Основы электротехники: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов
Req = R1 + R2 + …
Параллельное соединение резисторов
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два параллельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Мощность
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
  2. Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. После каждого шага перерисовывайте схему.
  4. Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Метод узловых потенциалов

Закон токов Кирхгофа
ΣIin = ΣIout
Ток ветви
I = (Va − Vb)/R
Опорный узел
Vground = 0

Метод

  1. Выберите опорный узел (землю) и обозначьте потенциалы остальных узлов.
  2. Запишите первый закон Кирхгофа для каждого неизвестного узла: сумма токов, вытекающих по ветвям, равна сумме втекающих.
  3. Выразите ток каждой ветви как (Va − Vb)/R.
  4. Решите систему уравнений, затем найдите нужные токи.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина
Vth = Vopen circuit
Сопротивление Тевенина
Rth: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона
IN = Vth/Rth
Ток нагрузки
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальной мощности
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Метод

  1. Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
  2. Найдите напряжение холостого хода между a и b: это Vth.
  3. Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это Rth.
  4. Верните нагрузку в эквивалентную схему: Vth последовательно с Rth.
  5. Для эквивалента Нортона преобразуйте: IN = Vth/Rth, с RN = Rth параллельно.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени
τ = RC | τ = L/R
Отклик
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постоянном токе
разрыв; vC не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе
короткое замыкание; iL не может измениться скачком
Установившийся режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
  2. Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
  3. Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
  4. Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Угловая частота
ω = 2πf
Модуль и угол
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме
V = I·Z

Метод

  1. Переведите частоту: ω = 2πf.
  2. Найдите каждое реактивное сопротивление: XL = ωL и XC = 1/(ωC).
  3. Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
  4. Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность
P = V·I·cos φ
Реактивная мощность
Q = V·I·sin φ
Полная мощность
S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности
pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Соединение треугольником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Полная активная мощность
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Полная и реактивная мощность
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе
Δ: VL Y: VL/√3
Потребляемая мощность двигателя
Pin = Pout/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации
a = N1/N2 = V1/V2
Отношение токов
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Номинальный ток
I = S/V
Приведённое сопротивление
Z1′ = a²·ZL
Потери в меди при неполной нагрузке
Pcu = x²·Pcu,fl
КПД
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Максимальный КПД
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2Тренировочные задачи

1.Последовательные и параллельные резисторыСредняя
R1​ = 15 ΩIR1​R3​ = 5 Ω+−V1​9 VR2​8 ΩAR4​15 ΩB

Найдите ток IR1, отдаваемый источником и текущий через R1.

V1 = 9 VR1 = 15 ΩR2 = 8 ΩR3 = 5 ΩR4 = 15 Ω
IR1 = A
2.Последовательные и параллельные резисторыСложная
R1​ = 15 ΩIR1​R3​ = 5 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​15 ΩAR4​8 ΩBR6​30 Ω

Найдите ток IR1, отдаваемый источником и текущий через R1.

V1 = 24 VR1 = 15 ΩR2 = 15 ΩR3 = 5 ΩR4 = 8 ΩR5 = 8 ΩR6 = 30 Ω
IR1 = A
3.Метод узловых потенциаловСредняя
−+Vs​ = 3 VIs​4 AAR1​15 ΩR2​10 ΩB

Вывод + источника напряжения Vₛ между A и B находится у B, поэтому он задаёт VB − VA = Vₛ. Методом узловых потенциалов с супер-узлом найдите узловое напряжение VA (относительно земли).

Is = 4 AVs = 3 VR1 = 15 ΩR2 = 10 Ω
VA = V
4.Метод узловых потенциаловСложная
R1​ = 10 ΩR2​ = 15 ΩIR2​R4​ = 20 Ω+−V1​10 VR3​4 ΩAR5​5 ΩBIs​4 A−+V2​12 V

Используйте метод узловых потенциалов, чтобы найти ток IR2 через R2 в направлении стрелки.

V1 = 10 VIs = 4 AV2 = 12 VR1 = 10 ΩR2 = 15 ΩR3 = 4 ΩR4 = 20 ΩR5 = 5 Ω
IR2 = A
5.Тевенин и НортонСредняя
R1​ = 6 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​15 VR2​4 ΩAab

Найдите сопротивление Тевенина Rth со стороны зажимов a–b.

V1 = 15 VR1 = 6 ΩR2 = 4 ΩR3 = 15 Ω
Rth = Ω
6.Тевенин и НортонСложная
R1​ = 30 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​15 VR2​25 ΩAIs​6 ABRL​3 ΩIL​

К a–b подключена нагрузка RL = 3 Ω. С помощью эквивалента Тевенина найдите мощность PL, передаваемую в нагрузку.

V1 = 15 VIs = 6 AR1 = 30 ΩR2 = 25 ΩR3 = 2 ΩRL = 3 Ω
PL = W
7.Переходные процессы RC и RLСредняя
R = 47 Ωt = 0L33 mHi(t)

Через катушку течёт установившийся ток 0,5 A. При t = 0 ключ замыкает контур через R, а источник отключается, поэтому ток катушки убывает через R. Найдите ток i в момент t = 1 ms.

i(0) = 0,5 AR = 47 ΩL = 33 mHt = 1 ms
i = A
8.Переходные процессы RC и RLСложная
+−Vs​20 Vt = 0R = 3,3 kΩC33 µF+−vC​vC​(0) = 5 V

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 5 V с указанной полярностью. Через какое время vC достигнет 17 V? Найдите t.

Vs = 20 VR = 3,3 kΩC = 33 µFvC(0) = 5 V
t = ms
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
24 V500 HzR = 100 ΩL = 250 mHC = 10 µFI

Последовательная цепь RLC подключена к сети 24 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите коэффициент мощности cos φ цепи.

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 250 mHC = 10 µF
cos φ =
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
230 V50 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 4,7 µF

Последовательная цепь RLC подключена к сети 230 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите резонансную частоту f0 цепи.

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 4,7 µF
f0 = Hz
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
230 VZ7 + j24 ΩI

Нагрузка с полным сопротивлением Z = 7 + j24 Ω подключена к однофазной сети 230 V (действующее значение). Найдите потребляемую ею активную мощность P.

V = 230 VZ = 7 + j24 Ω
P = W
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
P1​ = 92 kWQ1​S1​φ

Однофазный трансформатор 200 kVA питает нагрузку 92 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном). Какую дополнительную активную мощность ΔP можно добавить в виде активной нагрузки (коэффициент мощности 1), прежде чем трансформатор достигнет своей номинальной мощности в kVA?

Smax = 200 kVAP1 = 92 kWpf1 = 0,8
ΔP = kW
13.Трёхфазная мощностьСредняя
ABCVL​ = 400 VIL​ = ?M11 kW, η = 92%cos φ = 0,8

Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 11 kW. При этой нагрузке его КПД равен 92%, а коэффициент мощности 0,8 (отстающий). Линейное напряжение сети 400 V. Найдите линейный ток IL.

Pout = 11 kWη = 92%cos φ = 0,8VL = 400 V
IL = A
14.Трёхфазная мощностьСложная
P = 50 kWφ1​S1​Q2​QC​

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 50 kW при коэффициенте мощности 0,78 (отстающий) от сети 415 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,95 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.

P = 50 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,95VL = 415 Vf = 60 Hz
Cph = µF
15.ТрансформаторыСредняя
480 V240 VIHV​ = ?ILV​75 kVA

Однофазный трансформатор 75 kVA, 480/240 V работает при номинальной нагрузке. Считайте его идеальным. Найдите ток IHV в обмотке высшего напряжения.

S = 75 kVAV1 = 480 VV2 = 240 V
IHV = A
16.ТрансформаторыСложная
250 kVA

Однофазный трансформатор 250 kVA имеет потери в стали 1500 W и потери в меди 3000 W при номинальной нагрузке. При какой нагрузке Sη,max, в kVA, его КПД максимален?

S = 250 kVAPcore = 1500 WPcu,fl = 3000 W
Sη,max = kVA

3Растворы

1.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR1 = 0,4345 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 15 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​9 VR2​8 ΩAR4​15 ΩB

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R3 + R4 = 5 + 15 = 20 Ω
R2 ∥ 20 = 8·20/(8+20) = 5,714 Ω
Req = R1 + 5,714 = 15 + 5,714 = 20,71 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 9/20,71 = 0,4345 A

Ответ

IR1 = 0,4345 A
2.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR1 = 1,114 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 15 ΩR3​ = 5 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​15 ΩAR4​8 ΩBR6​30 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R5 + R6 = 8 + 30 = 38 Ω
R4 ∥ 38 = 6,609 Ω
R3 + 6,609 = 11,61 Ω
R2 ∥ 11,61 = 6,544 Ω
Req = R1 + 6,544 = 15 + 6,544 = 21,54 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 24/21,54 = 1,114 A

Ответ

IR1 = 1,114 A
3.Метод узловых потенциалов

Ответ: VA = 22,2 V

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

Образуем супер-узел

Через источник напряжения между A и B течёт неизвестный ток, поэтому ЗТК нельзя записать отдельно для A или B. Объедините A, B и источник в один супер-узел: втекающий в него ток равен вытекающему.

VB = VA + Vs = VA + 3
VA/R1 + VB/R2 = Is

Решите

VA/15 + (VA + 3)/10 = 4
VA = (4 − 3/10)/(1/15 + 1/10) = 22,2 V
VB = 22,2 + 3 = 25,2 V

Ответ

VA = 22,2 V
4.Метод узловых потенциалов

Ответ: IR2 = 0,9725 A

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

R1​ = 10 ΩR2​ = 15 ΩR4​ = 20 Ω+−V1​10 VR3​4 ΩAR5​5 ΩBIs​4 A−+V2​12 V

Определите узлы

Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 10 V, V2 = −12 V). Неизвестные: VA, VB.

