Основы электротехники: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов
Req = R1 + R2 + …
Параллельное соединение резисторов
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два параллельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Мощность
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
  2. Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. После каждого шага перерисовывайте схему.
  4. Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Метод узловых потенциалов

Закон токов Кирхгофа
ΣIin = ΣIout
Ток ветви
I = (Va − Vb)/R
Опорный узел
Vground = 0

Метод

  1. Выберите опорный узел (землю) и обозначьте потенциалы остальных узлов.
  2. Запишите первый закон Кирхгофа для каждого неизвестного узла: сумма токов, вытекающих по ветвям, равна сумме втекающих.
  3. Выразите ток каждой ветви как (Va − Vb)/R.
  4. Решите систему уравнений, затем найдите нужные токи.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина
Vth = Vopen circuit
Сопротивление Тевенина
Rth: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона
IN = Vth/Rth
Ток нагрузки
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальной мощности
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Метод

  1. Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
  2. Найдите напряжение холостого хода между a и b: это Vth.
  3. Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это Rth.
  4. Верните нагрузку в эквивалентную схему: Vth последовательно с Rth.
  5. Для эквивалента Нортона преобразуйте: IN = Vth/Rth, с RN = Rth параллельно.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени
τ = RC | τ = L/R
Отклик
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постоянном токе
разрыв; vC не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе
короткое замыкание; iL не может измениться скачком
Установившийся режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
  2. Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
  3. Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
  4. Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Угловая частота
ω = 2πf
Модуль и угол
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме
V = I·Z

Метод

  1. Переведите частоту: ω = 2πf.
  2. Найдите каждое реактивное сопротивление: XL = ωL и XC = 1/(ωC).
  3. Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
  4. Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность
P = V·I·cos φ
Реактивная мощность
Q = V·I·sin φ
Полная мощность
S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности
pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Соединение треугольником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Полная активная мощность
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Полная и реактивная мощность
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе
Δ: VL Y: VL/√3
Потребляемая мощность двигателя
Pin = Pout/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации
a = N1/N2 = V1/V2
Отношение токов
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Номинальный ток
I = S/V
Приведённое сопротивление
Z1′ = a²·ZL
Потери в меди при неполной нагрузке
Pcu = x²·Pcu,fl
КПД
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Максимальный КПД
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2Тренировочные задачи

1.Последовательные и параллельные резисторыСредняя
R1​ = 4 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​30 VR2​10 ΩIR2​AR4​8 ΩB

Найдите ток IR2 через R2.

V1 = 30 VR1 = 4 ΩR2 = 10 ΩR3 = 10 ΩR4 = 8 Ω
IR2 = A
2.Последовательные и параллельные резисторыСложная
R1​ = 12 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​15 VR2​3 ΩIR2​AR4​10 ΩBR6​8 Ω

Найдите ток IR2 через R2.

V1 = 15 VR1 = 12 ΩR2 = 3 ΩR3 = 25 ΩR4 = 10 ΩR5 = 8 ΩR6 = 8 Ω
IR2 = A
3.Метод узловых потенциаловСредняя
R1​ = 4 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​24 VR2​12 ΩAR4​12 ΩBIs​2 A

Методом узловых потенциалов найдите мощность PIs, отдаваемую источником тока Is.

V1 = 24 VIs = 2 AR1 = 4 ΩR2 = 12 ΩR3 = 20 ΩR4 = 12 Ω
PIs = W
4.Метод узловых потенциаловСложная
R1​ = 5 ΩR2​ = 6 ΩIR2​R4​ = 12 Ω+−V1​5 VR3​20 ΩAR5​30 ΩBIs​1 A+−V2​12 V

Используйте метод узловых потенциалов, чтобы найти ток IR2 через R2 в направлении стрелки.

V1 = 5 VIs = 1 AV2 = 12 VR1 = 5 ΩR2 = 6 ΩR3 = 20 ΩR4 = 12 ΩR5 = 30 Ω
IR2 = A
5.Тевенин и НортонСредняя
R1​ = 20 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​15 VR2​2 ΩAab

Найдите напряжение Тевенина Vth со стороны зажимов a–b.

V1 = 15 VR1 = 20 ΩR2 = 2 ΩR3 = 2 Ω
Vth = V
6.Тевенин и НортонСложная
R1​ = 25 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​18 VR2​4 ΩAIs​2,5 ABRL​2 ΩIL​

К a–b подключена нагрузка RL = 2 Ω. Замените остальную цепь эквивалентом Тевенина и найдите ток нагрузки IL.

V1 = 18 VIs = 2,5 AR1 = 25 ΩR2 = 4 ΩR3 = 3 ΩRL = 2 Ω
IL = A
7.Переходные процессы RC и RLСредняя
+−Vs​9 Vt = 0R = 20 ΩL10 mHi(t)

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите ток i в момент t = 1 ms.

Vs = 9 VR = 20 ΩL = 10 mHt = 1 ms
i = A
8.Переходные процессы RC и RLСложная
+−Vs​9 Vt = 0R = 4,7 kΩC100 µF+−vC​vC​(0) = 8 V

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 8 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе vC в момент t = 400 ms.

