Теория электрических цепей 2: цепи переменного тока: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Комплексные числа

Алгебраическая форма: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Модуль и аргумент: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Полярная и показательная форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Деление: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Произведение и частное: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Муавр: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Корни n-й степени: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Квадратное уравнение при p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Метод

Решите, какая форма подходит для операции: алгебраическая a + jb для сложения и вычитания, полярная r∠θ для умножения, деления, степеней и корней.
Умножайте, раскрывая скобки с j² = −1; делите, умножая числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю.
Переводите по формулам r = √(a² + b²) и θ по чертежу точки (проверьте четверть), а обратно — по a = r cos θ, b = r sin θ.
Для степеней используйте формулу Муавра, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; для zⁿ = R∠φ перечислите все n корней R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Угловая частота: ω = 2πf
Модуль и угол: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме: V = I·Z

Метод

Переведите частоту: ω = 2πf.
Найдите каждое реактивное сопротивление: X_L = ωL и X_C = 1/(ωC).
Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность: P = V·I·cos φ
Реактивная мощность: Q = V·I·sin φ
Полная мощность: S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности: pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC-резонанс, добротность и полоса пропускания

Собственная частота: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Энергия: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Пиковый ток: I_max = V₀√(C/L)
Добротность: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Последовательный RLC-контур: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Параллельный RLC-контур: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Полоса пропускания: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Частоты половинной мощности: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Контур с сопротивлением катушки r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Затухание амплитуды: e^−Rt/(2L)

Метод

Сначала найдите резонансную частоту: ω₀ = 1/√(LC) и f₀ = ω₀/(2π).
Определите, какой контур перед вами, последовательный или параллельный: последовательный Q = (1/R)√(L/C), параллельный Q = R√(C/L).
Для полосы пропускания используйте BW = f₀/Q или краткие формулы R/(2πL) (последовательный) и 1/(2πRC) (параллельный).
В задачах на энергию учитывайте, что полная энергия ½CV₀² в идеальном LC-контуре остаётся постоянной и каждую четверть периода переходит между C и L.

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Соединение треугольником (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Полная активная мощность: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Полная и реактивная мощность: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе: Δ: V_L Y: V_L/√3
Потребляемая мощность двигателя: P_in = P_out/η

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени: τ = RC | τ = L/R
Отклик: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постоянном токе: разрыв; v_C не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе: короткое замыкание; i_L не может измениться скачком
Установившийся режим: t ≈ 5τ

Метод

Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина: V_th = V_{open circuit}
Сопротивление Тевенина: R_th: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона: I_N = V_th/R_th
Ток нагрузки: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Передача максимальной мощности: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Метод

Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
Найдите напряжение холостого хода между a и b: это V_th.
Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это R_th.
Верните нагрузку в эквивалентную схему: V_th последовательно с R_th.
Для эквивалента Нортона преобразуйте: I_N = V_th/R_th, с R_N = R_th параллельно.

2Тренировочные задачи

1.Комплексные числаСредняя

На диаграмме показано z = −3 − j3. При w = 2∠90° нажмите на точку, представляющую z·w.

z = −3 − j3w = 2∠90°

1A (−6 + j6)
2B (6 − j6)
3C (3 − j3)
4D (−6 − j6)

2.Комплексные числаСложная

Один корень уравнения z³ + 12z² + 64z + 128 = 0 равен z₁ = −4 + j4. Коэффициенты действительны. Найдите действительный корень r.

z₁ = −4 + j4

r =

3.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя

Последовательная цепь RLC подключена к сети 10 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 10 V (rms)f = 60 HzR = 30 ΩL = 150 mHC = 22 µF

φ = °

4.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная

Последовательный RLC-контур имеет R = 15 Ω, L = 100 mH и C = 0,47 µF. Найдите его полосу пропускания B (ширину полосы между частотами половинной мощности) в Hz.

R = 15 ΩL = 100 mHC = 0,47 µF

B = Hz

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя

К однофазной сети 230 V параллельно подключены две нагрузки: нагрузка 5 kW при коэффициенте мощности 0,85 (индуктивном) и нагрузка 23 kW при коэффициенте мощности 0,7 (индуктивном). Найдите общий коэффициент мощности cos φ со стороны сети.

V = 230 VP₁ = 5 kW, pf₁ = 0,85 отстающийP₂ = 23 kW, pf₂ = 0,7 отстающий

cos φ =

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная

Однофазный трансформатор 150 kVA питает нагрузку 59 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном). Какую дополнительную активную мощность ΔP можно добавить в виде активной нагрузки (коэффициент мощности 1), прежде чем трансформатор достигнет своей номинальной мощности в kVA?

