Между узлом A и землёй включены три ветви, как показано на схеме. Методом узловых потенциалов найдите ток I1 в ветви 1, текущий вверх в узел A по направлению стрелки.
Источник тока регулируют до тех пор, пока напряжение узла A не станет VA = 12,5 V. Методом узловых потенциалов найдите ток источника Is (направление как на схеме).
К a–b подключена нагрузка RL = 8 Ω. Замените остальную цепь эквивалентом Тевенина и найдите ток нагрузки IL.
V1 = 6 VR1 = 6 ΩR2 = 5 ΩR3 = 8 ΩRL = 8 Ω
IL = A
6.Тевенин и НортонСложная
Найдите напряжение Тевенина Vth со стороны зажимов a–b.
V1 = 36 VIs = 2,5 AR1 = 12 ΩR2 = 2 ΩR3 = 20 Ω
Vth = V
7.Переходные процессы RC и RLСредняя
Через катушку течёт установившийся ток 2,5 A. При t = 0 ключ замыкает контур через R, а источник отключается, поэтому ток катушки убывает через R. Найдите напряжение vR на R при t = 1 ms.
i(0) = 2,5 AR = 47 ΩL = 33 mHt = 1 ms
vR = V
8.Переходные процессы RC и RLСложная
Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 12 V с указанной полярностью. Через какое время vC достигнет 9 V? Найдите t.
Vs = 6 VR = 4,7 kΩC = 47 µFvC(0) = 12 V
t = ms
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
Последовательный RLC-контур с C = 4,7 µF должен резонировать на частоте 5000 Hz. Найдите необходимую индуктивность L.
f0 = 5000 HzC = 4,7 µF
L = mH
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
Последовательная цепь RLC подключена к сети 120 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите действующее значение тока I.
V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 2,2 µF
I = A
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Однофазный двигатель потребляет 10 kW при коэффициенте мощности 0,6 (индуктивном) от сети 230 V. Найдите ток линии I.
P = 10 kWpf = 0,6V = 230 V
I = A
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазная нагрузка потребляет 10 kW при коэффициенте мощности 0,7 (индуктивном) от сети 240 V, 50 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,98. Найдите реактивную мощность QC, которую должен поставлять конденсатор.
P = 10 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,98V = 240 Vf = 50 Hz
QC = kvar
13.Трёхфазная мощностьСредняя
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет линейный ток 60 A от сети с линейным напряжением 208 V. Коэффициент мощности 0,8 (отстающий). Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.
VL = 208 VIL = 60 Acos φ = 0,8
P = kW
14.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 100 kW при коэффициенте мощности 0,65 (отстающий) от сети 415 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,9 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность QC, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.
P = 100 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,9VL = 415 Vf = 60 Hz
QC = kvar
15.ТрансформаторыСредняя
Однофазный трансформатор 75 kVA, 10000/400 V работает при номинальной нагрузке. Считайте его идеальным. Найдите ток ILV в обмотке низшего напряжения.
S = 75 kVAV1 = 10000 VV2 = 400 V
ILV = A
16.ТрансформаторыСложная
Однофазный трансформатор 75 kVA имеет потери в стали 600 W. При номинальной нагрузке и коэффициенте мощности 0,95 (отстающий) его КПД равен 97,5%. Найдите потери в меди при номинальной нагрузке Pcu,fl в ваттах.
S = 75 kVAPcore = 600 Wpf = 0,95η = 97,5%
Pcu,fl = W
3Растворы
1.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: Req = 6,8 Ω
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 6 + 2 = 8 Ω
R2 ∥ 8 = 12·8/(12+8) = 4,8 Ω
Req = R1 + 4,8 = 2 + 4,8 = 6,8 Ω
Ответ
Req = 6,8 Ω
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: Req = 40,46 Ω
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 6 + 20 = 26 Ω
R4 ∥ 26 = 13,93 Ω
R3 + 13,93 = 21,93 Ω
R2 ∥ 21,93 = 10,46 Ω
Req = R1 + 10,46 = 30 + 10,46 = 40,46 Ω
Ответ
Req = 40,46 Ω
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: I1 = −0,1481 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
Примите нижний провод за землю. Каждая ветвь проводит ток (VA − Vk)/Rk, вытекающий из A, где Vk — напряжение её источника (ноль для простого резистора). Сумма токов, вытекающих из A, равна нулю.
(VA − 18)/15 + (VA − 18)/2 + (VA − 24)/3 = 0
Находим VA
VA = (18/15 + 18/2 + 24/3) / (1/15 + 1/2 + 1/3) = 18,2/0,9 = 20,22 V
Ток ветви
Стрелка направлена вверх по ветви, в узел A.
I1 = (18 − VA)/R1 = (18 − 20,22)/15 = −0,1481 A
Ответ
I1 = −0,1481 A
Отрицательный результат означает, что в действительности ток течёт против стрелки.
4.Метод узловых потенциалов
Ответ: Is = 5,252 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
VA известно, поэтому это уравнение даёт VB.
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
(12,5 − 9)/25 + 12,5/5 = (VB − 12,5)/20
2,64 = (VB − 12,5)/20 → VB = 65,3 V
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники направляют в B.
Is = (VB − VA)/R3 + VB/R4 = (65,3 − 12,5)/20 + 65,3/25 = 5,252 A
Ответ
Is = 5,252 A
5.Тевенин и Нортон
Ответ: IL = 0,1456 A
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 6·5/(6+5) = 2,727 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,727 + 8 = 10,73 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 6·5/(6+5) = 2,727 V
Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина
Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.
IL = Vth/(Rth + RL) = 2,727/(10,73 + 8) = 0,1456 A
6.Тевенин и Нортон
Ответ: Vth = 59,43 V
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 12·2/(12+2) = 1,714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,714 + 20 = 21,71 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 5,143 + 2,5·1,714 = 9,429 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 9,429 + 2,5·20 = 59,43 V
7.Переходные процессы RC и RL
Ответ: vR = 28,28 V
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени
τ = L/R = 33 mH / 47 Ω = 0,7021 ms
Убывание тока
i(t) = 2,5·e−1/0,7021 = 0,6017 A
vR = R·i = 47·0,6017 = 28,28 V
Ответ
vR = 28,28 V
8.Переходные процессы RC и RL
Ответ: t = 153,1 ms
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Начальное значение, конечное значение, постоянная времени
Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.
t = τ·ln((12 − 6)/(9 − 6)) = 220,9·ln(2) = 153,1 ms
Ответ
t = 153,1 ms
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: L = 0,2156 mH
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Условие резонанса
При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC).
ω₀ = 2π·5000 = 31416 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(31416²·4,7·10⁻⁶) = 0,2156 mH
Ответ
L = 0,2156 mH
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: I = 0,1723 A
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивные сопротивления
ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XL = ωL = 628,3·0,05 = 31,42 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·2,2·10⁻⁶) = 723,4 Ω
Полное сопротивление
При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).
Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.
I = V/|Z| = 120/696,6 = 0,1723 A
Ответ
I = 0,1723 A
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: I = 72,46 A
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Ток линии
Работу совершает только активная часть мощности, поэтому разделите на коэффициент мощности.
I = P/(V·cos φ) = 10000/(230·0,6) = 72,46 A
Ответ
I = 72,46 A
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: QC = 8,171 kvar
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.
Q1 = P·tan φ1 = 10·tan(45,57°) = 10,2 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 10·tan(11,48°) = 2,031 kvar
QC = Q1 − Q2 = 8,171 kvar
Ответ
QC = 8,171 kvar
13.Трёхфазная мощность
Ответ: P = 17,29 kW
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Полная мощность
S = √3·VL·IL = √3·208·60 = 21,62 kVA
Активная мощность
P = S·cos φ = 21,62·0,8 = 17,29 kW
Ответ
P = 17,29 kW
14.Трёхфазная мощность
Ответ: QC = 68,48 kvar
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 100·tan(acos 0,65) = 100·1,169 = 116,9 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0,9) = 100·0,4843 = 48,43 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 68,48 kvar
Ответ
QC = 68,48 kvar
15.Трансформаторы
Ответ: ILV = 187,5 A
Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.
Номинальный ток
Через обе обмотки передаётся одинаковая полная мощность.
ILV = S/V = 75000/400 = 187,5 A
Ответ
ILV = 187,5 A
16.Трансформаторы
Ответ: Pcu,fl = 1227 W
Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.