Vs = 9 VR = 4,7 kΩC = 100 µFvC(0) = 8 Vt = 400 ms
vC = V
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
12 V500 HzR = 80 ΩL = 250 mHC = 22 µFI

Последовательная цепь RLC подключена к сети 12 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите коэффициент мощности cos φ цепи.

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 250 mHC = 22 µF
cos φ =
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
100 V200 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 22 µFI

Последовательная цепь RLC подключена к сети 100 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 22 µF
I = A
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
120 VR + jXP = 630 W10,5 A

Индуктивная нагрузка потребляет 10,5 A и 630 W от однофазной сети 120 V (действующее значение). Представьте её как сопротивление R, соединённое последовательно с реактивным сопротивлением X. Найдите R.

V = 120 VI = 10,5 AP = 630 W
R = Ω
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
P = 40 kWQ1​S1​φ1​QC​

Однофазная нагрузка потребляет 40 kW при коэффициенте мощности 0,7 (индуктивном) от сети 400 V, 60 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,9. Найдите необходимую ёмкость C.

P = 40 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,9V = 400 Vf = 60 Hz
C = µF
13.Трёхфазная мощностьСредняя
ABCVL​ = 400 VZ = 20 + j15 Ωна фазу

Симметричная нагрузка, соединённая треугольником, с полным сопротивлением 20 + j15 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 400 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

VL = 400 VZ = 20 + j15 Ω на фазу
P = kW
14.Трёхфазная мощностьСложная
P = 75 kWφ1​S1​Q2​QC​

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 75 kW при коэффициенте мощности 0,72 (отстающий) от сети 415 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,98 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.

P = 75 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,98VL = 415 Vf = 50 Hz
Cph = µF
15.ТрансформаторыСредняя
4 ΩN1​N2​256 Ω

Усилитель с выходным сопротивлением 256 Ω питает громкоговоритель 4 Ω через идеальный трансформатор. Для передачи максимальной мощности громкоговоритель должен выглядеть со стороны усилителя как 256 Ω. Найдите коэффициент трансформации a = N₁/N₂.

Rs = 256 ΩRL = 4 Ω
a =
16.ТрансформаторыСложная
pf 0,9500 kVA, 75% нагрузка

Однофазный трансформатор 500 kVA имеет потери в стали 3000 W и потери в меди 6000 W при номинальной нагрузке. Он отдаёт 75% номинальной мощности в kVA при коэффициенте мощности 0,9 (отстающий). Найдите суммарные потери Ploss в ваттах при этой нагрузке.

S = 500 kVAPcore = 3000 WPcu,fl = 6000 Wx = 0,75pf = 0,9
Ploss = W

3Растворы

1.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR2 = 1,849 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 4 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​30 VR2​10 ΩAR4​8 ΩB

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R3 + R4 = 10 + 8 = 18 Ω
R2 ∥ 18 = 10·18/(10+18) = 6,429 Ω
Req = R1 + 6,429 = 4 + 6,429 = 10,43 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 30/10,43 = 2,877 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 2,877·4 = 18,49 V
IR2 = VA/R2 = 18,49/10 = 1,849 A

Ответ

IR2 = 1,849 A
2.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR2 = 0,9285 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 12 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​15 VR2​3 ΩAR4​10 ΩBR6​8 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R5 + R6 = 8 + 8 = 16 Ω
R4 ∥ 16 = 6,154 Ω
R3 + 6,154 = 31,15 Ω
R2 ∥ 31,15 = 2,736 Ω
Req = R1 + 2,736 = 12 + 2,736 = 14,74 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 15/14,74 = 1,018 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 15 − 1,018·12 = 2,785 V
IR2 = VA/R2 = 2,785/3 = 0,9285 A

Ответ

IR2 = 0,9285 A
3.Метод узловых потенциалов

Ответ: PIs = 43,89 W

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

ЗТК в узле A

Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/12 + (VA − 24)/4 + (VA − VB)/20 = 0
0,3833·VA − 0,05·VB = 6

ЗТК в узле B

Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/12 + (VB − VA)/20 = 2
−0,05·VA + 0,1333·VB = 2

Решите

Δ = (0,3833)(0,1333) − (−0,05)(−0,05) = 0,04861
VA = Δ1/Δ = 0,9/0,04861 = 18,51 V
VB = Δ2/Δ = 1,067/0,04861 = 21,94 V

Мощность, отдаваемая источником тока

Источник направляет ток Iₛ вверх в узел B, от земли (0 V) к VB. Источник, ток которого выходит из его вывода +, отдаёт мощность P = V·I.

PIs = VB·Is = 21,94·2 = 43,89 W

Ответ

PIs = 43,89 W
4.Метод узловых потенциалов

Ответ: IR2 = −0,7077 A

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

R1​ = 5 ΩR2​ = 6 ΩR4​ = 12 Ω+−V1​5 VR3​20 ΩAR5​30 ΩBIs​1 A+−V2​12 V

Определите узлы

Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 5 V, V2 = 12 V). Неизвестные: VA, VB.

