Теория электрических цепей 2: цепи переменного тока: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Комплексные числа

Алгебраическая форма: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Модуль и аргумент: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Полярная и показательная форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Деление: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Произведение и частное: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Муавр: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Корни n-й степени: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Квадратное уравнение при p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Метод

Решите, какая форма подходит для операции: алгебраическая a + jb для сложения и вычитания, полярная r∠θ для умножения, деления, степеней и корней.
Умножайте, раскрывая скобки с j² = −1; делите, умножая числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю.
Переводите по формулам r = √(a² + b²) и θ по чертежу точки (проверьте четверть), а обратно — по a = r cos θ, b = r sin θ.
Для степеней используйте формулу Муавра, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; для zⁿ = R∠φ перечислите все n корней R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC-резонанс, добротность и полоса пропускания

Собственная частота: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Энергия: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Пиковый ток: I_max = V₀√(C/L)
Добротность: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Последовательный RLC-контур: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Параллельный RLC-контур: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Полоса пропускания: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Частоты половинной мощности: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Контур с сопротивлением катушки r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Затухание амплитуды: e^−Rt/(2L)

Метод

Сначала найдите резонансную частоту: ω₀ = 1/√(LC) и f₀ = ω₀/(2π).
Определите, какой контур перед вами, последовательный или параллельный: последовательный Q = (1/R)√(L/C), параллельный Q = R√(C/L).
Для полосы пропускания используйте BW = f₀/Q или краткие формулы R/(2πL) (последовательный) и 1/(2πRC) (параллельный).
В задачах на энергию учитывайте, что полная энергия ½CV₀² в идеальном LC-контуре остаётся постоянной и каждую четверть периода переходит между C и L.

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина: V_th = V_{open circuit}
Сопротивление Тевенина: R_th: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона: I_N = V_th/R_th
Ток нагрузки: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальной мощности: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
Найдите напряжение холостого хода между a и b: это V_th.
Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это R_th.
Верните нагрузку в эквивалентную схему: V_th последовательно с R_th.
Для эквивалента Нортона преобразуйте: I_N = V_th/R_th, с R_N = R_th параллельно.

2Тренировочные задачи

1.Комплексные числаСредняя

Запишите z = −6 − j9 в показательной форме r·e^jθ. Укажите θ в радианах, между −π и π.

z = −6 − j9

θ = rad

2.Комплексные числаСложная

Ровно одна из точек A–D является корнем уравнения z⁴ = 81∠−90°. Нажмите на неё.

w = 81∠−90°n = 4

1A (3∠−90°)
2B (3∠−157,5°)
3C (3∠157,5°)
4D (1,5∠157,5°)

3.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 10 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 10 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 47 µF

I = A

4.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур питается от источника 12 V (действующее значение), частота которого равна резонансной частоте контура. Найдите действующее напряжение V_L на катушке.

V = 12 V (rms)R = 20 ΩL = 10 mHC = 0,22 µF

V_L = V

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

К однофазной сети 400 V параллельно подключены две нагрузки: нагрузка 10 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном) и нагрузка 17 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном). Найдите общий коэффициент мощности cos φ со стороны сети.

V = 400 VP₁ = 10 kW, pf₁ = 0,8 отстающийP₂ = 17 kW, pf₂ = 0,8 отстающий

cos φ =

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазная нагрузка потребляет 30 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном) от сети 240 V, 60 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,95. Найдите необходимую ёмкость C.

P = 30 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,95V = 240 Vf = 60 Hz

C = µF

7.LC-резонанс, добротность и полоса пропусканияСредняя

Последовательный RLC-контур имеет R = 1 Ω, L = 10 µH и C = 2,2 µF. Найдите его добротность Q.

R = 1 ΩL = 10 µHC = 2,2 µF

Q =

8.LC-резонанс, добротность и полоса пропусканияСложная

Спроектируйте последовательный RLC-фильтр с полным сопротивлением 10 Ω, резонансной частотой 455 kHz и полосой пропускания 9,1 kHz. Найдите ёмкость C в nF.

