временная стоимость денег

Ответ: A = 1706 €

Месячная ставка и число платежей

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·20 = 240

Платёж

Приведённая стоимость N равных платежей A равна A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Приравняйте её к кредиту и найдите A.

(1 + i)^−N = 0,3404

A = 250 000·0,0045/(1 − 0,3404) = €1 705,63

Ответ

A = €1 705,63

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = −6441 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость ежегодных денежных потоков

5 000·6,21 = 31 048,97

Приведённая стоимость ликвидационной стоимости

4 000/1,594 = 2 509,65

NPV

NPV = −40 000 + 31 048,97 + 2 509,65 = −€6 441,38

Ответ

NPV = −€6 441,38

4.NPV и IRR

Ответ: IRR = 12,5 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(10%) = 1 404,96

NPV(15%) = −1 323,25

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 10 + 5·1 404,96/(1 404,96 − (−1 323,25)) = 12,57%

точно: NPV(12,5%) = 0 → IRR = 12,5%

Ответ

IRR = 12,5%

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: P = 1277 €

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

За период

C = €40,00, i = 0,0175, N = 14

Приведённая стоимость купонов

€40,00·(1 − 0,7844)/0,0175 = €492,88

Приведённая стоимость номинала

€1 000·0,7844 = €784,36

Цена

P = €1 277,25

Ответ

P = €1 277,25

Доходность ниже купонной ставки, поэтому облигация продаётся с премией.

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTM = 8,508 %

Уравнение для доходности

€915 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

Численное решение

P(8%) = €942,53, P(9%) = €889,30

YTM = 8,508%

Ответ

YTM = 8,508%

7.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 7,314 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €9 000 000, E/V = 0,4444, D/V = 0,5556

WACC

WACC = 0,4444·13% + 0,5556·3,5%·(1 − 0,21) = 7,314%

Ответ

WACC = 7,314%

8.CAPM и WACC

Ответ: r_e = 6,036 %

Бета с учётом долга (Хамада): долг делает собственный капитал более рискованным. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), где β_U — бета бизнеса без долга. Чтобы перенести бету на другую структуру капитала, сначала очистите её от влияния долга, а затем пересчитайте при новом D/E.

Бета без учёта долга

β_U = 0,9/(1 + 0,79·0,4) = 0,6839

Пересчёт при новом D/E

β_L = 0,6839·(1 + 0,79·0,6) = 1,008

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 1,5% + 1,008·4,5% = 6,036%

Ответ

r_e = 6,036%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 12,08

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 246/6 = 41

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−8)² + 17² + (−8)² + 0² + (−13)² + 12² = 730

Стандартное отклонение

s = √(730/5) = 12,08

Ответ

s = 12,08

10.Описательная статистика

Ответ: z = −2

Стандартизуйте

z = (400 − 500)/50 = −2

Ответ

z = −2

11.Вероятность

Ответ: Var(X) = 0,9875

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,1 + 1·0,35 + 2·0,25 + 3·0,3 = 1,75

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,1 + 1·0,35 + 4·0,25 + 9·0,3 = 4,05

Дисперсия

Var(X) = 4,05 − 1,75² = 0,9875

Ответ

Var(X) = 0,9875

12.Вероятность

Ответ: P = 0,05954

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Формула Бернулли

P(X = 2) = 15·0,7²·0,3⁴ = 15·0,49·0,0081 = 0,05954

Ответ

P = 0,05954

13.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,02275

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Стандартизуйте

z = (201 − 200)/0,5 = 2

Верхний хвост

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275

Ответ

P = 0,02275

14.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7389

Распределение разности

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Ответ

P = 0,7389

15.Доверительные интервалы

Ответ: E = 9,213

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 11, t = 2,201

Предельная ошибка

E = 2,201·14,5/√12 = 9,213

Ответ

E = 9,213

16.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = −0,3714 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (6·4,5² + 6·6,5²)/12 = 31,25

s_p = 5,59

Предельная ошибка

E = 3,055·5,59·√(1/7 + 1/7) = 9,129

Интервал

−9,5 ± 9,129 → [−18,63, −0,3714]

Ответ

верхняя граница = −0,3714 kg

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −1,4

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 20/√64 = 20/8 = 2,5

Статистика критерия

t = (96,5 − 100)/2,5 = −1,4

Ответ

t = −1,4

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 48,08

Предельная ошибка

E = 1,96·4/√49 = 1,12

Граница интервала

L = 49,2 − 1,12 = 48,08

Ответ

L = 48,08

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = −0,9667

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 142/6 = 23,67

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 41,33

Коэффициент корреляции

r = −26/√(17,5·41,33) = −0,9667

Ответ

r = −0,9667

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 3,703

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 359/6 = 59,83

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 100,5

Линия регрессии

b = 100,5/17,5 = 5,743

a = 59,83 − 5,743·3,5 = 39,73

ŷ = 39,73 + 5,743·x

Найдите x

x = (61 − 39,73)/5,743 = 3,703

Ответ

x = 3,703

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income