CFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Временная стоимость денег

Будущая стоимость: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Приведённая стоимость: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Несколько периодов в год: i = r/m, N = m·n
Аннуитет, приведённая стоимость: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Аннуитет, будущая стоимость: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Нарисуйте временную шкалу со всеми денежными потоками и их сроками.
Согласуйте ставку с периодом: месячная ставка для ежемесячных платежей.
Используйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для разовых сумм и формулы аннуитета для равных платежей.
Проверьте знак и порядок величины ответа.

NPV и IRR

Чистая приведённая стоимость: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Равные денежные потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутренняя норма доходности: r, при которой NPV = 0
Решение: принимать, если NPV > 0 (или IRR > требуемой доходности)

Метод

Выпишите все денежные потоки с их годами; инвестиция в год 0 отрицательна.
Дисконтируйте каждый денежный поток: CF_t/(1 + r)^t.
Сложите их, чтобы получить NPV. Положительное значение означает, что проект приносит больше r.
Для IRR найдите подбором или интерполяцией ставку, при которой NPV равна нулю.

Цена и доходность облигаций

Цена облигации: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Полугодовые купоны: C/2, y/2 и 2n периодов
Текущая доходность: C/P
Цена и доходность: доходность растёт → цена падает

Метод

Найдите купон за период и доходность за период.
Цена = приведённая стоимость купонов (аннуитет) + приведённая стоимость номинала.
Для полугодовых купонов берите половину купона, половину доходности и удвоенное число периодов.
Проверка: если доходность выше купонной ставки, цена ниже номинала.

CAPM и WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Стоимость компании: V = E + D

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Временная стоимость денегСредняя

Через 5 лет вам нужно €5 000. Счёт даёт 4 % годовых с капитализацией ежеквартальной. Сколько нужно положить сегодня? Найдите приведённую стоимость PV.

FV = €5 0004% / 4n = 5

PV = €

2.Временная стоимость денегСложная

Вы вносите €3 000 в начале каждого года в течение 6 лет, первый взнос — сегодня. Счёт даёт 7 % годовых. Сколько будет на счёте в конце года 6? Найдите FV.

A = €3 000i = 7%n = 6

FV = €

3.NPV и IRRСредняя

Инвестиция €20 000 даёт в конце лет с 1 по 4 такие денежные потоки: €8 000, €10 000, €7 000, €8 000. Стоимость капитала — 6 %. Найдите чистую приведённую стоимость NPV.

r = 6%CF₀ = −20 000CF₁ = 8 000CF₂ = 10 000CF₃ = 7 000CF₄ = 8 000

NPV = €

4.NPV и IRRСложная

Проект стоит €25 000 и приносит €14 000, €14 000, €15 000 в конце лет с 1 по 3. Найдите его внутреннюю норму доходности IRR в процентах.

CF₀ = −25 000CF₁ = 14 000CF₂ = 14 000CF₃ = 15 000

IRR = %

5.Цена и доходность облигацийСредняя

Облигация номиналом €1 000 погашается через 6 лет и выплачивает ежегодные купоны. Она продаётся за €952 при доходности к погашению 7%. Найдите купонную ставку c в процентах.

F = €1 000n = 6P = €952YTM = 7%

c = %

6.Цена и доходность облигацийСложная

Облигация со сроком до погашения 17 лет (номинал €1 000, ежегодный купон 8%) продаётся за €1 098. Эмитент может досрочно погасить её через 6 лет по цене отзыва €1 080. Найдите доходность к отзыву YTC в процентах.

F = €1 000купон = 8%P = €1 098цена отзыва = €1 080отзыв через 6 годы

YTC = %

7.CAPM и WACCСредняя

У компании собственный капитал стоимостью €10 000 000 и долг стоимостью €5 000 000. Стоимость собственного капитала — 9%, стоимость заёмного капитала до налогов — 3,5%, ставка налога — 21%. Найдите WACC.

E = €10 000 000D = €5 000 000r_e = 9%r_d = 3,5%T = 21%

WACC = %

8.CAPM и WACCСложная

У компании 2 000 000 акций по €60,00 за штуку и 40 000 облигаций рыночной стоимостью €980 каждая. Стоимость заёмного капитала до налогов — 6%, ставка налога — 30%. Бета акции — 0,6, безрисковая ставка — 1,5%, доходность рынка — 6%. Найдите WACC.

