Между узлом A и землёй включены три ветви, как показано на схеме. Методом узловых потенциалов найдите ток I3 в ветви 3, текущий вверх в узел A по направлению стрелки.
Источник тока регулируют до тех пор, пока напряжение узла A не станет VA = 10 V. Методом узловых потенциалов найдите ток источника Is (направление как на схеме).
Найдите сопротивление Тевенина Rth со стороны зажимов a–b.
V1 = 24 VR1 = 8 ΩR2 = 10 ΩR3 = 4 Ω
Rth = Ω
6.Тевенин и НортонСложная
Найдите напряжение Тевенина Vth со стороны зажимов a–b.
V1 = 9 VIs = 6 AR1 = 30 ΩR2 = 2 ΩR3 = 20 Ω
Vth = V
7.Переходные процессы RC и RLСредняя
До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите ток i в момент t = 1 ms.
Vs = 10 VR = 50 ΩL = 22 mHt = 1 ms
i = A
8.Переходные процессы RC и RLСложная
Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 15 V с указанной полярностью. Через какое время vC достигнет 10,5 V? Найдите t.
Vs = 6 VR = 2,2 kΩC = 33 µFvC(0) = 15 V
t = ms
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
Резистор и катушка включены параллельно в сеть 24 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).
V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 20 ΩL = 20 mH
φ = °
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
Последовательная цепь RLC подключена к сети 10 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите резонансную частоту f0 цепи.
V = 10 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 250 mHC = 100 µF
f0 = Hz
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Однофазный двигатель потребляет 23 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном) от сети 400 V. Найдите реактивную мощность Q, которую он потребляет.
P = 23 kWpf = 0,65V = 400 V
Q = kvar
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазная нагрузка потребляет 23 kW при коэффициенте мощности 0,75 (индуктивном) от сети 230 V, 60 Hz. Параллельно нагрузке подключён конденсатор 330 µF. Найдите новый ток линии I.
P = 23 kWpf1 = 0,75V = 230 Vf = 60 HzC = 330 µF
I = A
13.Трёхфазная мощностьСредняя
Симметричная нагрузка, соединённая звездой, с полным сопротивлением 7 + j24 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 208 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.
VL = 208 VZ = 7 + j24 Ω на фазу
P = kW
14.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 120 kW при коэффициенте мощности 0,65 (отстающий) от сети 415 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,98 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.
P = 120 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,98VL = 415 Vf = 60 Hz
Cph = µF
15.ТрансформаторыСредняя
Усилитель с выходным сопротивлением 32 Ω питает громкоговоритель 8 Ω через идеальный трансформатор. Для передачи максимальной мощности громкоговоритель должен выглядеть со стороны усилителя как 32 Ω. Найдите коэффициент трансформации a = N₁/N₂.
Rs = 32 ΩRL = 8 Ω
a =
16.ТрансформаторыСложная
Однофазный трансформатор 500 kVA имеет потери в стали 1500 W и потери в меди 6000 W при номинальной нагрузке. Он отдаёт 75% номинальной мощности в kVA при коэффициенте мощности 0,9 (отстающий). Найдите суммарные потери Ploss в ваттах при этой нагрузке.
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 20 + 2 = 22 Ω
R2 ∥ 22 = 2·22/(2+22) = 1,833 Ω
Req = R1 + 1,833 = 12 + 1,833 = 13,83 Ω
Ответ
Req = 13,83 Ω
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: Req = 8,214 Ω
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 5 + 10 = 15 Ω
R4 ∥ 15 = 6 Ω
R3 + 6 = 9 Ω
R2 ∥ 9 = 3,214 Ω
Req = R1 + 3,214 = 5 + 3,214 = 8,214 Ω
Ответ
Req = 8,214 Ω
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: I3 = −0,5147 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
Примите нижний провод за землю. Каждая ветвь проводит ток (VA − Vk)/Rk, вытекающий из A, где Vk — напряжение её источника (ноль для простого резистора). Сумма токов, вытекающих из A, равна нулю.
(VA − 30)/20 + (VA − 9)/8 + (VA − 10)/4 = 0
Находим VA
VA = (30/20 + 9/8 + 10/4) / (1/20 + 1/8 + 1/4) = 5,125/0,425 = 12,06 V
Ток ветви
Стрелка направлена вверх по ветви, в узел A.
I3 = (10 − VA)/R3 = (10 − 12,06)/4 = −0,5147 A
Ответ
I3 = −0,5147 A
Отрицательный результат означает, что в действительности ток течёт против стрелки.
4.Метод узловых потенциалов
Ответ: Is = 4,233 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
VA известно, поэтому это уравнение даёт VB.
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
(10 − 15)/20 + 10/25 = (VB − 10)/15
0,15 = (VB − 10)/15 → VB = 12,25 V
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники направляют в B.
Is = (VB − VA)/R3 + VB/R4 = (12,25 − 10)/15 + 12,25/3 = 4,233 A
Ответ
Is = 4,233 A
5.Тевенин и Нортон
Ответ: Rth = 8,444 Ω
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 8·10/(8+10) = 4,444 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4,444 + 4 = 8,444 Ω
6.Тевенин и Нортон
Ответ: Vth = 131,8 V
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 30·2/(30+2) = 1,875 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,875 + 20 = 21,88 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 0,5625 + 6·1,875 = 11,81 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 11,81 + 6·20 = 131,8 V
7.Переходные процессы RC и RL
Ответ: i = 0,1794 A
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени и конечный ток
Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Начальное значение, конечное значение, постоянная времени
Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.
t = τ·ln((15 − 6)/(10,5 − 6)) = 72,6·ln(2) = 50,32 ms
Ответ
t = 50,32 ms
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: φ = 69,34 °
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивное сопротивление
XL = ωL = 2π·60·0,02 = 7,54 Ω
Токи ветвей
Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.
IR = V/R = 24/20 = 1,2 A
IX = V/XL = 24/7,54 = 3,183 A
Общий ток
Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.
I = √(IR² + IX²) = √(1,2² + 3,183²) = 3,402 A
Угол сдвига фаз
Ток катушки отстаёт от V, поэтому общий ток отстаёт и угол положителен.
φ = arctan(IX/IR) = arctan(3,183/1,2) = 69,34°
Ответ
φ = 69,34°
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: f0 = 31,83 Hz
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Резонанс
При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC). Частота сети не важна.
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: Q = 26,89 kvar
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Угол
φ = arccos(0,65) = 49,46°, tan φ = 1,169
Реактивная мощность
Q = P·tan φ = 23·1,169 = 26,89 kvar
Ответ
Q = 26,89 kvar
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: I = 116,4 A
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.
Q1 = 23·tan(arccos 0,75) = 20,28 kvar
QC = V²·2πf·C = 230²·2π·60·330·10⁻⁶ = 6581 var = 6,581 kvar
Q2 = 20,28 − 6,581 = 13,7 kvar
Новая полная мощность
S2 = √(23² + 13,7²) = 26,77 kVA
Новый ток линии
I = S2/V = 26773/230 = 116,4 A
Ответ
I = 116,4 A
13.Трёхфазная мощность
Ответ: P = 0,4846 kW
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Фазное напряжение
Vph = 208/√3 = 120,1 V
Фазный ток
|Z| = √(7² + 24²) = 25 Ω
Iph = 120,1/25 = 4,804 A
Полная активная мощность
Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.
P = 3·Iph²·R = 3·4,804²·7 = 0,4846 kW
Ответ
P = 0,4846 kW
Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,28, и √3·VL·IL·cos φ даёт ту же мощность.
14.Трёхфазная мощность
Ответ: Cph = 1786 µF
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 120·tan(acos 0,65) = 120·1,169 = 140,3 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0,98) = 120·0,2031 = 24,37 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 115,9 kvar
Ёмкость на фазу
В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.
Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.
Согласуйте приведённую нагрузку
a²·8 = 32
a = √(32/8) = √4 = 2
Ответ
a = 2
16.Трансформаторы
Ответ: Ploss = 4875 W
Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.