S_max = 150 kVAP₁ = 59 kWpf₁ = 0,65

ΔP = kW

7.LC-резонанс, добротность и полоса пропусканияСредняя

Последовательный RLC-контур имеет R = 10 Ω, L = 4,7 mH и C = 47 nF. Найдите его полосу пропускания BW в Hz.

R = 10 ΩL = 4,7 mHC = 47 nF

BW = Hz

8.LC-резонанс, добротность и полоса пропусканияСложная

Частоты половинной мощности резонансной кривой равны 400 kHz и 800 kHz. Найдите резонансную частоту как их среднее геометрическое, а затем добротность Q.

f₁ = 400 kHzf₂ = 800 kHz

Q =

9.Трёхфазная мощностьСредняя

Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 110 kW. При этой нагрузке его КПД равен 90%, а коэффициент мощности 0,86 (отстающий). Линейное напряжение сети 690 V. Найдите линейный ток I_L.

P_out = 110 kWη = 90%cos φ = 0,86V_L = 690 V

I_L = A

10.Трёхфазная мощностьСложная

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 200 kW при коэффициенте мощности 0,7 (отстающий) от сети 480 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,95 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость C_ph каждого конденсатора в µF.

P = 200 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,95V_L = 480 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.Переходные процессы RC и RLСредняя

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите ток i в момент t = 10 ms.

V_s = 9 VR = 20 ΩL = 68 mHt = 10 ms

i = A

12.Переходные процессы RC и RLСложная

Таймер при t = 0 начинает заряжать незаряженный конденсатор через резистор от источника 12 V. Он должен сработать, когда напряжение конденсатора достигнет 7,2 V, ровно через 1000 ms после старта. При C = 10 µF найдите необходимое сопротивление R.

V_s = 12 VV_th = 7,2 VT = 1000 msC = 10 µF

R = kΩ

13.Тевенин и НортонСредняя

К a–b подключена нагрузка R_L = 20 Ω. Замените остальную цепь эквивалентом Тевенина и найдите ток нагрузки I_L.

V₁ = 6 VR₁ = 10 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 12 ΩR_L = 20 Ω

I_L = A

14.Тевенин и НортонСложная

К a–b подключена нагрузка R_L = 6 Ω. С помощью эквивалента Тевенина найдите мощность P_L, передаваемую в нагрузку.

V₁ = 18 VI_s = 1 AR₁ = 25 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 10 ΩR_L = 6 Ω

P_L = W

15.Диаграммы Боде и запасыСредняя

Найдите точный модуль |G(jω)| функции G(s) = 486/((s + 3)(s + 9)) при ω = 5 rad/s в dB.

G(s) = 486/((s + 3)(s + 9))ω = 5 rad/s

|G(jω)| = dB

16.Диаграммы Боде и запасыСложная

Контур с единичной обратной связью имеет передаточную функцию разомкнутой системы L(s) = 128/(s(s + 3)(s + 6)). Найдите запас по усилению GM в dB.

L(s) = 128/(s(s + 3)(s + 6))

GM = dB

3Растворы

1.Комплексные числа

Ответ: B (6 − j6)

Полярная форма: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, где r = |z| и θ = arg z. Обратно к алгебраической форме: a = r cos θ, b = r sin θ. Для аргумента нужна четверть: θ = atan(b/a) только при a > 0; при a < 0 прибавьте или вычтите 180°. В полярной форме умножение простое: перемножьте модули и сложите аргументы; при делении разделите модули и вычтите аргументы.

Действие w

|z·w| = 2·|z|, arg(z·w) = arg z + 90°

Точка

z·w = 6 − j6 → B

Ответ

B (6 − j6)

2.Комплексные числа

Ответ: r = −4

Формула Муавра и корни: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Уравнение zⁿ = R∠φ имеет ровно n корней, все с модулем R^1/n, при аргументах (φ + 360°·k)/n для k = 0, 1, …, n − 1: они лежат равномерно на окружности, через 360°/n. Квадратное уравнение z² + pz + q = 0 при p² < 4q имеет комплексные корни z = −p/2 ± j√(q − p²/4); многочлен с действительными коэффициентами всегда имеет комплексные корни парами сопряжённых a ± jb.

