Основы электротехники: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов
Req = R1 + R2 + …
Параллельное соединение резисторов
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два параллельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Мощность
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
  2. Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. После каждого шага перерисовывайте схему.
  4. Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Метод узловых потенциалов

Закон токов Кирхгофа
ΣIin = ΣIout
Ток ветви
I = (Va − Vb)/R
Опорный узел
Vground = 0

Метод

  1. Выберите опорный узел (землю) и обозначьте потенциалы остальных узлов.
  2. Запишите первый закон Кирхгофа для каждого неизвестного узла: сумма токов, вытекающих по ветвям, равна сумме втекающих.
  3. Выразите ток каждой ветви как (Va − Vb)/R.
  4. Решите систему уравнений, затем найдите нужные токи.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина
Vth = Vopen circuit
Сопротивление Тевенина
Rth: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона
IN = Vth/Rth
Ток нагрузки
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальной мощности
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Метод

  1. Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
  2. Найдите напряжение холостого хода между a и b: это Vth.
  3. Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это Rth.
  4. Верните нагрузку в эквивалентную схему: Vth последовательно с Rth.
  5. Для эквивалента Нортона преобразуйте: IN = Vth/Rth, с RN = Rth параллельно.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени
τ = RC | τ = L/R
Отклик
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постоянном токе
разрыв; vC не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе
короткое замыкание; iL не может измениться скачком
Установившийся режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
  2. Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
  3. Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
  4. Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Угловая частота
ω = 2πf
Модуль и угол
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме
V = I·Z

Метод

  1. Переведите частоту: ω = 2πf.
  2. Найдите каждое реактивное сопротивление: XL = ωL и XC = 1/(ωC).
  3. Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
  4. Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность
P = V·I·cos φ
Реактивная мощность
Q = V·I·sin φ
Полная мощность
S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности
pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Соединение треугольником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Полная активная мощность
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Полная и реактивная мощность
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе
Δ: VL Y: VL/√3
Потребляемая мощность двигателя
Pin = Pout/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации
a = N1/N2 = V1/V2
Отношение токов
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Номинальный ток
I = S/V
Приведённое сопротивление
Z1′ = a²·ZL
Потери в меди при неполной нагрузке
Pcu = x²·Pcu,fl
КПД
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Максимальный КПД
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2Тренировочные задачи

1.Последовательные и параллельные резисторыСредняя
R1​ = 8 ΩIR1​R3​ = 4 Ω+−V1​18 VR2​4 ΩAR4​10 ΩB

Найдите ток IR1, отдаваемый источником и текущий через R1.

V1 = 18 VR1 = 8 ΩR2 = 4 ΩR3 = 4 ΩR4 = 10 Ω
IR1 = A
2.Последовательные и параллельные резисторыСложная
R1​ = 25 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​5 VR2​25 ΩIR2​AR4​25 ΩBR6​3 Ω

Найдите ток IR2 через R2.

V1 = 5 VR1 = 25 ΩR2 = 25 ΩR3 = 8 ΩR4 = 25 ΩR5 = 3 ΩR6 = 3 Ω
IR2 = A
3.Метод узловых потенциаловСредняя
R1​12 Ω+−V1​15 VR2​15 Ω+−V2​15 VR3​5 Ω−+V3​12 VI3​A

Между узлом A и землёй включены три ветви, как показано на схеме. Методом узловых потенциалов найдите ток I3 в ветви 3, текущий вверх в узел A по направлению стрелки.

V1 = 15 VR1 = 12 ΩV2 = 15 VR2 = 15 ΩV3 = 12 VR3 = 5 Ω
I3 = A
4.Метод узловых потенциаловСложная
R1​ = 5 ΩR2​ = 8 ΩR4​ = 12 Ω+−V1​15 VR3​30 ΩAR5​30 ΩBIs​0,5 A+−V2​36 V

Используйте метод узловых потенциалов, чтобы найти узловое напряжение VA (относительно земли).

