Ромб — это источник тока, управляемый напряжением, который направляет ток 0,25·VA (в A при VA в V) вверх в узел B. Методом узловых потенциалов найдите ток IR4 через R4 в направлении стрелки.
Найдите ток Нортона IN: ток, текущий от a к b, если зажимы замкнуть накоротко.
V1 = 12 VR1 = 3 ΩR2 = 5 ΩR3 = 10 Ω
IN = A
6.Тевенин и НортонСложная
Найдите напряжение Тевенина Vth со стороны зажимов a–b.
V1 = 9 VIs = 1,5 AR1 = 5 ΩR2 = 15 ΩR3 = 5 Ω
Vth = V
7.Переходные процессы RC и RLСредняя
До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Через какое время после замыкания ключа ток достигнет 80% конечного значения? Найдите t.
Vs = 9 VR = 47 ΩL = 68 mH
t = ms
8.Переходные процессы RC и RLСложная
Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 15 V с указанной полярностью. Через какое время vC достигнет 12,5 V? Найдите t.
Vs = 10 VR = 10 kΩC = 68 µFvC(0) = 15 V
t = ms
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
Резистор и конденсатор включены параллельно в сеть 50 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).
V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 100 ΩC = 10 µF
φ = °
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
Последовательный RLC-контур питается от источника 24 V (действующее значение), частота которого равна резонансной частоте контура. Найдите действующее напряжение VL на катушке.
V = 24 V (rms)R = 50 ΩL = 100 mHC = 10 µF
VL = V
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Однофазный двигатель потребляет 31 kW при коэффициенте мощности 0,9 (индуктивном) от сети 400 V. Найдите реактивную мощность Q, которую он потребляет.
P = 31 kWpf = 0,9V = 400 V
Q = kvar
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазная нагрузка потребляет 20 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном) от сети 400 V, 60 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,92. Найдите новый ток линии Inew.
P = 20 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,92V = 400 Vf = 60 Hz
Inew = A
13.Трёхфазная мощностьСредняя
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет линейный ток 40 A от сети с линейным напряжением 400 V. Коэффициент мощности 0,9 (отстающий). Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.
VL = 400 VIL = 40 Acos φ = 0,9
P = kW
14.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 75 kW при коэффициенте мощности 0,78 (отстающий) от сети 400 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,92 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.
P = 75 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,92VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF
15.ТрансформаторыСредняя
К первичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 10:1 приложено 1200 V. К вторичной обмотке подключён резистор 8 Ω. Найдите первичный ток I1.
N1:N2 = 10:1V1 = 1200 VRL = 8 Ω
I1 = A
16.ТрансформаторыСложная
Однофазный трансформатор 150 kVA имеет потери в стали 600 W и потери в меди 1200 W при номинальной нагрузке. Он отдаёт 50% номинальной мощности в kVA при коэффициенте мощности 0,9 (отстающий). Найдите суммарные потери Ploss в ваттах при этой нагрузке.
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 20 + 12 = 32 Ω
R2 ∥ 32 = 5·32/(5+32) = 4,324 Ω
Req = R1 + 4,324 = 5 + 4,324 = 9,324 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 6/9,324 = 0,6435 A
Ток через R₂
Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 6 − 0,6435·5 = 2,783 V
IR2 = VA/R2 = 2,783/5 = 0,5565 A
Ответ
IR2 = 0,5565 A
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR1 = 2,146 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 25 + 15 = 40 Ω
R4 ∥ 40 = 6,667 Ω
R3 + 6,667 = 11,67 Ω
R2 ∥ 11,67 = 2,386 Ω
Req = R1 + 2,386 = 6 + 2,386 = 8,386 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 18/8,386 = 2,146 A
Ответ
IR1 = 2,146 A
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: VA = 1 V
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Определите узлы
Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 9 V). Неизвестные: VA, VB.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.
VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/12 + (VA − 9)/8 + (VA − VB)/10 = 0
0,3083·VA − 0,1·VB = 1,125
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.
VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/2 + (VB − VA)/10 = (−5)
−0,1·VA + 0,6·VB = −5
Решите
Δ = (0,3083)(0,6) − (−0,1)(−0,1) = 0,175
VA = Δ1/Δ = 0,175/0,175 = 1 V
VB = Δ2/Δ = −1,429/0,175 = −8,167 V
Ответ
VA = 1 V
4.Метод узловых потенциалов
Ответ: IR4 = 1,901 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники направляют в A.