β = 0,6r_f = 1,5%r_m = 6%r_d = 6%T = 30%

WACC = %

9.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 56, 32, 14, 48, 18, 10, 53.

n = 7

s =

10.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 60 и стандартным отклонением 8. Какая доля P значений больше 48?

μ = 60σ = 8x = 48

P =

11.ВероятностьСредняя

В мешочке 5 красных и 7 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?

5 / 7

P =

12.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 5X + 20. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35Y = 5X + 20

σ_Y =

13.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,8413. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,8413

z =

14.Нормальное распределениеСложная

Рост мужчин X и женщин Y в группе независимы и нормально распределены: X имеет среднее 180 cm и стандартное отклонение 10 cm, Y имеет среднее 170 cm и стандартное отклонение 12 cm. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

15.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 7 элементов имеет среднее 104,5 и стандартное отклонение s = 8,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 7x̄ = 104,5s = 8,590%t(6) = 1,943

E =

16.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 6. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 2?

σ = 6E = 299%

n =

17.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 36 студентов имеет средний балл 107,3 и выборочное стандартное отклонение 15. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 107,3s = 15n = 36

t =

18.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 500 против H₁: μ < 500 проводится при α = 0.01 по выборке объёмом 100; стандартное отклонение известно и равно 25. В действительности среднее равно 495.25. Найдите мощность 1 − β критерия в процентах.

μ₀ = 500μ = 495,25σ = 25n = 100α = 0,01

1 − β = %

19.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 20Σy = 218Σx² = 90Σy² = 9562Σxy = 886

r =

20.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 4.

n = 6x = 4

ŷ =

3Растворы

1.Временная стоимость денег

Ответ: PV = 4098 €

Временная стоимость денег: деньги сегодня ценнее той же суммы позже, потому что могут приносить проценты. При ставке i за период сумма растёт как FV = PV·(1 + i)ⁿ. Серию равных платежей (аннуитет) оценивают, складывая каждый платёж, отсюда формулы аннуитета.

Ставка и число периодов

i = 0,04/4 = 0,01

N = 4·5 = 20

Приведённая стоимость

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1,22 = €4 097,72

Ответ

PV = €4 097,72

2.Временная стоимость денег

Ответ: FV = 22962 €

Коэффициент обычного аннуитета

((1 + 0,07)⁶ − 1)/0,07 = 7,153

Аннуитет пренумерандо

Каждый взнос инвестирован на год дольше.

FV = 3 000·7,153·1,07 = €22 962,06

Ответ

FV = €22 962,06

3.NPV и IRR

Ответ: NPV = 8661 €

Чистая приведённая стоимость: дисконтируйте каждый денежный поток к сегодняшнему дню по требуемой доходности r и сложите: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проект с NPV > 0 зарабатывает больше r и создаёт стоимость. Внутренняя норма доходности (IRR) — ставка, при которой NPV = 0.

Приведённая стоимость каждого потока

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 8 000/1,06 = 7 547,17

CF₂/(1 + 0,06)² = 10 000/1,124 = 8 899,96

CF₃/(1 + 0,06)³ = 7 000/1,191 = 5 877,33

CF₄/(1 + 0,06)⁴ = 8 000/1,262 = 6 336,75

Сложите

NPV = €8 661,22

Ответ

NPV = €8 661,22

NPV положительна, значит проект зарабатывает больше требуемой доходности.

4.NPV и IRR

Ответ: IRR = 32,47 %

Ограничьте IRR с двух сторон

NPV убывает с ростом ставки, поэтому IRR лежит между ставкой с положительной и ставкой с отрицательной NPV.

NPV(30%) = 880,75

NPV(35%) = −851,24

Сужайте

Линейная интерполяция даёт первую оценку; её повторение (или функция IRR калькулятора) даёт точную ставку.

IRR ≈ 30 + 5·880,75/(880,75 − (−851,24)) = 32,54%

точно: NPV(32,47%) = 0 → IRR = 32,47%

Ответ

IRR = 32,47%

5.Цена и доходность облигаций

Ответ: c = 5,993 %

Цена облигации: цена облигации — это приведённая стоимость её денежных потоков, дисконтированных по доходности к погашению (YTM): купоны образуют аннуитет, а номинал выплачивается при погашении. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Если доходность выше купонной ставки, облигация торгуется ниже номинала, и наоборот.

