Между узлом A и землёй включены три ветви, как показано на схеме. Методом узловых потенциалов найдите ток I1 в ветви 1, текущий вверх в узел A по направлению стрелки.
V1 = 24 VR1 = 5 ΩV2 = 12 VR2 = 8 ΩR3 = 20 Ω
I1 = A
4.Метод узловых потенциаловСложная
Используйте метод узловых потенциалов, чтобы найти ток IR1 через R1 в направлении стрелки.
Найдите сопротивление Тевенина Rth со стороны зажимов a–b.
V1 = 6 VR1 = 3 ΩR2 = 3 ΩR3 = 12 Ω
Rth = Ω
6.Тевенин и НортонСложная
Найдите ток Нортона IN: ток, текущий от a к b, если зажимы замкнуть накоротко.
V1 = 10 VIs = 1,5 AR1 = 30 ΩR2 = 6 ΩR3 = 30 Ω
IN = A
7.Переходные процессы RC и RLСредняя
До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите напряжение vL на катушке в момент t = 1 ms.
Vs = 6 VR = 47 ΩL = 68 mHt = 1 ms
vL = V
8.Переходные процессы RC и RLСложная
Таймер при t = 0 начинает заряжать незаряженный конденсатор через резистор от источника 5 V. Он должен сработать, когда напряжение конденсатора достигнет 3,16 V, ровно через 20 ms после старта. При C = 1 µF найдите необходимое сопротивление R.
Vs = 5 VVth = 3,16 VT = 20 msC = 1 µF
R = kΩ
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
Последовательная цепь RLC подключена к сети 10 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).
V = 10 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 47 µF
φ = °
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
Последовательная цепь RLC подключена к сети 50 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите действующее значение напряжения VC на конденсаторе.
V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 50 ΩL = 250 mHC = 100 µF
VC = V
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Однофазный двигатель потребляет 14 kW при коэффициенте мощности 0,85 (индуктивном) от сети 230 V. Найдите реактивную мощность Q, которую он потребляет.
P = 14 kWpf = 0,85V = 230 V
Q = kvar
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазная нагрузка потребляет 11 kW при коэффициенте мощности 0,75 (индуктивном) от сети 240 V, 60 Hz. Параллельно нагрузке подключён конденсатор 330 µF. Найдите новый ток линии I.
P = 11 kWpf1 = 0,75V = 240 Vf = 60 HzC = 330 µF
I = A
13.Трёхфазная мощностьСредняя
Симметричная нагрузка, соединённая треугольником, с полным сопротивлением 24 + j7 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 480 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.
VL = 480 VZ = 24 + j7 Ω на фазу
P = kW
14.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 50 kW при коэффициенте мощности 0,72 (отстающий) от сети 400 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,95 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.
P = 50 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,95VL = 400 Vf = 50 Hz
Cph = µF
15.ТрансформаторыСредняя
Усилитель с выходным сопротивлением 675 Ω питает громкоговоритель 75 Ω через идеальный трансформатор. Для передачи максимальной мощности громкоговоритель должен выглядеть со стороны усилителя как 675 Ω. Найдите коэффициент трансформации a = N₁/N₂.
Rs = 675 ΩRL = 75 Ω
a =
16.ТрансформаторыСложная
Однофазный трансформатор 150 kVA имеет потери в стали 1200 W. При номинальной нагрузке и коэффициенте мощности 0,8 (отстающий) его КПД равен 96,5%. Найдите потери в меди при номинальной нагрузке Pcu,fl в ваттах.
S = 150 kVAPcore = 1200 Wpf = 0,8η = 96,5%
Pcu,fl = W
3Растворы
1.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR2 = 0,8127 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 15 + 8 = 23 Ω
R2 ∥ 23 = 5·23/(5+23) = 4,107 Ω
Req = R1 + 4,107 = 6 + 4,107 = 10,11 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 10/10,11 = 0,9894 A
Ток через R₂
Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 10 − 0,9894·6 = 4,064 V
IR2 = VA/R2 = 4,064/5 = 0,8127 A
Ответ
IR2 = 0,8127 A
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: Req = 29,47 Ω
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 30 + 12 = 42 Ω
R4 ∥ 42 = 13,55 Ω
R3 + 13,55 = 17,55 Ω
R2 ∥ 17,55 = 4,471 Ω
Req = R1 + 4,471 = 25 + 4,471 = 29,47 Ω
Ответ
Req = 29,47 Ω
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: I1 = 1,44 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
Примите нижний провод за землю. Каждая ветвь проводит ток (VA − Vk)/Rk, вытекающий из A, где Vk — напряжение её источника (ноль для простого резистора). Сумма токов, вытекающих из A, равна нулю.