Сопряжённая пара

z₂ = −4 − j4

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−4)·z + ((−4)² + 4²) = z² + 8z + 32

Выделите квадратный множитель

z³ + 12z² + 64z + 128 = (z² + 8z + 32)(z + 4)

Действительный корень

r = −4

Ответ

r = −4

Проверьте по сумме корней: z₁ + z₂ + r = −8 + (−4) = −12 = −(12).

3.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = −64,89 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,15 = 56,55 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·22·10⁻⁶) = 120,6 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (−64,02)²) = 70,7 Ω

Угол сдвига фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−64,02/30) = −64,89°

Ответ

φ = −64,89°

4.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: B = 23,87 Hz

Резонансная частота

f₀ = 1/(2π·√(0,1·0,47·10⁻⁶)) = 734,1 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/15)·√(0,1/(0,47·10⁻⁶)) = 30,75

Полоса пропускания

B = f₀/Q = 734,1/30,75 = 23,87 Hz

Ответ

B = 23,87 Hz

5.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: cos φ = 0,7255

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Реактивная мощность каждой нагрузки

Индуктивная нагрузка потребляет реактивную мощность (Q > 0); ёмкостная — отдаёт её (Q < 0).

Q₁ = 5·tan(arccos 0,85) = 3,099 kvar

Q₂ = 23·tan(arccos 0,7) = 23,46 kvar

Суммы

P = 5 + 23 = 28 kW

Q = 3,099 + 23,46 = 26,56 kvar

S = √(28² + 26,56²) = 38,6 kVA

Общий коэффициент мощности

cos φ = P/S = 28/38,6 = 0,7255 отстающий

Ответ

cos φ = 0,7255

6.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: ΔP = 74,2 kW

Реактивная мощность существующей нагрузки

Q₁ = 59·tan(arccos 0,65) = 68,98 kvar

Наибольшая суммарная активная мощность

При полной нагрузке S = S_max, а Q от активной нагрузки не меняется.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(150² − 68,98²) = 133,2 kW

Дополнительная активная мощность

ΔP = 133,2 − 59 = 74,2 kW

Ответ

ΔP = 74,2 kW

7.LC-резонанс, добротность и полоса пропускания

Ответ: BW = 338,6 Hz

Добротность и полоса пропускания: в резонансном контуре Q = 2π·(запасённая энергия)/(энергия, теряемая за период). Для последовательного RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); для параллельного RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Полоса пропускания между частотами половинной мощности f₁ и f₂ (где мощность вдвое меньше, а ток или напряжение составляют 1/√2 от пикового) равна BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, то есть R/(2πL) для последовательного и 1/(2πRC) для параллельного контура. Резонансная частота — это среднее геометрическое f₀ = √(f₁f₂), а f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Потери также вызывают затухание колебаний: в последовательном RLC амплитуда убывает как e^−Rt/(2L).

Полоса пропускания в rad/s

R/L = 10/0,0047 = 2128 rad/s

Полоса пропускания в Hz

BW = 2128/(2π) = 338,6 Hz = 338,6 Hz

Ответ

BW = 338,6 Hz

При f₀ = 10,71 kHz получаем Q = 31,62.

8.LC-резонанс, добротность и полоса пропускания

Ответ: Q = 1,414

Резонансная частота

f₀ = √(400000·800000) = 565685 Hz

Полоса пропускания

BW = 800000 − 400000 = 400000 Hz

Добротность

Q = 565685/400000 = 1,414

Ответ

Q = 1,414

9.Трёхфазная мощность

Ответ: I_L = 118,9 A

Потребляемая электрическая мощность

P_in = P_out/η = 110/0,9 = 122,2 kW

Ток линии

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 122222/(√3·690·0,86) = 118,9 A

Ответ

I_L = 118,9 A

10.Трёхфазная мощность

Ответ: C_ph = 1592 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, V_L = √3·V_ph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, I_L = √3·I_ph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Каждый из трёх конденсаторов даёт Q_C/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: V_L в батарее, соединённой треугольником, V_L/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q₁ = 200·tan(acos 0,7) = 200·1,02 = 204 kvar

Q₂ = 200·tan(acos 0,95) = 200·0,3287 = 65,74 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

Q_C = Q₁ − Q₂ = 138,3 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.

V = 480/√3 = 277,1 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 46101/(377·277,1²) = 1592 µF

Ответ

C_ph = 1592 µF

11.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,4262 A

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 68 mH / 20 Ω = 3,4 ms

i(∞) = V_s/R = 9/20 = 0,45 A

Ток в заданный момент

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,45·(1 − e^−10/3,4) = 0,4262 A

Ответ

i = 0,4262 A

12.Переходные процессы RC и RL

Ответ: R = 109,1 kΩ

Требуемая постоянная времени

7,2 = 12·(1 − e^−1000/τ) → τ = 1000/ln(12/(12 − 7,2))

τ = 1000/0,9163 = 1091 ms

Сопротивление

kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.

