Ромб — это источник тока, управляемый напряжением, который направляет ток 0,05·VA (в A при VA в V) вверх в узел B. Методом узловых потенциалов найдите узловое напряжение VB (относительно земли).
Найдите ток Нортона IN: ток, текущий от a к b, если зажимы замкнуть накоротко.
V1 = 9 VR1 = 3 ΩR2 = 6 ΩR3 = 6 Ω
IN = A
6.Тевенин и НортонСложная
Найдите напряжение Тевенина Vth со стороны зажимов a–b.
V1 = 5 VIs = 6 AR1 = 6 ΩR2 = 8 ΩR3 = 8 Ω
Vth = V
7.Переходные процессы RC и RLСредняя
До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите ток i в момент t = 10 ms.
Vs = 9 VR = 20 ΩL = 220 mHt = 10 ms
i = A
8.Переходные процессы RC и RLСложная
Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 18 V с указанной полярностью. Через какое время vC достигнет 22,2 V? Найдите t.
Vs = 24 VR = 6,8 kΩC = 22 µFvC(0) = 18 V
t = ms
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
Последовательная цепь RLC подключена к сети 10 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите действующее значение тока I.
V = 10 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩL = 100 mHC = 10 µF
I = A
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
Последовательный RLC-контур питается от источника 1 V (действующее значение), частота которого равна резонансной частоте контура. Найдите действующее напряжение VL на катушке.
V = 1 V (rms)R = 5 ΩL = 50 mHC = 4,7 µF
VL = V
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Индуктивная нагрузка потребляет 15,5 A и 1302 W от однофазной сети 120 V (действующее значение). Представьте её как сопротивление R, соединённое последовательно с реактивным сопротивлением X. Найдите R.
V = 120 VI = 15,5 AP = 1302 W
R = Ω
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазная нагрузка потребляет 50 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном) от сети 240 V, 50 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,92. Найдите новый ток линии Inew.
P = 50 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,92V = 240 Vf = 50 Hz
Inew = A
13.Трёхфазная мощностьСредняя
Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 18,5 kW. При этой нагрузке его КПД равен 88%, а коэффициент мощности 0,86 (отстающий). Линейное напряжение сети 690 V. Найдите линейный ток IL.
Pout = 18,5 kWη = 88%cos φ = 0,86VL = 690 V
IL = A
14.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 100 kW при коэффициенте мощности 0,75 (отстающий) от сети 480 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,92 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность QC, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.
P = 100 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,92VL = 480 Vf = 50 Hz
QC = kvar
15.ТрансформаторыСредняя
К вторичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 12:1 подключён резистор 2 Ω. Найдите сопротивление R1′ со стороны первичной обмотки.
N1:N2 = 12:1RL = 2 Ω
R1′ = Ω
16.ТрансформаторыСложная
Однофазный трансформатор 25 kVA имеет потери в стали 125 W и потери в меди 250 W при номинальной нагрузке. При какой нагрузке Sη,max, в kVA, его КПД максимален?
S = 25 kVAPcore = 125 WPcu,fl = 250 W
Sη,max = kVA
3Растворы
1.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: Req = 20,75 Ω
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 6 + 15 = 21 Ω
R2 ∥ 21 = 15·21/(15+21) = 8,75 Ω
Req = R1 + 8,75 = 12 + 8,75 = 20,75 Ω
Ответ
Req = 20,75 Ω
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR2 = 1,205 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 5 + 4 = 9 Ω
R4 ∥ 9 = 6,618 Ω
R3 + 6,618 = 31,62 Ω
R2 ∥ 31,62 = 12,25 Ω
Req = R1 + 12,25 = 3 + 12,25 = 15,25 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 30/15,25 = 1,967 A
Ток через R₂
Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 1,967·3 = 24,1 V
IR2 = VA/R2 = 24,1/20 = 1,205 A
Ответ
IR2 = 1,205 A
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: VA = 5,381 V
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Определите узлы
Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 12 V). Неизвестные: VA, VB.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.
VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/6 + (VA − 12)/4 + (VA − VB)/12 = 0
0,5·VA − 0,08333·VB = 3
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.
VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/5 + (VB − VA)/12 = (−1,5)
−0,08333·VA + 0,2833·VB = −1,5
Решите
Δ = (0,5)(0,2833) − (−0,08333)(−0,08333) = 0,1347
VA = Δ1/Δ = 0,725/0,1347 = 5,381 V
VB = Δ2/Δ = −0,5/0,1347 = −3,711 V
Ответ
VA = 5,381 V
4.Метод узловых потенциалов
Ответ: VB = 0,375 V
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники направляют в A.
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
0,6667·VA − 0,08333·VB = 0,5
ЗТК в узле B
Зависимый источник направляет ток g·VA в узел B. Рассматривайте его как независимый источник, а затем перенесите член с VA в левую часть.
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 3·6/(3+6) = 2 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2 + 6 = 8 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 9·6/(3+6) = 6 V
Эквивалент Нортона
Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.
IN = Vth/Rth = 6/8 = 0,75 A
6.Тевенин и Нортон
Ответ: Vth = 71,43 V
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 6·8/(6+8) = 3,429 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,429 + 8 = 11,43 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 2,857 + 6·3,429 = 23,43 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 23,43 + 6·8 = 71,43 V
7.Переходные процессы RC и RL
Ответ: i = 0,2687 A
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени и конечный ток
Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Начальное значение, конечное значение, постоянная времени
Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.
t = τ·ln((18 − 24)/(22,2 − 24)) = 149,6·ln(3,333) = 180,1 ms
Ответ
t = 180,1 ms
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: I = 0,03358 A
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивные сопротивления
ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s
XL = ωL = 314,2·0,1 = 31,42 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314,2·10·10⁻⁶) = 318,3 Ω
Полное сопротивление
При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).
Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.
I = V/|Z| = 10/297,8 = 0,03358 A
Ответ
I = 0,03358 A
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: VL = 20,63 V
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Резонанс
При резонансе реактивные сопротивления компенсируются, поэтому полное сопротивление равно просто R.
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,05·4,7·10⁻⁶) = 2063 rad/s
I = V/R = 1/5 = 0,2 A
Напряжение на катушке
XL = ω₀L = 2063·0,05 = 103,1 Ω
VL = I·XL = 0,2·103,1 = 20,63 V
Ответ
VL = 20,63 V
Это в Q = 20,63 раз больше напряжения источника.
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: R = 5,419 Ω
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Сопротивление по активной мощности
R = P/I² = 1302/15,5² = 5,419 Ω
Ответ
R = 5,419 Ω
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: Inew = 226,4 A
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.
Q1 = P·tan φ1 = 50·tan(36,87°) = 37,5 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 50·tan(23,07°) = 21,3 kvar
QC = Q1 − Q2 = 16,2 kvar
Новый ток линии
Inew = P/(V·cos φ2) = 50000/(240·0,92) = 226,4 A
Ответ
Inew = 226,4 A
13.Трёхфазная мощность
Ответ: IL = 20,45 A
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Потребляемая электрическая мощность
Pin = Pout/η = 18,5/0,88 = 21,02 kW
Ток линии
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 21023/(√3·690·0,86) = 20,45 A
Ответ
IL = 20,45 A
14.Трёхфазная мощность
Ответ: QC = 45,59 kvar
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 100·tan(acos 0,75) = 100·0,8819 = 88,19 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0,92) = 100·0,426 = 42,6 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 45,59 kvar
Ответ
QC = 45,59 kvar
15.Трансформаторы
Ответ: R1′ = 288 Ω
Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.
Приведённое сопротивление
Напряжение растёт в a раз, а ток уменьшается в a раз, поэтому отношение V/I растёт в a² раз.
R1′ = a²·RL = 12²·2 = 288 Ω
Ответ
R1′ = 288 Ω
16.Трансформаторы
Ответ: Sη,max = 17,68 kVA
Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.