Между узлом A и землёй включены три ветви, как показано на схеме. Методом узловых потенциалов найдите ток I2 в ветви 2, текущий вверх в узел A по направлению стрелки.
Ромб — это источник тока, управляемый напряжением, который направляет ток 0,05·VA (в A при VA в V) вверх в узел B. Методом узловых потенциалов найдите ток IR4 через R4 в направлении стрелки.
Найдите напряжение Тевенина Vth со стороны зажимов a–b.
V1 = 9 VR1 = 20 ΩR2 = 4 ΩR3 = 15 Ω
Vth = V
6.Тевенин и НортонСложная
Найдите ток Нортона IN: ток, текущий от a к b, если зажимы замкнуть накоротко.
V1 = 18 VIs = 6 AR1 = 15 ΩR2 = 6 ΩR3 = 4 Ω
IN = A
7.Переходные процессы RC и RLСредняя
До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите ток i в момент t = 1 ms.
Vs = 20 VR = 20 ΩL = 22 mHt = 1 ms
i = A
8.Переходные процессы RC и RLСложная
Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 8 V с указанной полярностью. Через какое время vC достигнет 20,8 V? Найдите t.
Vs = 24 VR = 6,8 kΩC = 33 µFvC(0) = 8 V
t = ms
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
Последовательная цепь RLC подключена к сети 100 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).
V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 25 ΩL = 150 mHC = 47 µF
φ = °
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
Последовательный RLC-контур питается от источника 2 V (действующее значение), частота которого равна резонансной частоте контура. Найдите действующее напряжение VL на катушке.
V = 2 V (rms)R = 20 ΩL = 20 mHC = 0,1 µF
VL = V
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
К однофазной сети 240 V параллельно подключены две нагрузки: нагрузка 7 kW при коэффициенте мощности 0,7 (индуктивном) и нагрузка 3 kW при коэффициенте мощности 0,7 (ёмкостном). Найдите общий коэффициент мощности cos φ со стороны сети.
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазная нагрузка потребляет 13 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном) от сети 230 V, 60 Hz. Параллельно нагрузке подключён конденсатор 220 µF. Найдите новый коэффициент мощности cos φ со стороны сети.
P = 13 kWpf1 = 0,65V = 230 Vf = 60 HzC = 220 µF
cos φ =
13.Трёхфазная мощностьСредняя
Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 22 kW. При этой нагрузке его КПД равен 88%, а коэффициент мощности 0,88 (отстающий). Линейное напряжение сети 690 V. Найдите линейный ток IL.
Pout = 22 kWη = 88%cos φ = 0,88VL = 690 V
IL = A
14.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 100 kW при коэффициенте мощности 0,65 (отстающий) от сети 480 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,98 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.
P = 100 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,98VL = 480 Vf = 50 Hz
Cph = µF
15.ТрансформаторыСредняя
Однофазный трансформатор 10 kVA, 4160/480 V работает при номинальной нагрузке. Считайте его идеальным. Найдите ток IHV в обмотке высшего напряжения.
S = 10 kVAV1 = 4160 VV2 = 480 V
IHV = A
16.ТрансформаторыСложная
Однофазный трансформатор 50 kVA имеет потери в стали 400 W и потери в меди 1200 W при номинальной нагрузке. Он отдаёт 50% номинальной мощности в kVA при коэффициенте мощности 0,85 (отстающий). Найдите суммарные потери Ploss в ваттах при этой нагрузке.
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 20 + 20 = 40 Ω
R2 ∥ 40 = 8·40/(8+40) = 6,667 Ω
Req = R1 + 6,667 = 4 + 6,667 = 10,67 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 24/10,67 = 2,25 A
Ток через R₂
Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 2,25·4 = 15 V
IR2 = VA/R2 = 15/8 = 1,875 A
Ответ
IR2 = 1,875 A
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR2 = 0,3714 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 10 + 20 = 30 Ω
R4 ∥ 30 = 8,571 Ω
R3 + 8,571 = 18,57 Ω
R2 ∥ 18,57 = 3,291 Ω
Req = R1 + 3,291 = 10 + 3,291 = 13,29 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 6/13,29 = 0,4514 A
Ток через R₂
Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 6 − 0,4514·10 = 1,486 V
IR2 = VA/R2 = 1,486/4 = 0,3714 A
Ответ
IR2 = 0,3714 A
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: I2 = 0,4592 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
Примите нижний провод за землю. Каждая ветвь проводит ток (VA − Vk)/Rk, вытекающий из A, где Vk — напряжение её источника (ноль для простого резистора). Сумма токов, вытекающих из A, равна нулю.
(VA − 15)/2 + (VA − 18)/4 + (VA − 18)/15 = 0
Находим VA
VA = (15/2 + 18/4 + 18/15) / (1/2 + 1/4 + 1/15) = 13,2/0,8167 = 16,16 V
Ток ветви
Стрелка направлена вверх по ветви, в узел A.
I2 = (18 − VA)/R2 = (18 − 16,16)/4 = 0,4592 A
Ответ
I2 = 0,4592 A
Отрицательный результат означает, что в действительности ток течёт против стрелки.
4.Метод узловых потенциалов
Ответ: IR4 = 2,788 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники направляют в A.
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
0,5733·VA − 0,2·VB = 10
ЗТК в узле B
Зависимый источник направляет ток g·VA в узел B. Рассматривайте его как независимый источник, а затем перенесите член с VA в левую часть.
(VB − VA)/R3 + VB/R4 = 0,05·VA
−0,25·VA + 0,4·VB = 0
Решите
Δ = (0,5733)(0,4) − (−0,2)(−0,25) = 0,1793
VA = Δ1/Δ = 4/0,1793 = 22,3 V
VB = Δ2/Δ = 2,5/0,1793 = 13,94 V
Ток через R₄
IR4 = VB/R4 = 13,94/5 = 2,788 A
Ответ
IR4 = 2,788 A
5.Тевенин и Нортон
Ответ: Vth = 1,5 V
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 20·4/(20+4) = 3,333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,333 + 15 = 18,33 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 9·4/(20+4) = 1,5 V
6.Тевенин и Нортон
Ответ: IN = 6,621 A
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 15·6/(15+6) = 4,286 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4,286 + 4 = 8,286 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 5,143 + 6·4,286 = 30,86 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 30,86 + 6·4 = 54,86 V
Эквивалент Нортона
Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.
IN = Vth/Rth = 54,86/8,286 = 6,621 A
7.Переходные процессы RC и RL
Ответ: i = 0,5971 A
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени и конечный ток
Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Начальное значение, конечное значение, постоянная времени
Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.
t = τ·ln((8 − 24)/(20,8 − 24)) = 224,4·ln(5) = 361,2 ms
Ответ
t = 361,2 ms
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: φ = 81,71 °
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивные сопротивления
ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0,15 = 188,5 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·47·10⁻⁶) = 16,93 Ω
Полное сопротивление
При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Резонанс
При резонансе реактивные сопротивления компенсируются, поэтому полное сопротивление равно просто R.
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,02·0,1·10⁻⁶) = 22361 rad/s
I = V/R = 2/20 = 0,1 A
Напряжение на катушке
XL = ω₀L = 22361·0,02 = 447,2 Ω
VL = I·XL = 0,1·447,2 = 44,72 V
Ответ
VL = 44,72 V
Это в Q = 22,36 раз больше напряжения источника.
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: cos φ = 0,9259
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность каждой нагрузки
Индуктивная нагрузка потребляет реактивную мощность (Q > 0); ёмкостная — отдаёт её (Q < 0).
Q1 = 7·tan(arccos 0,7) = 7,141 kvar
Q2 = −3·tan(arccos 0,7) = −3,061 kvar
Суммы
P = 7 + 3 = 10 kW
Q = 7,141 + (−3,061) = 4,081 kvar
S = √(10² + 4,081²) = 10,8 kVA
Общий коэффициент мощности
cos φ = P/S = 10/10,8 = 0,9259 отстающий
Ответ
cos φ = 0,9259
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: cos φ = 0,7689
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.
Q1 = 13·tan(arccos 0,65) = 15,2 kvar
QC = V²·2πf·C = 230²·2π·60·220·10⁻⁶ = 4387 var = 4,387 kvar
Q2 = 15,2 − 4,387 = 10,81 kvar
Новая полная мощность
S2 = √(13² + 10,81²) = 16,91 kVA
Новый коэффициент мощности
cos φ = P/S2 = 13/16,91 = 0,7689
Ответ
cos φ = 0,7689
13.Трёхфазная мощность
Ответ: IL = 23,77 A
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Потребляемая электрическая мощность
Pin = Pout/η = 22/0,88 = 25 kW
Ток линии
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 25000/(√3·690·0,88) = 23,77 A
Ответ
IL = 23,77 A
14.Трёхфазная мощность
Ответ: Cph = 1335 µF
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 100·tan(acos 0,65) = 100·1,169 = 116,9 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0,98) = 100·0,2031 = 20,31 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 96,61 kvar
Ёмкость на фазу
В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.
Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.
Номинальный ток
Через обе обмотки передаётся одинаковая полная мощность.
IHV = S/V = 10000/4160 = 2,404 A
Ответ
IHV = 2,404 A
16.Трансформаторы
Ответ: Ploss = 700 W
Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.