Вывод + источника напряжения Vₛ между A и B находится у B, поэтому он задаёт VB − VA = Vₛ. Методом узловых потенциалов с супер-узлом найдите узловое напряжение VB (относительно земли).
Is = 1,5 AVs = 5 VR1 = 12 ΩR2 = 10 Ω
VB = V
4.Метод узловых потенциаловСложная
Используйте метод узловых потенциалов, чтобы найти узловое напряжение VB (относительно земли).
До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите напряжение vL на катушке в момент t = 30 ms.
Vs = 15 VR = 20 ΩL = 220 mHt = 30 ms
vL = V
8.Переходные процессы RC и RLСложная
Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 18 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе vC в момент t = 75 ms.
Vs = 12 VR = 2,2 kΩC = 100 µFvC(0) = 18 Vt = 75 ms
vC = V
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
Последовательная цепь RLC подключена к сети 50 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите действующее значение тока I.
V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 1 µF
I = A
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
Последовательная цепь RLC подключена к сети 50 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите действующее значение тока I.
V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 20 ΩL = 100 mHC = 2,2 µF
I = A
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Индуктивная нагрузка потребляет 5 A и 420 W от однофазной сети 120 V (действующее значение). Представьте её как сопротивление R, соединённое последовательно с реактивным сопротивлением X. Найдите X.
V = 120 VI = 5 AP = 420 W
X = Ω
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Источник 50 V (действующее значение), 60 Hz имеет внутреннее сопротивление Zs = 8 + j40 Ω. Полное сопротивление нагрузки ZL можно выбирать произвольно. Найдите наибольшую активную мощность Pmax, которую можно передать нагрузке.
Vs = 50 V (rms)f = 60 HzZs = 8 + j40 Ω
Pmax = W
13.Трёхфазная мощностьСредняя
Симметричная нагрузка, соединённая треугольником, с полным сопротивлением 12 + j16 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 208 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.
VL = 208 VZ = 12 + j16 Ω на фазу
P = kW
14.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 50 kW при коэффициенте мощности 0,72 (отстающий) от сети 400 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,98 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность QC, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.
P = 50 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,98VL = 400 Vf = 50 Hz
QC = kvar
15.ТрансформаторыСредняя
К первичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 20:1 приложено 4800 V. К вторичной обмотке подключён резистор 5 Ω. Найдите первичный ток I1.
N1:N2 = 20:1V1 = 4800 VRL = 5 Ω
I1 = A
16.ТрансформаторыСложная
Однофазный трансформатор 500 kVA имеет потери в стали 4000 W и потери в меди 16000 W при номинальной нагрузке. Он отдаёт 50% номинальной мощности в kVA при коэффициенте мощности 0,9 (отстающий). Найдите суммарные потери Ploss в ваттах при этой нагрузке.
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 10 + 6 = 16 Ω
R2 ∥ 16 = 5·16/(5+16) = 3,81 Ω
Req = R1 + 3,81 = 5 + 3,81 = 8,81 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 18/8,81 = 2,043 A
Ответ
IR1 = 2,043 A
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR1 = 1,296 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 3 + 15 = 18 Ω
R4 ∥ 18 = 4,5 Ω
R3 + 4,5 = 29,5 Ω
R2 ∥ 29,5 = 3,522 Ω
Req = R1 + 3,522 = 15 + 3,522 = 18,52 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 24/18,52 = 1,296 A
Ответ
IR1 = 1,296 A
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: VB = 10,45 V
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Образуем супер-узел
Через источник напряжения между A и B течёт неизвестный ток, поэтому ЗТК нельзя записать отдельно для A или B. Объедините A, B и источник в один супер-узел: втекающий в него ток равен вытекающему.
VB = VA + Vs = VA + 5
VA/R1 + VB/R2 = Is
Решите
VA/12 + (VA + 5)/10 = 1,5
VA = (1,5 − 5/10)/(1/12 + 1/10) = 5,455 V
VB = 5,455 + 5 = 10,45 V
Ответ
VB = 10,45 V
4.Метод узловых потенциалов
Ответ: VB = 14,06 V
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Определите узлы
Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 15 V, V2 = 24 V). Неизвестные: VA, VB.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.
VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/20 + (VA − 15)/5 + (VA − VB)/12 = 0
0,3333·VA − 0,08333·VB = 3
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 4·15/(4+15) = 3,158 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,158 + 5 = 8,158 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 10·15/(4+15) = 7,895 V
Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина
Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.
IL = Vth/(Rth + RL) = 7,895/(8,158 + 2) = 0,7772 A
6.Тевенин и Нортон
Ответ: PL = 26,93 W
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 12·8/(12+8) = 4,8 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4,8 + 6 = 10,8 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4,8 + (−4)·4,8 = −14,4 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −14,4 + (−4)·6 = −38,4 V
Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина
Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.
IL = Vth/(Rth + RL) = −38,4/(10,8 + 4) = −2,595 A
PL = IL²·RL = −2,595²·4 = 26,93 W
7.Переходные процессы RC и RL
Ответ: vL = 0,981 V
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени и конечный ток
Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.
τ = L/R = 220 mH / 20 Ω = 11 ms
i(∞) = Vs/R = 15/20 = 0,75 A
Напряжение на катушке
В момент t = 0 всё напряжение питания приложено к катушке; затем оно спадает до нуля.
vL(t) = Vs·e−t/τ = 15·e−30/11 = 0,981 V
Ответ
vL = 0,981 V
8.Переходные процессы RC и RL
Ответ: vC = 16,27 V
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Начальное значение, конечное значение, постоянная времени
Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.
vC(0) = 18 V, vC(∞) = Vs = 12 V
τ = R·C = 2,2 kΩ · 100 µF = 220 ms
vC(t) = 12 + (18 − 12)·e−t/τ
Напряжение в заданный момент
vC(75) = 12 + (6)·e−75/220 = 16,27 V
Ответ
vC = 16,27 V
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: I = 0,2906 A
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивные сопротивления
ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0,05 = 157,1 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·1·10⁻⁶) = 318,3 Ω
Полное сопротивление
При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).
Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.
I = V/|Z| = 50/172 = 0,2906 A
Ответ
I = 0,2906 A
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: I = 0,293 A
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивные сопротивления
ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0,1 = 314,2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·2,2·10⁻⁶) = 144,7 Ω
Полное сопротивление
При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).
Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.
I = V/|Z| = 50/170,6 = 0,293 A
Ответ
I = 0,293 A
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: X = 17,14 Ω
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Сопротивление по активной мощности
R = P/I² = 420/5² = 16,8 Ω
Реактивное сопротивление по полному
|Z| = V/I = 120/5 = 24 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(24² − 16,8²) = 17,14 Ω
Ответ
X = 17,14 Ω
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: Pmax = 78,13 W
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Сопряжённое согласование
Реактивное сопротивление нагрузки компенсирует реактивное сопротивление источника, а активное сопротивление нагрузки равно активному сопротивлению источника.
ZL = Zs* = 8 − j40 Ω
Наибольшая мощность
I = Vs/(2Rs) = 50/16 = 3,125 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 50²/(4·8) = 78,13 W
Ответ
Pmax = 78,13 W
13.Трёхфазная мощность
Ответ: P = 3,894 kW
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Фазное напряжение
Vph = VL = 208 V
Фазный ток
|Z| = √(12² + 16²) = 20 Ω
Iph = 208/20 = 10,4 A
Полная активная мощность
Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.
P = 3·Iph²·R = 3·10,4²·12 = 3,894 kW
Ответ
P = 3,894 kW
Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,6, и √3·VL·IL·cos φ даёт ту же мощность.
14.Трёхфазная мощность
Ответ: QC = 38,04 kvar
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 50·tan(acos 0,72) = 50·0,9639 = 48,19 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0,98) = 50·0,2031 = 10,15 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 38,04 kvar
Ответ
QC = 38,04 kvar
15.Трансформаторы
Ответ: I1 = 2,4 A
Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.
Вторичные напряжение и ток
V2 = 4800/20 = 240 V
I2 = 240/5 = 48 A
Первичный ток
Идеальный трансформатор не имеет потерь: V₁·I₁ = V₂·I₂.
I1 = I2/20 = 2,4 A
Ответ
I1 = 2,4 A
Проверка: нагрузка со стороны первичной обмотки равна a²·RL = 2000 Ω, и 4800/2000 даёт тот же ток.
16.Трансформаторы
Ответ: Ploss = 8000 W
Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.