R = 10 Ωf₀ = 455 kHzBW = 9,1 kHz

C = nF

9.Трёхфазная мощностьСредняя

Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 22 kW. При этой нагрузке его КПД равен 90%, а коэффициент мощности 0,85 (отстающий). Линейное напряжение сети 400 V. Найдите линейный ток I_L.

P_out = 22 kWη = 90%cos φ = 0,85V_L = 400 V

I_L = A

10.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 150 kW при коэффициенте мощности 0,78 (отстающий) от сети 480 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,95 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 150 kWpf₁ = 0,78pf₂ = 0,95V_L = 480 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите энергию W, запасённую в катушке при t = 1 ms, в mJ.

V_s = 12 VR = 15 ΩL = 10 mHt = 1 ms

W = mJ

12.Переходные процессы RC и RLСложная

Ключ был замкнут долгое время, поэтому цепь находится в установившемся режиме. При t = 0 ключ размыкается. Найдите ток i₂ через R₂ при t = 50 ms.

V_s = 20 VR₁ = 2,2 kΩR₂ = 1 kΩC = 22 µFt = 50 ms

i₂ = mA

13.Тевенин и НортонСредняя

Найдите сопротивление Тевенина R_th со стороны зажимов a–b.

V₁ = 18 VR₁ = 20 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 12 Ω

R_th = Ω

14.Тевенин и НортонСложная

К a–b подключена нагрузка R_L = 20 Ω. Замените остальную цепь эквивалентом Тевенина и найдите ток нагрузки I_L.

V₁ = 5 VI_s = 2 AR₁ = 8 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 10 ΩR_L = 20 Ω

I_L = A

15.Диаграммы Боде и запасыСредняя

Изображённый RC-фильтр нижних частот имеет R = 10 kΩ, C = 10 nF. На вход подаётся синусоидальный сигнал 4,8 kHz. Найдите фазовый сдвиг φ напряжения v_out относительно v_in в градусах.

R = 10 kΩC = 10 nFf = 4,8 kHz

φ = °

16.Диаграммы Боде и запасыСложная

Контур с единичной обратной связью имеет передаточную функцию разомкнутой системы L(s) = 1240/(s(s + 20)). Найдите частоту среза усиления ω_c, где |L(jω)| = 1.

L(s) = 1240/(s(s + 20))

ω_c = rad/s

3Растворы

1.Комплексные числа

Ответ: θ = −2,159 rad

Полярная форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, где r = |z| и θ = arg z. Обратно к алгебраической форме: a = r cos θ, b = r sin θ. Для аргумента нужна четверть: θ = atan(b/a) только при a > 0; при a < 0 прибавьте или вычтите 180°. В полярной форме умножение простое: перемножьте модули и сложите аргументы; при делении разделите модули и вычтите аргументы.

Модуль

r = √(36 + 81) = 10,82

Аргумент в радианах

θ = −123,7° = −123,7·π/180 = −2,159 rad

Показательная форма

z = 10,82·e^−j2,159

Ответ

θ = −2,159 rad

2.Комплексные числа

Ответ: C (3∠157,5°)

Формула Муавра и корни: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Уравнение zⁿ = R∠φ имеет ровно n корней, все с модулем R^1/n, при аргументах (φ + 360°·k)/n для k = 0, 1, …, n − 1: они лежат равномерно на окружности, через 360°/n. Квадратное уравнение z² + pz + q = 0 при p² < 4q имеет комплексные корни z = −p/2 ± j√(q − p²/4); многочлен с действительными коэффициентами всегда имеет комплексные корни парами сопряжённых a ± jb.

Модуль и аргументы корней

|z| = 3

θ = −22,5°, 67,5°, 157,5°, −112,5°

Точка

C = 3∠157,5°

Ответ

C (3∠157,5°)

3.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,1048 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,05 = 15,71 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·47·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (−52,02)²) = 95,42 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 10/95,42 = 0,1048 A

Ответ

I = 0,1048 A

4.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: V_L = 127,9 V

Резонанс

При резонансе реактивные сопротивления компенсируются, поэтому полное сопротивление равно просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,01·0,22·10⁻⁶) = 21320 rad/s

I = V/R = 12/20 = 0,6 A

Напряжение на катушке

X_L = ω₀L = 21320·0,01 = 213,2 Ω

V_L = I·X_L = 0,6·213,2 = 127,9 V

Ответ

V_L = 127,9 V

Это в Q = 10,66 раз больше напряжения источника.

