Источник тока регулируют до тех пор, пока напряжение узла A не станет VA = 9 V. Методом узловых потенциалов найдите ток источника Is (направление как на схеме).
К a–b подключена нагрузка RL = 4 Ω. Замените остальную цепь эквивалентом Тевенина и найдите ток нагрузки IL.
V1 = 24 VR1 = 5 ΩR2 = 12 ΩR3 = 20 ΩRL = 4 Ω
IL = A
6.Тевенин и НортонСложная
Найдите напряжение Тевенина Vth со стороны зажимов a–b.
V1 = 18 VIs = 1 AR1 = 10 ΩR2 = 2 ΩR3 = 15 Ω
Vth = V
7.Переходные процессы RC и RLСредняя
Источник Vₛ заряжает конденсатор через R₁, а R₂ подключён параллельно C. Конденсатор разряжен, когда ключ замыкается в момент t = 0. Найдите постоянную времени τ цепи после замыкания ключа.
Vs = 12 VR1 = 6,8 kΩR2 = 10 kΩC = 68 µF
τ = ms
8.Переходные процессы RC и RLСложная
Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 3 V с указанной полярностью. Через какое время vC достигнет 9,3 V? Найдите t.
Vs = 24 VR = 6,8 kΩC = 100 µFvC(0) = 3 V
t = ms
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
Последовательная цепь RLC подключена к сети 10 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите действующее значение тока I.
V = 10 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩL = 150 mHC = 10 µF
I = A
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
Последовательный RLC-контур питается от источника 5 V (действующее значение), частота которого равна резонансной частоте контура. Найдите действующее напряжение VL на катушке.
V = 5 V (rms)R = 50 ΩL = 100 mHC = 0,1 µF
VL = V
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Однофазный двигатель потребляет 19 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном) от сети 240 V. Найдите ток линии I.
P = 19 kWpf = 0,65V = 240 V
I = A
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазная нагрузка потребляет 50 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном) от сети 400 V, 60 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,9. Найдите реактивную мощность QC, которую должен поставлять конденсатор.
P = 50 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,9V = 400 Vf = 60 Hz
QC = kvar
13.Трёхфазная мощностьСредняя
Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 30 kW. При этой нагрузке его КПД равен 90%, а коэффициент мощности 0,9 (отстающий). Линейное напряжение сети 690 V. Найдите линейный ток IL.
Pout = 30 kWη = 90%cos φ = 0,9VL = 690 V
IL = A
14.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 50 kW при коэффициенте мощности 0,78 (отстающий) от сети 400 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,92 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.
P = 50 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,92VL = 400 Vf = 50 Hz
Cph = µF
15.ТрансформаторыСредняя
Однофазный трансформатор 10 kVA, 4800/240 V работает при номинальной нагрузке. Считайте его идеальным. Найдите ток ILV в обмотке низшего напряжения.
S = 10 kVAV1 = 4800 VV2 = 240 V
ILV = A
16.ТрансформаторыСложная
Однофазный трансформатор 25 kVA имеет потери в стали 200 W. При номинальной нагрузке и коэффициенте мощности 0,9 (отстающий) его КПД равен 96%. Найдите потери в меди при номинальной нагрузке Pcu,fl в ваттах.
S = 25 kVAPcore = 200 Wpf = 0,9η = 96%
Pcu,fl = W
3Растворы
1.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR1 = 1,333 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 4 + 8 = 12 Ω
R2 ∥ 12 = 20·12/(20+12) = 7,5 Ω
Req = R1 + 7,5 = 15 + 7,5 = 22,5 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 30/22,5 = 1,333 A
Ответ
IR1 = 1,333 A
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR1 = 0,7534 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 3 + 3 = 6 Ω
R4 ∥ 6 = 3 Ω
R3 + 3 = 18 Ω
R2 ∥ 18 = 3,273 Ω
Req = R1 + 3,273 = 10 + 3,273 = 13,27 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 10/13,27 = 0,7534 A
Ответ
IR1 = 0,7534 A
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: IR1 = −1,299 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Определите узлы
Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 6 V). Неизвестные: VA, VB.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.
VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/15 + (VA − 6)/4 + (VA − VB)/6 = 0
0,4833·VA − 0,1667·VB = 1,5
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.
VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/12 + (VB − VA)/6 = 4
−0,1667·VA + 0,25·VB = 4
Решите
Δ = (0,4833)(0,25) − (−0,1667)(−0,1667) = 0,09306
VA = Δ1/Δ = 1,042/0,09306 = 11,19 V
VB = Δ2/Δ = 2,183/0,09306 = 23,46 V
Ответ
IR1 = (V1 − VA)/R1 = (6 − 11,19)/4 = −1,299 A
4.Метод узловых потенциалов
Ответ: Is = 0,45 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
VA известно, поэтому это уравнение даёт VB.
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
(9 − 24)/25 + 9/20 = (VB − 9)/20
−0,15 = (VB − 9)/20 → VB = 6 V
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники направляют в B.
Is = (VB − VA)/R3 + VB/R4 = (6 − 9)/20 + 6/10 = 0,45 A
Ответ
Is = 0,45 A
5.Тевенин и Нортон
Ответ: IL = 0,6154 A
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 5·12/(5+12) = 3,529 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,529 + 20 = 23,53 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 24·12/(5+12) = 16,94 V
Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина
Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.
IL = Vth/(Rth + RL) = 16,94/(23,53 + 4) = 0,6154 A
6.Тевенин и Нортон
Ответ: Vth = 19,67 V
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 10·2/(10+2) = 1,667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,667 + 15 = 16,67 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 3 + 1·1,667 = 4,667 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 4,667 + 1·15 = 19,67 V
7.Переходные процессы RC и RL
Ответ: τ = 275,2 ms
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Эквивалентная схема Тевенина со стороны конденсатора
Закоротите источник, чтобы найти Rth; отключите конденсатор, чтобы найти напряжение, до которого он зарядится.
Rth = R1 ∥ R2 = 6,8·10/(6,8 + 10) = 4,048 kΩ
vC(∞) = 12·10/(6,8 + 10) = 7,143 V
Постоянная времени
τ = Rth·C = 4,048·68 = 275,2 ms
Ответ
τ = 275,2 ms
8.Переходные процессы RC и RL
Ответ: t = 242,5 ms
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Начальное значение, конечное значение, постоянная времени
Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.
t = τ·ln((3 − 24)/(9,3 − 24)) = 680·ln(1,429) = 242,5 ms
Ответ
t = 242,5 ms
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: I = 0,1312 A
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивные сопротивления
ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XL = ωL = 628,3·0,15 = 94,25 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·10·10⁻⁶) = 159,2 Ω
Полное сопротивление
При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).
Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.
I = V/|Z| = 10/76,24 = 0,1312 A
Ответ
I = 0,1312 A
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: VL = 100 V
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Резонанс
При резонансе реактивные сопротивления компенсируются, поэтому полное сопротивление равно просто R.
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,1·0,1·10⁻⁶) = 10000 rad/s
I = V/R = 5/50 = 0,1 A
Напряжение на катушке
XL = ω₀L = 10000·0,1 = 1000 Ω
VL = I·XL = 0,1·1000 = 100 V
Ответ
VL = 100 V
Это в Q = 20 раз больше напряжения источника.
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: I = 121,8 A
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Ток линии
Работу совершает только активная часть мощности, поэтому разделите на коэффициент мощности.
I = P/(V·cos φ) = 19000/(240·0,65) = 121,8 A
Ответ
I = 121,8 A
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: QC = 34,24 kvar
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.
Q1 = P·tan φ1 = 50·tan(49,46°) = 58,46 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 50·tan(25,84°) = 24,22 kvar
QC = Q1 − Q2 = 34,24 kvar
Ответ
QC = 34,24 kvar
13.Трёхфазная мощность
Ответ: IL = 30,99 A
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Потребляемая электрическая мощность
Pin = Pout/η = 30/0,9 = 33,33 kW
Ток линии
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 33333/(√3·690·0,9) = 30,99 A
Ответ
IL = 30,99 A
14.Трёхфазная мощность
Ответ: Cph = 374,3 µF
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 50·tan(acos 0,78) = 50·0,8023 = 40,11 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0,92) = 50·0,426 = 21,3 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 18,81 kvar
Ёмкость на фазу
В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.
Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.
Номинальный ток
Через обе обмотки передаётся одинаковая полная мощность.
ILV = S/V = 10000/240 = 41,67 A
Ответ
ILV = 41,67 A
16.Трансформаторы
Ответ: Pcu,fl = 737,5 W
Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.