(VA − 24)/5 + (VA − 12)/8 + VA/20 = 0
Находим VA
VA = (24/5 + 12/8 + 0/20) / (1/5 + 1/8 + 1/20) = 6,3/0,375 = 16,8 V
Ток ветви
Стрелка направлена вверх по ветви, в узел A.
I1 = (24 − VA)/R1 = (24 − 16,8)/5 = 1,44 A
Ответ
I1 = 1,44 A
Отрицательный результат означает, что в действительности ток течёт против стрелки.
4.Метод узловых потенциалов
Ответ: IR1 = 2,752 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Определите узлы
Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 24 V, V2 = 6 V). Неизвестные: VA, VB.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.
VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/8 + (VA − 24)/3 + (VA − VB)/12 = 0
0,5417·VA − 0,08333·VB = 8
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 3·3/(3+3) = 1,5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,5 + 12 = 13,5 Ω
6.Тевенин и Нортон
Ответ: IN = 1,548 A
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 30·6/(30+6) = 5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 5 + 30 = 35 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1,667 + 1,5·5 = 9,167 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 9,167 + 1,5·30 = 54,17 V
Эквивалент Нортона
Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.
IN = Vth/Rth = 54,17/35 = 1,548 A
7.Переходные процессы RC и RL
Ответ: vL = 3,006 V
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени и конечный ток
Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.
τ = L/R = 68 mH / 47 Ω = 1,447 ms
i(∞) = Vs/R = 6/47 = 0,1277 A
Напряжение на катушке
В момент t = 0 всё напряжение питания приложено к катушке; затем оно спадает до нуля.
vL(t) = Vs·e−t/τ = 6·e−1/1,447 = 3,006 V
Ответ
vL = 3,006 V
8.Переходные процессы RC и RL
Ответ: R = 20,01 kΩ
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Требуемая постоянная времени
3,16 = 5·(1 − e−20/τ) → τ = 20/ln(5/(5 − 3,16))
τ = 20/0,9997 = 20,01 ms
Сопротивление
kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.
R = τ/C = 20,01/1 = 20,01 kΩ
Ответ
R = 20,01 kΩ
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: φ = −25,17 °
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивные сопротивления
ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0,05 = 18,85 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·47·10⁻⁶) = 56,44 Ω
Полное сопротивление
При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивные сопротивления
ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s
XL = ωL = 314,2·0,25 = 78,54 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314,2·100·10⁻⁶) = 31,83 Ω
Полное сопротивление
При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).
Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.
I = V/|Z| = 50/68,42 = 0,7307 A
Напряжение на конденсаторе
VC = I·XC = 0,7307·31,83 = 23,26 V
Ответ
VC = 23,26 V
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: Q = 8,676 kvar
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Угол
φ = arccos(0,85) = 31,79°, tan φ = 0,6197
Реактивная мощность
Q = P·tan φ = 14·0,6197 = 8,676 kvar
Ответ
Q = 8,676 kvar
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: I = 47,03 A
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.
Q1 = 11·tan(arccos 0,75) = 9,701 kvar
QC = V²·2πf·C = 240²·2π·60·330·10⁻⁶ = 7166 var = 7,166 kvar
Q2 = 9,701 − 7,166 = 2,535 kvar
Новая полная мощность
S2 = √(11² + 2,535²) = 11,29 kVA
Новый ток линии
I = S2/V = 11288/240 = 47,03 A
Ответ
I = 47,03 A
13.Трёхфазная мощность
Ответ: P = 26,54 kW
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Фазное напряжение
Vph = VL = 480 V
Фазный ток
|Z| = √(24² + 7²) = 25 Ω
Iph = 480/25 = 19,2 A
Полная активная мощность
Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.
P = 3·Iph²·R = 3·19,2²·24 = 26,54 kW
Ответ
P = 26,54 kW
Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,96, и √3·VL·IL·cos φ даёт ту же мощность.
14.Трёхфазная мощность
Ответ: Cph = 210,6 µF
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 50·tan(acos 0,72) = 50·0,9639 = 48,19 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0,95) = 50·0,3287 = 16,43 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 31,76 kvar
Ёмкость на фазу
В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.
Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.
Согласуйте приведённую нагрузку
a²·75 = 675
a = √(675/75) = √9 = 3
Ответ
a = 3
16.Трансформаторы
Ответ: Pcu,fl = 3152 W
Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.