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: cos φ = 0,8

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Реактивная мощность каждой нагрузки

Индуктивная нагрузка потребляет реактивную мощность (Q > 0); ёмкостная — отдаёт её (Q < 0).

Q₁ = 10·tan(arccos 0,8) = 7,5 kvar

Q₂ = 17·tan(arccos 0,8) = 12,75 kvar

Суммы

P = 10 + 17 = 27 kW

Q = 7,5 + 12,75 = 20,25 kvar

S = √(27² + 20,25²) = 33,75 kVA

Общий коэффициент мощности

cos φ = P/S = 27/33,75 = 0,8 отстающий

Ответ

cos φ = 0,8

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: C = 582,1 µF

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q₁ = P·tan φ₁ = 30·tan(36,87°) = 22,5 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 30·tan(18,19°) = 9,861 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 12,64 kvar

Ёмкость

Конденсатор, подключённый к сети, поставляет Q = V²·ωC.

C = Q_C/(2πf·V²) = 12639/(2π·60·240²) = 582,1 µF

Ответ

C = 582,1 µF

7.LC-резонанс, добротность и полоса пропускания

Ответ: Q = 2,132

Добротность и полоса пропускания: в резонансном контуре Q = 2π·(запасённая энергия)/(энергия, теряемая за период). Для последовательного RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); для параллельного RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Полоса пропускания между частотами половинной мощности f₁ и f₂ (где мощность вдвое меньше, а ток или напряжение составляют 1/√2 от пикового) равна BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, то есть R/(2πL) для последовательного и 1/(2πRC) для параллельного контура. Резонансная частота — это среднее геометрическое f₀ = √(f₁f₂), а f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Потери также вызывают затухание колебаний: в последовательном RLC амплитуда убывает как e^−Rt/(2L).

Характеристическое сопротивление

√(L/C) = √(1 × 10⁻⁵/2,2 × 10⁻⁶) = 2,132 Ω

Добротность

Q = 2,132/1 = 2,132

Ответ

Q = 2,132

Резонансная частота равна 33,93 kHz, поэтому BW = f₀/Q = 15,92 kHz.

8.LC-резонанс, добротность и полоса пропускания

Ответ: C = 0,6996 nF

Индуктивность по полосе пропускания

L = R/(2π·BW) = 10/(2π·9100) = 0,0001749 H

Ёмкость по резонансной частоте

C = 1/((2π·455000)²·0,0001749) = 6,996 × 10⁻¹⁰ F = 0,6996 nF

Ответ

C = 0,6996 nF

Q = f₀/BW = 50.

9.Трёхфазная мощность

Ответ: I_L = 41,51 A

Потребляемая электрическая мощность

P_in = P_out/η = 22/0,9 = 24,44 kW

Ток линии

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 24444/(√3·400·0,85) = 41,51 A

Ответ

I_L = 41,51 A

10.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 817,9 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 150·tan(acos 0,78) = 150·0,8023 = 120,3 kvar

Q₂ = 150·tan(acos 0,95) = 150·0,3287 = 49,3 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 71,04 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.

V = 480/√3 = 277,1 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 23680/(377·277,1²) = 817,9 µF

Ответ

C_ph = 817,9 µF

11.Переходные процессы RC и RL

Ответ: W = 1,931 mJ

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 10 mH / 15 Ω = 0,6667 ms

i(∞) = V_s/R = 12/15 = 0,8 A

Ток в заданный момент

i(t) = 0,8·(1 − e^−1/0,6667) = 0,6215 A

Запасённая энергия

W = ½·L·i² = ½·10·0,6215² = 1,931 mJ

Ответ

W = 1,931 mJ

12.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i₂ = 0,6439 mA

Начальное напряжение конденсатора

В установившемся режиме конденсатор — разрыв, поэтому R₁ и R₂ образуют делитель напряжения. Напряжение конденсатора не может измениться скачком при размыкании ключа.