ЗТК в узле A

Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/4 + (VA − 10)/10 + (VA − VB)/15 = 0
0,4167·VA − 0,06667·VB = 1

ЗТК в узле B

Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/5 + (VB − VA)/15 + (VB − (−12))/20 = (−4)
−0,06667·VA + 0,3167·VB = −4,6

Решите

Δ = (0,4167)(0,3167) − (−0,06667)(−0,06667) = 0,1275
VA = Δ1/Δ = 0,01/0,1275 = 0,07843 V
VB = Δ2/Δ = −1,85/0,1275 = −14,51 V

Ответ

IR2 = (VA − VB)/R2 = (0,07843 − −14,51)/15 = 0,9725 A
5.Тевенин и Нортон

Ответ: Rth = 17,4 Ω

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.

R1​ = 6 ΩR3​ = 15 ΩКЗR2​4 ΩAabRth​

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R1 ∥ R2 = 6·4/(6+4) = 2,4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,4 + 15 = 17,4 Ω
6.Тевенин и Нортон

Ответ: PL = 65,38 W

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.

R1​ = 30 ΩR3​ = 2 ΩКЗR2​25 ΩAОБРЫВBabRth​

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R1 ∥ R2 = 30·25/(30+25) = 13,64 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 13,64 + 2 = 15,64 Ω
R1​ = 30 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​15 VR2​25 ΩAIs​6 ABab+−Vth​

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 6,818 + (−6)·13,64 = −75 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −75 + (−6)·2 = −87 V
Rth​ = 15,64 Ω−+Vth​87 VRL​3 ΩIL​

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.

IL = Vth/(Rth + RL) = −87/(15,64 + 3) = −4,668 A
PL = IL²·RL = −4,668²·3 = 65,38 W
7.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,1203 A

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени

τ = L/R = 33 mH / 47 Ω = 0,7021 ms

Убывание тока

i(t) = 0,5·e−1/0,7021 = 0,1203 A

Ответ

i = 0,1203 A
8.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 175,3 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

vC(0) = 5 V, vC(∞) = Vs = 20 V
τ = R·C = 3,3 kΩ · 33 µF = 108,9 ms
vC(t) = 20 + (5 − 20)·e−t/τ

Выразите время

17 = 20 + (−15)·e−t/τ → e−t/τ = (17 − 20)/(5 − 20) = 0,2
t = τ·ln((5 − 20)/(17 − 20)) = 108,9·ln(5) = 175,3 ms

Ответ

t = 175,3 ms
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: cos φ = 0,1315

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

XL = 785,4 Ω, XC = 31,83 Ω

Полное сопротивление

|Z| = √(100² + (753,6)²) = 760,2 Ω

Коэффициент мощности

cos φ = R/|Z| = 100/760,2 = 0,1315
Цепь индуктивная, поэтому коэффициент мощности отстающий.

Ответ

cos φ = 0,1315
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: f0 = 519,1 Hz

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Резонанс

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC). Частота сети не важна.

f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,02·4,7·10⁻⁶)) = 519,1 Hz

Ответ

f0 = 519,1 Hz
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: P = 592,5 W

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Ток

|Z| = √(7² + 24²) = 25 Ω
I = V/|Z| = 230/25 = 9,2 A

Активная мощность

P = I²·R = 9,2²·7 = 592,5 W

Ответ

P = 592,5 W
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: ΔP = 95,72 kW

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Реактивная мощность существующей нагрузки

Q1 = 92·tan(arccos 0,8) = 69 kvar

Наибольшая суммарная активная мощность

При полной нагрузке S = Smax, а Q от активной нагрузки не меняется.

P = √(Smax² − Q1²) = √(200² − 69²) = 187,7 kW

Дополнительная активная мощность

ΔP = 187,7 − 92 = 95,72 kW

Ответ

ΔP = 95,72 kW
13.Трёхфазная мощность

Ответ: IL = 21,57 A

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Потребляемая электрическая мощность

Pin = Pout/η = 11/0,92 = 11,96 kW

Ток линии

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 11957/(√3·400·0,8) = 21,57 A

Ответ

IL = 21,57 A
14.Трёхфазная мощность

Ответ: Cph = 121,6 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q1 = 50·tan(acos 0,78) = 50·0,8023 = 40,11 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0,95) = 50·0,3287 = 16,43 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

QC = Q1 − Q2 = 23,68 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.

V = 415 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 7893/(377·415²) = 121,6 µF

Ответ

Cph = 121,6 µF
15.Трансформаторы

Ответ: IHV = 156,3 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Номинальный ток

Через обе обмотки передаётся одинаковая полная мощность.

IHV = S/V = 75000/480 = 156,3 A

Ответ

IHV = 156,3 A
16.Трансформаторы

Ответ: Sη,max = 176,8 kVA

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди равны потерям в стали

x²·3000 = 1500 → x = √(1500/3000) = 0,7071

Нагрузка при максимальном КПД

Sη,max = x·S = 0,7071·250 = 176,8 kVA

Ответ

Sη,max = 176,8 kVA

ExamProblems · examproblems.com/courses/electrical-engineering-fundamentals