ЗТК в узле A

Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/20 + (VA − 5)/5 + (VA − VB)/6 = 0
0,4167·VA − 0,1667·VB = 1

ЗТК в узле B

Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/30 + (VB − VA)/6 + (VB − 12)/12 = 1
−0,1667·VA + 0,2833·VB = 2

Решите

Δ = (0,4167)(0,2833) − (−0,1667)(−0,1667) = 0,09028
VA = Δ1/Δ = 0,6167/0,09028 = 6,831 V
VB = Δ2/Δ = 1/0,09028 = 11,08 V

Ответ

IR2 = (VA − VB)/R2 = (6,831 − 11,08)/6 = −0,7077 A
5.Тевенин и Нортон

Ответ: Vth = 1,364 V

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.

R1​ = 20 ΩR3​ = 2 ΩКЗR2​2 ΩAabRth​

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R1 ∥ R2 = 20·2/(20+2) = 1,818 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,818 + 2 = 3,818 Ω
R1​ = 20 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​15 VR2​2 ΩAab+−Vth​

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 15·2/(20+2) = 1,364 V
6.Тевенин и Нортон

Ответ: IL = 2,202 A

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.

R1​ = 25 ΩR3​ = 3 ΩКЗR2​4 ΩAОБРЫВBabRth​

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R1 ∥ R2 = 25·4/(25+4) = 3,448 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,448 + 3 = 6,448 Ω
R1​ = 25 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​18 VR2​4 ΩAIs​2,5 ABab+−Vth​

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 2,483 + 2,5·3,448 = 11,1 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 11,1 + 2,5·3 = 18,6 V
Rth​ = 6,448 Ω+−Vth​18,6 VRL​2 ΩIL​

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.

IL = Vth/(Rth + RL) = 18,6/(6,448 + 2) = 2,202 A
7.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,3891 A

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 10 mH / 20 Ω = 0,5 ms
i(∞) = Vs/R = 9/20 = 0,45 A

Ток в заданный момент

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0,45·(1 − e−1/0,5) = 0,3891 A

Ответ

i = 0,3891 A
8.Переходные процессы RC и RL

Ответ: vC = 8,573 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

vC(0) = 8 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 4,7 kΩ · 100 µF = 470 ms
vC(t) = 9 + (8 − 9)·e−t/τ

Напряжение в заданный момент

vC(400) = 9 + (−1)·e−400/470 = 8,573 V

Ответ

vC = 8,573 V
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: cos φ = 0,1032

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

XL = 785,4 Ω, XC = 14,47 Ω

Полное сопротивление

|Z| = √(80² + (770,9)²) = 775,1 Ω

Коэффициент мощности

cos φ = R/|Z| = 80/775,1 = 0,1032
Цепь индуктивная, поэтому коэффициент мощности отстающий.

Ответ

cos φ = 0,1032
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,5812 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0,15 = 188,5 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (152,3)²) = 172,1 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 100/172,1 = 0,5812 A

Ответ

I = 0,5812 A
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: R = 5,714 Ω

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Сопротивление по активной мощности

R = P/I² = 630/10,5² = 5,714 Ω

Ответ

R = 5,714 Ω
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: C = 355,4 µF

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q1 = P·tan φ1 = 40·tan(45,57°) = 40,81 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 40·tan(25,84°) = 19,37 kvar
QC = Q1 − Q2 = 21,44 kvar

Ёмкость

Конденсатор, подключённый к сети, поставляет Q = V²·ωC.

C = QC/(2πf·V²) = 21435/(2π·60·400²) = 355,4 µF

Ответ

C = 355,4 µF
13.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 15,36 kW

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Фазное напряжение

Vph = VL = 400 V

Фазный ток

|Z| = √(20² + 15²) = 25 Ω
Iph = 400/25 = 16 A

Полная активная мощность

Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.

P = 3·Iph²·R = 3·16²·20 = 15,36 kW

Ответ

P = 15,36 kW

Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,8, и √3·VL·IL·cos φ даёт ту же мощность.

14.Трёхфазная мощность

Ответ: Cph = 351,5 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q1 = 75·tan(acos 0,72) = 75·0,9639 = 72,29 kvar
Q2 = 75·tan(acos 0,98) = 75·0,2031 = 15,23 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

QC = Q1 − Q2 = 57,06 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.

V = 415 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 19020/(314,2·415²) = 351,5 µF

Ответ

Cph = 351,5 µF
15.Трансформаторы

Ответ: a = 8

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Согласуйте приведённую нагрузку

a²·4 = 256
a = √(256/4) = √64 = 8

Ответ

a = 8
16.Трансформаторы

Ответ: Ploss = 6375 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди при этой нагрузке

Pcu = x²·Pcu,fl = 0,5625·6000 = 3375 W

Суммарные потери

Потери в стали одинаковы при любой нагрузке.

Ploss = 3000 + 3375 = 6375 W

Ответ

Ploss = 6375 W

КПД при этой нагрузке η = 98,15%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/electrical-engineering-fundamentals