R = τ/C = 1091/10 = 109,1 kΩ

Ответ

R = 109,1 kΩ

13.Тевенин и Нортон

Ответ: I_L = 0,08738 A

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения V_th, последовательный с сопротивлением R_th. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока I_N = V_th/R_th, параллельный R_th.

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R₁ ∥ R₂ = 10·12/(10+12) = 5,455 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 5,455 + 12 = 17,45 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 6·12/(10+12) = 3,273 V

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 3,273/(17,45 + 20) = 0,08738 A

14.Тевенин и Нортон

Ответ: P_L = 5,92 W

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

R₁ ∥ R₂ = 25·12/(25+12) = 8,108 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 8,108 + 10 = 18,11 Ω

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 5,838 + 1·8,108 = 13,95 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 13,95 + 1·10 = 23,95 V

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 23,95/(18,11 + 6) = 0,9933 A

P_L = I_L²·R_L = 0,9933²·6 = 5,92 W

15.Диаграммы Боде и запасы

Ответ: |G(jω)| = 18,16 dB

Частотная характеристика: подставьте s = jω в передаточную функцию. Модуль в децибелах равен 20·log₁₀|H(jω)|, а фаза — сумме углов множителей числителя минус сумма углов множителей знаменателя. У фильтра первого порядка RC или RL частота среза (−3 dB) равна ω_c = 1/(RC) или R/L, и f_c = ω_c/(2π); фильтр нижних частот даёт |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) и φ = −atan(ω/ω_c). На асимптотической (кусочно-линейной) диаграмме Боде каждый полюс на своей частоте среза загибает модуль вниз на 20 dB/decade, каждый нуль загибает его вверх на 20 dB/decade, а интегратор 1/s даёт −20 dB/decade на всех частотах. Частота среза усиления ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); запас по фазе PM = 180° + ∠L(jω_c). Частота перехода фазы ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; запас по усилению GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Замкнутая система устойчива, когда оба запаса положительны.

Перемножьте модули

|G(j5)| = 486/(√(5² + 3²)·√(5² + 9²)) = 486/(5,831·10,3) = 8,096

Результат

20·log₁₀(8,096) = 18,16 dB

Ответ

|G(jω)| = 18,16 dB

16.Диаграммы Боде и запасы

Ответ: GM = 2,046 dB

Частота перехода фазы

(ω/3)·(ω/6) = 1 → ω₁₈₀ = √(3·6) = 4,243 rad/s

Модуль на частоте перехода фазы

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 9)·√(ω² + 36)) = K/(3·6·(3 + 6)) = K/162

Запас по усилению

GM = 20·log₁₀(162/128) = 2,046 dB

Ответ

GM = 2,046 dB

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Теория электрических цепей 2: цепи переменного тока: шпаргалка-пакет

1Формулы и методы

Комплексные числа

Метод

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Метод

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

LC-резонанс, добротность и полоса пропускания

Метод

Трёхфазная мощность

Переходные процессы RC и RL

Метод

Тевенин и Нортон

Метод

2Тренировочные задачи

3Растворы

Действие w

Точка

Ответ

Сопряжённая пара

Выделите квадратный множитель

Действительный корень

Ответ

Реактивные сопротивления

Полное сопротивление

Угол сдвига фаз

Ответ

Резонансная частота

Добротность

Полоса пропускания

Ответ

Реактивная мощность каждой нагрузки

Суммы

Общий коэффициент мощности

Ответ

Реактивная мощность существующей нагрузки

Наибольшая суммарная активная мощность

Дополнительная активная мощность

Ответ

Полоса пропускания в rad/s

Полоса пропускания в Hz

Ответ

Резонансная частота

Полоса пропускания

Добротность

Ответ

Потребляемая электрическая мощность

Ток линии

Ответ

Реактивная мощность до и после

Реактивная мощность конденсаторов

Ёмкость на фазу

Ответ

Постоянная времени и конечный ток

Ток в заданный момент

Ответ

Требуемая постоянная времени

Сопротивление

Ответ

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Перемножьте модули

Результат

Ответ

Частота перехода фазы

Модуль на частоте перехода фазы

Запас по усилению

Ответ

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода

Найдите R_th со всеми отключёнными источниками

Найдите V_th — напряжение холостого хода