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
0,35·VA − 0,05·VB = 2,25
ЗТК в узле B
Зависимый источник направляет ток g·VA в узел B. Рассматривайте его как независимый источник, а затем перенесите член с VA в левую часть.
(VB − VA)/R3 + VB/R4 = 0,25·VA
−0,3·VA + 0,55·VB = 0
Решите
Δ = (0,35)(0,55) − (−0,05)(−0,3) = 0,1775
VA = Δ1/Δ = 1,238/0,1775 = 6,972 V
VB = Δ2/Δ = 0,675/0,1775 = 3,803 V
Ток через R₄
IR4 = VB/R4 = 3,803/2 = 1,901 A
Ответ
IR4 = 1,901 A
5.Тевенин и Нортон
Ответ: IN = 0,6316 A
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 3·5/(3+5) = 1,875 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,875 + 10 = 11,88 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 12·5/(3+5) = 7,5 V
Эквивалент Нортона
Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.
IN = Vth/Rth = 7,5/11,88 = 0,6316 A
6.Тевенин и Нортон
Ответ: Vth = 19,88 V
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 5·15/(5+15) = 3,75 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,75 + 5 = 8,75 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 6,75 + 1,5·3,75 = 12,38 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 12,38 + 1,5·5 = 19,88 V
7.Переходные процессы RC и RL
Ответ: t = 2,329 ms
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени и конечный ток
Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.
τ = L/R = 68 mH / 47 Ω = 1,447 ms
i(∞) = Vs/R = 9/47 = 0,1915 A
Выразите время
0,8 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,8)
t = −1,447·ln(0,2) = 2,329 ms
Ответ
t = 2,329 ms
8.Переходные процессы RC и RL
Ответ: t = 471,3 ms
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Начальное значение, конечное значение, постоянная времени
Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.
t = τ·ln((15 − 10)/(12,5 − 10)) = 680·ln(2) = 471,3 ms
Ответ
t = 471,3 ms
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: φ = −32,14 °
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивное сопротивление
XC = 1/(ωC) = 1/(2π·100·10·10⁻⁶) = 159,2 Ω
Токи ветвей
Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.
IR = V/R = 50/100 = 0,5 A
IX = V/XC = 50/159,2 = 0,3142 A
Общий ток
Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.
I = √(IR² + IX²) = √(0,5² + 0,3142²) = 0,5905 A
Угол сдвига фаз
Ток конденсатора опережает V, поэтому общий ток опережает и угол отрицателен.
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Резонанс
При резонансе реактивные сопротивления компенсируются, поэтому полное сопротивление равно просто R.
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,1·10·10⁻⁶) = 1000 rad/s
I = V/R = 24/50 = 0,48 A
Напряжение на катушке
XL = ω₀L = 1000·0,1 = 100 Ω
VL = I·XL = 0,48·100 = 48 V
Ответ
VL = 48 V
Это в Q = 2 раз больше напряжения источника.
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: Q = 15,01 kvar
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Угол
φ = arccos(0,9) = 25,84°, tan φ = 0,4843
Реактивная мощность
Q = P·tan φ = 31·0,4843 = 15,01 kvar
Ответ
Q = 15,01 kvar
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: Inew = 54,35 A
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.
Q1 = P·tan φ1 = 20·tan(49,46°) = 23,38 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 20·tan(23,07°) = 8,52 kvar
QC = Q1 − Q2 = 14,86 kvar
Новый ток линии
Inew = P/(V·cos φ2) = 20000/(400·0,92) = 54,35 A
Ответ
Inew = 54,35 A
13.Трёхфазная мощность
Ответ: P = 24,94 kW
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Полная мощность
S = √3·VL·IL = √3·400·40 = 27,71 kVA
Активная мощность
P = S·cos φ = 27,71·0,9 = 24,94 kW
Ответ
P = 24,94 kW
14.Трёхфазная мощность
Ответ: Cph = 467,9 µF
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 75·tan(acos 0,78) = 75·0,8023 = 60,17 kvar
Q2 = 75·tan(acos 0,92) = 75·0,426 = 31,95 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 28,22 kvar
Ёмкость на фазу
В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.
Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.
Вторичные напряжение и ток
V2 = 1200/10 = 120 V
I2 = 120/8 = 15 A
Первичный ток
Идеальный трансформатор не имеет потерь: V₁·I₁ = V₂·I₂.
I1 = I2/10 = 1,5 A
Ответ
I1 = 1,5 A
Проверка: нагрузка со стороны первичной обмотки равна a²·RL = 800 Ω, и 1200/800 даёт тот же ток.
16.Трансформаторы
Ответ: Ploss = 900 W
Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.