Приведённая стоимость номинала

1000·(1 + 0,07)⁻⁶ = €666,34

Купон

C = (952 − 666,34)/4,767 = €59,93

Купонная ставка

c = 59,93/1000 = 5,993%

Ответ

c = 5,993%

6.Цена и доходность облигаций

Ответ: YTC = 7,057 %

Уравнение для доходности

1098 = 80·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1080/(1 + y)⁶

Численное решение

y = 7%: €1 100,97

y = 8%: €1 050,41

YTC = 7,057%

Ответ

YTC = 7,057%

Доходность к погашению равна 6,996%. Инвесторы в облигацию, торгующуюся с премией, ожидают её отзыва, поэтому более низкая доходность к отзыву реалистичнее.

7.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 6,922 %

Стоимость капитала: CAPM даёт доходность, которую требуют акционеры: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Средневзвешенная стоимость капитала объединяет собственный и заёмный капитал с весами по их рыночной стоимости: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), где V = E + D. Проценты уменьшают налогооблагаемую базу, отсюда множитель (1 − T).

Веса

V = €15 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·9% + 0,3333·3,5%·(1 − 0,21) = 6,922%

Ответ

WACC = 6,922%

8.CAPM и WACC

Ответ: WACC = 4,2 %

Рыночные стоимости

E = 2 000 000·€60,00 = €120 000 000

D = 40 000·€980 = €39 200 000

Стоимость собственного капитала (CAPM)

r_e = 1,5% + 0,6·4,5% = 4,2%

Веса

V = €159 200 000, E/V = 0,7538, D/V = 0,2462

WACC

WACC = 0,7538·4,2% + 0,2462·6%·(1 − 0,3) = 4,2%

Ответ

WACC = 4,2%

9.Описательная статистика

Ответ: s = 19,45

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 231/7 = 33

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 23² + (−1)² + (−19)² + 15² + (−15)² + (−23)² + 20² = 2270

Стандартное отклонение

s = √(2270/6) = 19,45

Ответ

s = 19,45

10.Описательная статистика

Ответ: P = 0,9332

Стандартизуйте

z = −1,5

Таблица нормального распределения

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 1 − 0,06681 = 0,9332

Ответ

P = 0,9332

11.Вероятность

Ответ: P = 0,1515

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Первое и второе извлечение

P = 5/12 · 4/11 = 20/132 = 0,1515

Ответ

P = 0,1515

12.Вероятность

Ответ: σ_Y = 4,183

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Разброс X

μ = 1, Var(X) = 0,7, σ_X = 0,8367

Линейное преобразование

σ_Y = |5|·0,8367 = 4,183

Ответ

σ_Y = 4,183

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 5·1 + 20 = 25.

13.Нормальное распределение

Ответ: z = −1

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = 1 − 0,8413 = 0,1587

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,1587 внутри таблицы и считайте z.

z = −1,00

Ответ

z = −1,00

14.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7389

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Ответ

P = 0,7389

15.Доверительные интервалы

Ответ: E = 6,242

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 6, t = 1,943

Предельная ошибка

E = 1,943·8,5/√7 = 6,242

Ответ

E = 6,242

16.Доверительные интервалы

Ответ: n = 60

Выразите n

n = (2,576·6/2)² = 59,72

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 60

Ответ

n = 60

17.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,92

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 15/√36 = 15/6 = 2,5

Статистика критерия

t = (107,3 − 100)/2,5 = 2,92

Ответ

t = 2,92

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

18.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: 1 − β = 33,51 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 25/√100 = 2,5

x̄_c = 500 − 2,326·2,5 = 494,2

z при истинном среднем

z = (494,2 − 495,25)/2,5 = −0,426

Мощность

мощность = P(Z < −0.426) = 33.51%

1 − β = 33,51%

Ответ

1 − β = 33,51%

19.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,5854

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 886 − 20·218/5 = 14

S_xx = 90 − 20²/5 = 10

S_yy = 9562 − 218²/5 = 57,2

Коэффициент корреляции

r = 14/√(10·57,2) = 0,5854

Ответ

r = 0,5854

20.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 59,78

Средние

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 425/6 = 70,83

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 387

Линия регрессии

b = 387/70 = 5,529

a = 70,83 − 5,529·6 = 37,66

ŷ = 37,66 + 5,529·x

Прогноз

ŷ = 37,66 + 5,529·4 = 59,78

Ответ

ŷ = 59,78

Это независимый учебный материал. ExamProblems не связан с организацией, проводящей этот экзамен, и не одобрен ею; название экзамена используется только для описания содержания. CFA® and Chartered Financial Analyst® — товарные знаки CFA Institute; эта организация не связана с ExamProblems, не поддерживает его и не ручается за его точность.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income