Источник Vₛ заряжает конденсатор через R₁, а R₂ подключён параллельно C. Конденсатор разряжен, когда ключ замыкается в момент t = 0. Найдите напряжение на конденсаторе vC в момент t = 200 ms.
Vs = 9 VR1 = 2,2 kΩR2 = 10 kΩC = 220 µFt = 200 ms
vC = V
8.Переходные процессы RC и RLСложная
Ключ, шунтирующий R2, был разомкнут долгое время, поэтому ток катушки установившийся. При t = 0 ключ замыкается и закорачивает R2. Найдите ток катушки i при t = 10 ms.
Vs = 15 VR1 = 5 ΩR2 = 22 ΩL = 22 mHt = 10 ms
i = A
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
Последовательный RLC-контур с L = 100 mH должен резонировать на частоте 200 Hz. Найдите необходимую ёмкость C.
f0 = 200 HzL = 100 mH
C = µF
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
Последовательная цепь RLC подключена к сети 10 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите действующее значение тока I.
V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 20 mHC = 22 µF
I = A
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Однофазный двигатель потребляет 14 kW при коэффициенте мощности 0,75 (индуктивном) от сети 240 V. Найдите реактивную мощность Q, которую он потребляет.
P = 14 kWpf = 0,75V = 240 V
Q = kvar
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазный трансформатор 100 kVA питает нагрузку 37 kW при коэффициенте мощности 0,7 (индуктивном). Какую дополнительную активную мощность ΔP можно добавить в виде активной нагрузки (коэффициент мощности 1), прежде чем трансформатор достигнет своей номинальной мощности в kVA?
Smax = 100 kVAP1 = 37 kWpf1 = 0,7
ΔP = kW
13.Трёхфазная мощностьСредняя
Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 15 kW. При этой нагрузке его КПД равен 94%, а коэффициент мощности 0,84 (отстающий). Линейное напряжение сети 415 V. Найдите линейный ток IL.
Pout = 15 kWη = 94%cos φ = 0,84VL = 415 V
IL = A
14.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 60 kW при коэффициенте мощности 0,7 (отстающий) от сети 480 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,92 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.
P = 60 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,92VL = 480 Vf = 60 Hz
Cph = µF
15.ТрансформаторыСредняя
Однофазный трансформатор 25 kVA, 4800/240 V работает при номинальной нагрузке. Считайте его идеальным. Найдите ток IHV в обмотке высшего напряжения.
S = 25 kVAV1 = 4800 VV2 = 240 V
IHV = A
16.ТрансформаторыСложная
Однофазный трансформатор 50 kVA имеет потери в стали 150 W. При номинальной нагрузке и коэффициенте мощности 0,8 (отстающий) его КПД равен 97%. Найдите потери в меди при номинальной нагрузке Pcu,fl в ваттах.
S = 50 kVAPcore = 150 Wpf = 0,8η = 97%
Pcu,fl = W
3Растворы
1.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR2 = 1,735 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 12 + 20 = 32 Ω
R2 ∥ 32 = 2·32/(2+32) = 1,882 Ω
Req = R1 + 1,882 = 3 + 1,882 = 4,882 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 9/4,882 = 1,843 A
Ток через R₂
Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 1,843·3 = 3,47 V
IR2 = VA/R2 = 3,47/2 = 1,735 A
Ответ
IR2 = 1,735 A
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR2 = 0,3392 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 10 + 30 = 40 Ω
R4 ∥ 40 = 6,667 Ω
R3 + 6,667 = 18,67 Ω
R2 ∥ 18,67 = 10,69 Ω
Req = R1 + 10,69 = 12 + 10,69 = 22,69 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 18/22,69 = 0,7934 A
Ток через R₂
Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 0,7934·12 = 8,479 V
IR2 = VA/R2 = 8,479/25 = 0,3392 A
Ответ
IR2 = 0,3392 A
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: IR1 = −0,8444 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Определите узлы
Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 6 V). Неизвестные: VA, VB.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.
VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/20 + (VA − 6)/15 + (VA − VB)/4 = 0
0,3667·VA − 0,25·VB = 0,4
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.
VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/8 + (VB − VA)/4 = 5
−0,25·VA + 0,375·VB = 5
Решите
Δ = (0,3667)(0,375) − (−0,25)(−0,25) = 0,075
VA = Δ1/Δ = 1,4/0,075 = 18,67 V
VB = Δ2/Δ = 1,933/0,075 = 25,78 V
Ответ
IR1 = (V1 − VA)/R1 = (6 − 18,67)/15 = −0,8444 A
4.Метод узловых потенциалов
Ответ: IR2 = −0,3464 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Определите узлы
Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 15 V, V2 = 6 V). Неизвестные: VA, VB.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.
VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/6 + (VA − 15)/3 + (VA − VB)/15 = 0
0,5667·VA − 0,06667·VB = 5
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 4·8/(4+8) = 2,667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,667 + 3 = 5,667 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 6·8/(4+8) = 4 V
Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина
Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.
IL = Vth/(Rth + RL) = 4/(5,667 + 8) = 0,2927 A
6.Тевенин и Нортон
Ответ: PL = 28,57 W
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 12·10/(12+10) = 5,455 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 5,455 + 8 = 13,45 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 13,64 + 2·5,455 = 24,55 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 24,55 + 2·8 = 40,55 V
Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина
Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.
IL = Vth/(Rth + RL) = 40,55/(13,45 + 8) = 1,89 A
PL = IL²·RL = 1,89²·8 = 28,57 W
7.Переходные процессы RC и RL
Ответ: vC = 2,921 V
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Эквивалентная схема Тевенина со стороны конденсатора
Закоротите источник, чтобы найти Rth; отключите конденсатор, чтобы найти напряжение, до которого он зарядится.
Rth = R1 ∥ R2 = 2,2·10/(2,2 + 10) = 1,803 kΩ
vC(∞) = 9·10/(2,2 + 10) = 7,377 V
Постоянная времени
τ = Rth·C = 1,803·220 = 396,7 ms
Кривая заряда
vC(t) = 7,377·(1 − e−200/396,7) = 2,921 V
Ответ
vC = 2,921 V
8.Переходные процессы RC и RL
Ответ: i = 2,748 A
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Начальное значение, конечное значение, постоянная времени
До t = 0 в контур входят оба резистора; после этого замкнутый ключ шунтирует R₂.
i(0) = 15/(5 + 22) = 0,5556 A
i(∞) = 15/5 = 3 A
τ = L/R = 22/5 = 4,4 ms
i(t) = 3 + (0,5556 − 3)·e−t/τ
Ток в заданный момент
i(10) = 3 + (−2,444)·e−10/4,4 = 2,748 A
Ответ
i = 2,748 A
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: C = 6,333 µF
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Условие резонанса
При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC).
ω₀ = 2π·200 = 1257 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(1257²·0,1) = 6,333 µF
Ответ
C = 6,333 µF
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: I = 0,1238 A
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивные сопротивления
ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0,02 = 25,13 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω
Полное сопротивление
При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).
Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.
I = V/|Z| = 10/80,76 = 0,1238 A
Ответ
I = 0,1238 A
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: Q = 12,35 kvar
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Угол
φ = arccos(0,75) = 41,41°, tan φ = 0,8819
Реактивная мощность
Q = P·tan φ = 14·0,8819 = 12,35 kvar
Ответ
Q = 12,35 kvar
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: ΔP = 55,6 kW
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность существующей нагрузки
Q1 = 37·tan(arccos 0,7) = 37,75 kvar
Наибольшая суммарная активная мощность
При полной нагрузке S = Smax, а Q от активной нагрузки не меняется.
P = √(Smax² − Q1²) = √(100² − 37,75²) = 92,6 kW
Дополнительная активная мощность
ΔP = 92,6 − 37 = 55,6 kW
Ответ
ΔP = 55,6 kW
13.Трёхфазная мощность
Ответ: IL = 26,43 A
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Потребляемая электрическая мощность
Pin = Pout/η = 15/0,94 = 15,96 kW
Ток линии
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 15957/(√3·415·0,84) = 26,43 A
Ответ
IL = 26,43 A
14.Трёхфазная мощность
Ответ: Cph = 410,5 µF
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 60·tan(acos 0,7) = 60·1,02 = 61,21 kvar
Q2 = 60·tan(acos 0,92) = 60·0,426 = 25,56 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 35,65 kvar
Ёмкость на фазу
В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.
Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.
Номинальный ток
Через обе обмотки передаётся одинаковая полная мощность.
IHV = S/V = 25000/4800 = 5,208 A
Ответ
IHV = 5,208 A
16.Трансформаторы
Ответ: Pcu,fl = 1087 W
Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.