V1 = 15 VIs = 0,5 AV2 = 36 VR1 = 5 ΩR2 = 8 ΩR3 = 30 ΩR4 = 12 ΩR5 = 30 Ω
VA = V
5.Тевенин и НортонСредняя
R1​ = 15 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​15 VR2​2 ΩARL​10 ΩIL​B

К a–b подключена нагрузка RL = 10 Ω. Замените остальную цепь эквивалентом Тевенина и найдите ток нагрузки IL.

V1 = 15 VR1 = 15 ΩR2 = 2 ΩR3 = 4 ΩRL = 10 Ω
IL = A
6.Тевенин и НортонСложная
R1​ = 15 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​36 VR2​2 ΩAIs​5 ABRL​4 ΩIL​

К a–b подключена нагрузка RL = 4 Ω. Замените остальную цепь эквивалентом Тевенина и найдите ток нагрузки IL.

V1 = 36 VIs = 5 AR1 = 15 ΩR2 = 2 ΩR3 = 6 ΩRL = 4 Ω
IL = A
7.Переходные процессы RC и RLСредняя
+−Vs​12 Vt = 0R = 68 ΩL10 mHi(t)

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите ток i в момент t = 1 ms.

Vs = 12 VR = 68 ΩL = 10 mHt = 1 ms
i = A
8.Переходные процессы RC и RLСложная
+−Vs​15 Vt = 0R = 1 kΩC47 µF+−vC​vC​(0) = 12 V

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 12 V с указанной полярностью. Через какое время vC достигнет 13,8 V? Найдите t.

Vs = 15 VR = 1 kΩC = 47 µFvC(0) = 12 V
t = ms
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
120 V200 HzR = 30 ΩL = 50 mHI

Резистор и катушка включены параллельно в сеть 120 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 50 mH
φ = °
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
5 Vf0​R = 15 ΩL = 20 mHC = 0,47 µF

Последовательный RLC-контур питается от источника 5 V (действующее значение), частота которого равна резонансной частоте контура. Найдите действующее напряжение VL на катушке.

V = 5 V (rms)R = 15 ΩL = 20 mHC = 0,47 µF
VL = V
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
P = 29 kWQSφ

Однофазный двигатель потребляет 29 kW при коэффициенте мощности 0,85 (индуктивном) от сети 230 V. Найдите ток линии I.

P = 29 kWpf = 0,85V = 230 V
I = A
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
P = 25 kWQ1​S1​φ1​QC​

Однофазная нагрузка потребляет 25 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном) от сети 230 V, 60 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,9. Найдите необходимую ёмкость C.

P = 25 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,9V = 230 Vf = 60 Hz
C = µF
13.Трёхфазная мощностьСредняя
ABCVL​ = 480 VNZ = 7 + j24 Ωна фазу

Симметричная нагрузка, соединённая звездой, с полным сопротивлением 7 + j24 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 480 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

VL = 480 VZ = 7 + j24 Ω на фазу
P = kW
14.Трёхфазная мощностьСложная
P = 150 kWφ1​S1​Q2​QC​

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 150 kW при коэффициенте мощности 0,72 (отстающий) от сети 415 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,92 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.

P = 150 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,92VL = 415 Vf = 60 Hz
Cph = µF
15.ТрансформаторыСредняя
480 V240 VIHV​ILV​ = ?10 kVA

Однофазный трансформатор 10 kVA, 480/240 V работает при номинальной нагрузке. Считайте его идеальным. Найдите ток ILV в обмотке низшего напряжения.

S = 10 kVAV1 = 480 VV2 = 240 V
ILV = A
16.ТрансформаторыСложная
25 kVA

Однофазный трансформатор 25 kVA имеет потери в стали 125 W и потери в меди 312,5 W при номинальной нагрузке. При какой нагрузке Sη,max, в kVA, его КПД максимален?

S = 25 kVAPcore = 125 WPcu,fl = 312,5 W
Sη,max = kVA

3Растворы

1.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR1 = 1,62 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 8 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​18 VR2​4 ΩAR4​10 ΩB

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R3 + R4 = 4 + 10 = 14 Ω
R2 ∥ 14 = 4·14/(4+14) = 3,111 Ω
Req = R1 + 3,111 = 8 + 3,111 = 11,11 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 18/11,11 = 1,62 A

Ответ

IR1 = 1,62 A
2.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR2 = 0,05067 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 25 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​5 VR2​25 ΩAR4​25 ΩBR6​3 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R5 + R6 = 3 + 3 = 6 Ω
R4 ∥ 6 = 4,839 Ω
R3 + 4,839 = 12,84 Ω
R2 ∥ 12,84 = 8,483 Ω
Req = R1 + 8,483 = 25 + 8,483 = 33,48 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 5/33,48 = 0,1493 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 5 − 0,1493·25 = 1,267 V
IR2 = VA/R2 = 1,267/25 = 0,05067 A

Ответ

IR2 = 0,05067 A
3.Метод узловых потенциалов

Ответ: I3 = −2,314 A

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

ЗТК в узле A

Примите нижний провод за землю. Каждая ветвь проводит ток (VA − Vk)/Rk, вытекающий из A, где Vk — напряжение её источника (ноль для простого резистора). Сумма токов, вытекающих из A, равна нулю.

(VA − 15)/12 + (VA − 15)/15 + (VA − (−12))/5 = 0

Находим VA

VA = (15/12 + 15/15 + (−12)/5) / (1/12 + 1/15 + 1/5) = −0,15/0,35 = −0,4286 V

Ток ветви

Стрелка направлена вверх по ветви, в узел A.

I3 = ((−12) − VA)/R3 = ((−12) − (−0,4286))/5 = −2,314 A

Ответ

I3 = −2,314 A

Отрицательный результат означает, что в действительности ток течёт против стрелки.

4.Метод узловых потенциалов

Ответ: VA = 16,38 V

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

R1​ = 5 ΩR2​ = 8 ΩR4​ = 12 Ω+−V1​15 VR3​30 ΩAR5​30 ΩBIs​0,5 A+−V2​36 V

Определите узлы

Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 15 V, V2 = 36 V). Неизвестные: VA, VB.

ЗТК в узле A

Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/30 + (VA − 15)/5 + (VA − VB)/8 = 0
0,3583·VA − 0,125·VB = 3

ЗТК в узле B

Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/30 + (VB − VA)/8 + (VB − 36)/12 = 0,5
−0,125·VA + 0,2417·VB = 3,5

Решите

Δ = (0,3583)(0,2417) − (−0,125)(−0,125) = 0,07097
VA = Δ1/Δ = 1,162/0,07097 = 16,38 V
VB = Δ2/Δ = 1,629/0,07097 = 22,95 V

Ответ

VA = 16,38 V
5.Тевенин и Нортон

Ответ: IL = 0,1119 A

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.

R1​ = 15 ΩR3​ = 4 ΩКЗR2​2 ΩAabRth​

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R1 ∥ R2 = 15·2/(15+2) = 1,765 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,765 + 4 = 5,765 Ω
R1​ = 15 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​15 VR2​2 ΩAab+−Vth​

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 15·2/(15+2) = 1,765 V
Rth​ = 5,765 Ω+−Vth​1,765 VRL​10 ΩIL​

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.

IL = Vth/(Rth + RL) = 1,765/(5,765 + 10) = 0,1119 A
6.Тевенин и Нортон

Ответ: IL = 3,66 A

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.

R1​ = 15 ΩR3​ = 6 ΩКЗR2​2 ΩAОБРЫВBabRth​

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R1 ∥ R2 = 15·2/(15+2) = 1,765 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,765 + 6 = 7,765 Ω
R1​ = 15 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​36 VR2​2 ΩAIs​5 ABab+−Vth​

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4,235 + 5·1,765 = 13,06 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 13,06 + 5·6 = 43,06 V
Rth​ = 7,765 Ω+−Vth​43,06 VRL​4 ΩIL​

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.

IL = Vth/(Rth + RL) = 43,06/(7,765 + 4) = 3,66 A
7.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,1763 A

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 10 mH / 68 Ω = 0,1471 ms
i(∞) = Vs/R = 12/68 = 0,1765 A

Ток в заданный момент

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0,1765·(1 − e−1/0,1471) = 0,1763 A

Ответ

i = 0,1763 A
8.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 43,07 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

vC(0) = 12 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 1 kΩ · 47 µF = 47 ms
vC(t) = 15 + (12 − 15)·e−t/τ

Выразите время

13,8 = 15 + (−3)·e−t/τ → e−t/τ = (13,8 − 15)/(12 − 15) = 0,4
t = τ·ln((12 − 15)/(13,8 − 15)) = 47·ln(2,5) = 43,07 ms

Ответ

t = 43,07 ms
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = 25,52 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

XL = ωL = 2π·200·0,05 = 62,83 Ω

Токи ветвей

Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.

IR = V/R = 120/30 = 4 A
IX = V/XL = 120/62,83 = 1,91 A

Общий ток

Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.

I = √(IR² + IX²) = √(4² + 1,91²) = 4,433 A

Угол сдвига фаз

Ток катушки отстаёт от V, поэтому общий ток отстаёт и угол положителен.

φ = arctan(IX/IR) = arctan(1,91/4) = 25,52°

Ответ

φ = 25,52°
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: VL = 68,76 V

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Резонанс

При резонансе реактивные сопротивления компенсируются, поэтому полное сопротивление равно просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,02·0,47·10⁻⁶) = 10314 rad/s
I = V/R = 5/15 = 0,3333 A

Напряжение на катушке

XL = ω₀L = 10314·0,02 = 206,3 Ω
VL = I·XL = 0,3333·206,3 = 68,76 V

Ответ

VL = 68,76 V

Это в Q = 13,75 раз больше напряжения источника.

11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I = 148,3 A

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Ток линии

Работу совершает только активная часть мощности, поэтому разделите на коэффициент мощности.

I = P/(V·cos φ) = 29000/(230·0,85) = 148,3 A

Ответ

I = 148,3 A
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: C = 333 µF

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q1 = P·tan φ1 = 25·tan(36,87°) = 18,75 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 25·tan(25,84°) = 12,11 kvar
QC = Q1 − Q2 = 6,642 kvar

Ёмкость

Конденсатор, подключённый к сети, поставляет Q = V²·ωC.

C = QC/(2πf·V²) = 6642/(2π·60·230²) = 333 µF

Ответ

C = 333 µF
13.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 2,58 kW

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Фазное напряжение

Vph = 480/√3 = 277,1 V

Фазный ток

|Z| = √(7² + 24²) = 25 Ω
Iph = 277,1/25 = 11,09 A

Полная активная мощность

Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.

P = 3·Iph²·R = 3·11,09²·7 = 2,58 kW

Ответ

P = 2,58 kW

Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,28, и √3·VL·IL·cos φ даёт ту же мощность.

14.Трёхфазная мощность

Ответ: Cph = 1243 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q1 = 150·tan(acos 0,72) = 150·0,9639 = 144,6 kvar
Q2 = 150·tan(acos 0,92) = 150·0,426 = 63,9 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

QC = Q1 − Q2 = 80,68 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.

V = 415/√3 = 239,6 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 26893/(377·239,6²) = 1243 µF

Ответ

Cph = 1243 µF
15.Трансформаторы

Ответ: ILV = 41,67 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Номинальный ток

Через обе обмотки передаётся одинаковая полная мощность.

ILV = S/V = 10000/240 = 41,67 A

Ответ

ILV = 41,67 A
16.Трансформаторы

Ответ: Sη,max = 15,81 kVA

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди равны потерям в стали

x²·312,5 = 125 → x = √(125/312,5) = 0,6325

Нагрузка при максимальном КПД

Sη,max = x·S = 0,6325·25 = 15,81 kVA

Ответ

Sη,max = 15,81 kVA

ExamProblems · examproblems.com/courses/electrical-engineering-fundamentals