v_C(0) = 20·1/(2,2 + 1) = 6,25 V

Постоянная времени после размыкания ключа

τ = R₂·C = 1·22 = 22 ms

Разряд

v_C(t) = 6,25·e^−50/22 = 0,6439 V

i₂ = v_C/R₂ = 0,6439/1 = 0,6439 mA

Ответ

i₂ = 0,6439 mA

13.Тевенин и Нортон

Ответ: R_th = 19,5 Ω

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения V_th, последовательный с сопротивлением R_th. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока I_N = V_th/R_th, параллельный R_th.

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R₁ ∥ R₂ = 20·12/(20+12) = 7,5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 7,5 + 12 = 19,5 Ω

14.Тевенин и Нортон

Ответ: I_L = 0,8488 A

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

R₁ ∥ R₂ = 8·5/(8+5) = 3,077 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,077 + 10 = 13,08 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 1,923 + 2·3,077 = 8,077 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 8,077 + 2·10 = 28,08 V

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 28,08/(13,08 + 20) = 0,8488 A

15.Диаграммы Боде и запасы

Ответ: φ = −71,66 °

Частотная характеристика: подставьте s = jω в передаточную функцию. Модуль в децибелах равен 20·log₁₀|H(jω)|, а фаза — сумме углов множителей числителя минус сумма углов множителей знаменателя. У фильтра первого порядка RC или RL частота среза (−3 dB) равна ω_c = 1/(RC) или R/L, и f_c = ω_c/(2π); фильтр нижних частот даёт |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) и φ = −atan(ω/ω_c). На асимптотической (кусочно-линейной) диаграмме Боде каждый полюс на своей частоте среза загибает модуль вниз на 20 dB/decade, каждый нуль загибает его вверх на 20 dB/decade, а интегратор 1/s даёт −20 dB/decade на всех частотах. Частота среза усиления ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); запас по фазе PM = 180° + ∠L(jω_c). Частота перехода фазы ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; запас по усилению GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Замкнутая система устойчива, когда оба запаса положительны.

Частота среза

ω_c = 1/(RC) = 1/(10000·1 × 10⁻⁸) = 10000 rad/s

f_c = 1592 Hz → f/f_c = 4800/1592 = 3,016

Фаза

φ = − atan(3,016) = −71,66°

Ответ

φ = −71,66°

16.Диаграммы Боде и запасы

Ответ: ω_c = 32,5 rad/s

Частота среза усиления

ω⁴ + 400ω² − 1,538 × 10⁶ = 0

ω² = (−400 + √(160000 + 4·1,538 × 10⁶))/2 = 1056

ω_c = 32,5 rad/s

Ответ

ω_c = 32,5 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Теория электрических цепей 2: цепи переменного тока: шпаргалка-пакет

1Формулы и методы

Комплексные числа

Метод

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Метод

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

LC-резонанс, добротность и полоса пропускания

Метод

Трёхфазная мощность

Переходные процессы RC и RL

Метод

Тевенин и Нортон

Метод

2Тренировочные задачи

3Растворы

Модуль

Аргумент в радианах

Показательная форма

Ответ

Модуль и аргументы корней

Точка

Ответ

Реактивные сопротивления

Полное сопротивление

Ток

Ответ

Резонанс

Напряжение на катушке

Ответ

Реактивная мощность каждой нагрузки

Суммы

Общий коэффициент мощности

Ответ

Реактивная мощность до и после

Ёмкость

Ответ

Характеристическое сопротивление

Добротность

Ответ

Индуктивность по полосе пропускания

Ёмкость по резонансной частоте

Ответ

Потребляемая электрическая мощность

Ток линии

Ответ

Реактивная мощность до и после

Реактивная мощность конденсаторов

Ёмкость на фазу

Ответ

Постоянная времени и конечный ток

Ток в заданный момент

Запасённая энергия

Ответ

Начальное напряжение конденсатора

Постоянная времени после размыкания ключа

Разряд

Ответ

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Частота среза

Фаза

Ответ

Частота среза усиления

Ответ

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода