Между узлом A и землёй включены три ветви, как показано на схеме. Методом узловых потенциалов найдите ток I1 в ветви 1, текущий вверх в узел A по направлению стрелки.
Ромб — это источник тока, управляемый напряжением, который направляет ток 0,25·VA (в A при VA в V) вверх в узел B. Методом узловых потенциалов найдите узловое напряжение VB (относительно земли).
До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Через какое время после замыкания ключа ток достигнет 90% конечного значения? Найдите t.
Vs = 5 VR = 50 ΩL = 22 mH
t = ms
8.Переходные процессы RC и RLСложная
Таймер при t = 0 начинает заряжать незаряженный конденсатор через резистор от источника 12 V. Он должен сработать, когда напряжение конденсатора достигнет 9 V, ровно через 20 ms после старта. При C = 100 µF найдите необходимое сопротивление R.
Vs = 12 VVth = 9 VT = 20 msC = 100 µF
R = kΩ
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
Последовательный RLC-контур с C = 4,7 µF должен резонировать на частоте 2000 Hz. Найдите необходимую индуктивность L.
f0 = 2000 HzC = 4,7 µF
L = mH
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
Последовательная цепь RLC подключена к сети 12 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите действующее значение тока I.
V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 150 mHC = 47 µF
I = A
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Индуктивная нагрузка потребляет 8 A и 768 W от однофазной сети 120 V (действующее значение). Представьте её как сопротивление R, соединённое последовательно с реактивным сопротивлением X. Найдите X.
V = 120 VI = 8 AP = 768 W
X = Ω
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазный трансформатор 10 kVA питает нагрузку 5 kW при коэффициенте мощности 0,85 (индуктивном). Какую дополнительную активную мощность ΔP можно добавить в виде активной нагрузки (коэффициент мощности 1), прежде чем трансформатор достигнет своей номинальной мощности в kVA?
Smax = 10 kVAP1 = 5 kWpf1 = 0,85
ΔP = kW
13.Трёхфазная мощностьСредняя
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет линейный ток 15 A от сети с линейным напряжением 208 V. Коэффициент мощности 0,9 (отстающий). Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.
VL = 208 VIL = 15 Acos φ = 0,9
P = kW
14.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 250 kW при коэффициенте мощности 0,75 (отстающий) от сети 690 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,9 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.
P = 250 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,9VL = 690 Vf = 60 Hz
Cph = µF
15.ТрансформаторыСредняя
К вторичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 8:1 подключён резистор 16 Ω. Найдите сопротивление R1′ со стороны первичной обмотки.
N1:N2 = 8:1RL = 16 Ω
R1′ = Ω
16.ТрансформаторыСложная
Однофазный трансформатор 200 kVA имеет потери в стали 600 W и потери в меди 1500 W при номинальной нагрузке. При какой нагрузке Sη,max, в kVA, его КПД максимален?
S = 200 kVAPcore = 600 WPcu,fl = 1500 W
Sη,max = kVA
3Растворы
1.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR2 = 1,579 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 15 + 5 = 20 Ω
R2 ∥ 20 = 12·20/(12+20) = 7,5 Ω
Req = R1 + 7,5 = 2 + 7,5 = 9,5 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 24/9,5 = 2,526 A
Ток через R₂
Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 2,526·2 = 18,95 V
IR2 = VA/R2 = 18,95/12 = 1,579 A
Ответ
IR2 = 1,579 A
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR1 = 1,385 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 2 + 2 = 4 Ω
R4 ∥ 4 = 1,333 Ω
R3 + 1,333 = 9,333 Ω
R2 ∥ 9,333 = 4,828 Ω
Req = R1 + 4,828 = 6 + 4,828 = 10,83 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 15/10,83 = 1,385 A
Ответ
IR1 = 1,385 A
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: I1 = −0,2857 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
Примите нижний провод за землю. Каждая ветвь проводит ток (VA − Vk)/Rk, вытекающий из A, где Vk — напряжение её источника (ноль для простого резистора). Сумма токов, вытекающих из A, равна нулю.
(VA − 10)/3 + (VA − 10)/12 + (VA − 18)/20 = 0
Находим VA
VA = (10/3 + 10/12 + 18/20) / (1/3 + 1/12 + 1/20) = 5,067/0,4667 = 10,86 V
Ток ветви
Стрелка направлена вверх по ветви, в узел A.
I1 = (10 − VA)/R1 = (10 − 10,86)/3 = −0,2857 A
Ответ
I1 = −0,2857 A
Отрицательный результат означает, что в действительности ток течёт против стрелки.
4.Метод узловых потенциалов
Ответ: VB = 12,21 V
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники направляют в A.
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
0,1567·VA − 0,04·VB = 0,6
ЗТК в узле B
Зависимый источник направляет ток g·VA в узел B. Рассматривайте его как независимый источник, а затем перенесите член с VA в левую часть.
(VB − VA)/R3 + VB/R4 = 0,25·VA
−0,29·VA + 0,165·VB = 0
Решите
Δ = (0,1567)(0,165) − (−0,04)(−0,29) = 0,01425
VA = Δ1/Δ = 0,099/0,01425 = 6,947 V
VB = Δ2/Δ = 0,174/0,01425 = 12,21 V
Ответ
VB = 12,21 V
5.Тевенин и Нортон
Ответ: Vth = 10,67 V
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 5·4/(5+4) = 2,222 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,222 + 10 = 12,22 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 24·4/(5+4) = 10,67 V
6.Тевенин и Нортон
Ответ: PL = 54,58 W
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 8·30/(8+30) = 6,316 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6,316 + 15 = 21,32 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 7,105 + 3·6,316 = 26,05 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 26,05 + 3·15 = 71,05 V
Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина
Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.
IL = Vth/(Rth + RL) = 71,05/(21,32 + 12) = 2,133 A
PL = IL²·RL = 2,133²·12 = 54,58 W
7.Переходные процессы RC и RL
Ответ: t = 1,013 ms
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени и конечный ток
Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.
τ = L/R = 22 mH / 50 Ω = 0,44 ms
i(∞) = Vs/R = 5/50 = 0,1 A
Выразите время
0,9 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,9)
t = −0,44·ln(0,1) = 1,013 ms
Ответ
t = 1,013 ms
8.Переходные процессы RC и RL
Ответ: R = 0,1443 kΩ
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Требуемая постоянная времени
9 = 12·(1 − e−20/τ) → τ = 20/ln(12/(12 − 9))
τ = 20/1,386 = 14,43 ms
Сопротивление
kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.
R = τ/C = 14,43/100 = 0,1443 kΩ
Ответ
R = 0,1443 kΩ
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: L = 1,347 mH
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Условие резонанса
При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC).
ω₀ = 2π·2000 = 12566 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(12566²·4,7·10⁻⁶) = 1,347 mH
Ответ
L = 1,347 mH
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: I = 0,02574 A
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивные сопротивления
ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0,15 = 471,2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·47·10⁻⁶) = 6,773 Ω
Полное сопротивление
При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).
Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.
I = V/|Z| = 12/466,2 = 0,02574 A
Ответ
I = 0,02574 A
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: X = 9 Ω
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Сопротивление по активной мощности
R = P/I² = 768/8² = 12 Ω
Реактивное сопротивление по полному
|Z| = V/I = 120/8 = 15 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(15² − 12²) = 9 Ω
Ответ
X = 9 Ω
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: ΔP = 4,508 kW
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность существующей нагрузки
Q1 = 5·tan(arccos 0,85) = 3,099 kvar
Наибольшая суммарная активная мощность
При полной нагрузке S = Smax, а Q от активной нагрузки не меняется.
P = √(Smax² − Q1²) = √(10² − 3,099²) = 9,508 kW
Дополнительная активная мощность
ΔP = 9,508 − 5 = 4,508 kW
Ответ
ΔP = 4,508 kW
13.Трёхфазная мощность
Ответ: P = 4,864 kW
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Полная мощность
S = √3·VL·IL = √3·208·15 = 5,404 kVA
Активная мощность
P = S·cos φ = 5,404·0,9 = 4,864 kW
Ответ
P = 4,864 kW
14.Трёхфазная мощность
Ответ: Cph = 553,8 µF
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 250·tan(acos 0,75) = 250·0,8819 = 220,5 kvar
Q2 = 250·tan(acos 0,9) = 250·0,4843 = 121,1 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 99,4 kvar
Ёмкость на фазу
В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.
Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.
Приведённое сопротивление
Напряжение растёт в a раз, а ток уменьшается в a раз, поэтому отношение V/I растёт в a² раз.
R1′ = a²·RL = 8²·16 = 1024 Ω
Ответ
R1′ = 1024 Ω
16.Трансформаторы
Ответ: Sη,max = 126,5 kVA
Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.