Вывод + источника напряжения Vₛ между A и B находится у B, поэтому он задаёт VB − VA = Vₛ. Методом узловых потенциалов с супер-узлом найдите узловое напряжение VA (относительно земли).
Is = 4 AVs = 8 VR1 = 10 ΩR2 = 4 Ω
VA = V
4.Метод узловых потенциаловСложная
Используйте метод узловых потенциалов, чтобы найти ток IR4 через R4 в направлении стрелки.
До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите напряжение vL на катушке в момент t = 1 ms.
Vs = 20 VR = 47 ΩL = 68 mHt = 1 ms
vL = V
8.Переходные процессы RC и RLСложная
Ключ был замкнут долгое время, поэтому цепь находится в установившемся режиме. При t = 0 ключ размыкается. Найдите напряжение на конденсаторе vC в момент t = 150 ms.
Vs = 10 VR1 = 10 kΩR2 = 2,2 kΩC = 33 µFt = 150 ms
vC = V
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
Последовательная цепь RLC подключена к сети 120 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите действующее значение тока I.
V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 10 ΩL = 20 mHC = 2,2 µF
I = A
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
Последовательный RLC-контур имеет R = 100 Ω, L = 50 mH и C = 0,022 µF. Найдите его полосу пропускания B (ширину полосы между частотами половинной мощности) в Hz.
R = 100 ΩL = 50 mHC = 0,022 µF
B = Hz
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Нагрузка с полным сопротивлением Z = 6 + j8 Ω подключена к однофазной сети 230 V (действующее значение). Найдите потребляемую ею активную мощность P.
V = 230 VZ = 6 + j8 Ω
P = W
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазный трансформатор 200 kVA питает нагрузку 82 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном). Какую дополнительную активную мощность ΔP можно добавить в виде активной нагрузки (коэффициент мощности 1), прежде чем трансформатор достигнет своей номинальной мощности в kVA?
Smax = 200 kVAP1 = 82 kWpf1 = 0,65
ΔP = kW
13.Трёхфазная мощностьСредняя
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет линейный ток 75 A от сети с линейным напряжением 415 V. Коэффициент мощности 0,8 (отстающий). Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.
VL = 415 VIL = 75 Acos φ = 0,8
P = kW
14.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 75 kW при коэффициенте мощности 0,8 (отстающий) от сети 690 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,98 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность QC, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.
P = 75 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,98VL = 690 Vf = 50 Hz
QC = kvar
15.ТрансформаторыСредняя
К первичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 5:1 приложено 1150 V. К вторичной обмотке подключён резистор 6 Ω. Найдите первичный ток I1.
N1:N2 = 5:1V1 = 1150 VRL = 6 Ω
I1 = A
16.ТрансформаторыСложная
Однофазный трансформатор 25 kVA имеет потери в стали 100 W и потери в меди 300 W при номинальной нагрузке. При какой нагрузке Sη,max, в kVA, его КПД максимален?
S = 25 kVAPcore = 100 WPcu,fl = 300 W
Sη,max = kVA
3Растворы
1.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR1 = 1,905 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 5 + 20 = 25 Ω
R2 ∥ 25 = 4·25/(4+25) = 3,448 Ω
Req = R1 + 3,448 = 6 + 3,448 = 9,448 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 18/9,448 = 1,905 A
Ответ
IR1 = 1,905 A
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR1 = 0,5394 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 8 + 10 = 18 Ω
R4 ∥ 18 = 6,429 Ω
R3 + 6,429 = 9,429 Ω
R2 ∥ 9,429 = 2,809 Ω
Req = R1 + 2,809 = 25 + 2,809 = 27,81 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 15/27,81 = 0,5394 A
Ответ
IR1 = 0,5394 A
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: VA = 5,714 V
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Образуем супер-узел
Через источник напряжения между A и B течёт неизвестный ток, поэтому ЗТК нельзя записать отдельно для A или B. Объедините A, B и источник в один супер-узел: втекающий в него ток равен вытекающему.
VB = VA + Vs = VA + 8
VA/R1 + VB/R2 = Is
Решите
VA/10 + (VA + 8)/4 = 4
VA = (4 − 8/4)/(1/10 + 1/4) = 5,714 V
VB = 5,714 + 8 = 13,71 V
Ответ
VA = 5,714 V
4.Метод узловых потенциалов
Ответ: IR4 = 1,878 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Определите узлы
Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 10 V, V2 = −10 V). Неизвестные: VA, VB.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.
VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/25 + (VA − 10)/3 + (VA − VB)/12 = 0
0,4567·VA − 0,08333·VB = 3,333
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 6·4/(6+4) = 2,4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,4 + 10 = 12,4 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 9·4/(6+4) = 3,6 V
Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина
Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.
IL = Vth/(Rth + RL) = 3,6/(12,4 + 3) = 0,2338 A
6.Тевенин и Нортон
Ответ: PL = 22,53 W
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 12·10/(12+10) = 5,455 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 5,455 + 12 = 17,45 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 5,455 + 2·5,455 = 16,36 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 16,36 + 2·12 = 40,36 V
Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина
Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.
IL = Vth/(Rth + RL) = 40,36/(17,45 + 12) = 1,37 A
PL = IL²·RL = 1,37²·12 = 22,53 W
7.Переходные процессы RC и RL
Ответ: vL = 10,02 V
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени и конечный ток
Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.
τ = L/R = 68 mH / 47 Ω = 1,447 ms
i(∞) = Vs/R = 20/47 = 0,4255 A
Напряжение на катушке
В момент t = 0 всё напряжение питания приложено к катушке; затем оно спадает до нуля.
vL(t) = Vs·e−t/τ = 20·e−1/1,447 = 10,02 V
Ответ
vL = 10,02 V
8.Переходные процессы RC и RL
Ответ: vC = 0,2284 V
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Начальное напряжение конденсатора
В установившемся режиме конденсатор — разрыв, поэтому R₁ и R₂ образуют делитель напряжения. Напряжение конденсатора не может измениться скачком при размыкании ключа.
vC(0) = 10·2,2/(10 + 2,2) = 1,803 V
Постоянная времени после размыкания ключа
τ = R2·C = 2,2·33 = 72,6 ms
Разряд
vC(t) = 1,803·e−150/72,6 = 0,2284 V
Ответ
vC = 0,2284 V
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: I = 1,455 A
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивные сопротивления
ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0,02 = 62,83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·2,2·10⁻⁶) = 144,7 Ω
Полное сопротивление
При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).
Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.
I = V/|Z| = 120/82,46 = 1,455 A
Ответ
I = 1,455 A
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: B = 318,3 Hz
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Резонансная частота
f0 = 1/(2π·√(0,05·0,022·10⁻⁶)) = 4799 Hz
Добротность
Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: P = 3174 W
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Ток
|Z| = √(6² + 8²) = 10 Ω
I = V/|Z| = 230/10 = 23 A
Активная мощность
P = I²·R = 23²·6 = 3174 W
Ответ
P = 3174 W
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: ΔP = 93,53 kW
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность существующей нагрузки
Q1 = 82·tan(arccos 0,65) = 95,87 kvar
Наибольшая суммарная активная мощность
При полной нагрузке S = Smax, а Q от активной нагрузки не меняется.
P = √(Smax² − Q1²) = √(200² − 95,87²) = 175,5 kW
Дополнительная активная мощность
ΔP = 175,5 − 82 = 93,53 kW
Ответ
ΔP = 93,53 kW
13.Трёхфазная мощность
Ответ: P = 43,13 kW
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Полная мощность
S = √3·VL·IL = √3·415·75 = 53,91 kVA
Активная мощность
P = S·cos φ = 53,91·0,8 = 43,13 kW
Ответ
P = 43,13 kW
14.Трёхфазная мощность
Ответ: QC = 41,02 kvar
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 75·tan(acos 0,8) = 75·0,75 = 56,25 kvar
Q2 = 75·tan(acos 0,98) = 75·0,2031 = 15,23 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 41,02 kvar
Ответ
QC = 41,02 kvar
15.Трансформаторы
Ответ: I1 = 7,667 A
Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.
Вторичные напряжение и ток
V2 = 1150/5 = 230 V
I2 = 230/6 = 38,33 A
Первичный ток
Идеальный трансформатор не имеет потерь: V₁·I₁ = V₂·I₂.
I1 = I2/5 = 7,667 A
Ответ
I1 = 7,667 A
Проверка: нагрузка со стороны первичной обмотки равна a²·RL = 150 Ω, и 1150/150 даёт тот же ток.
16.Трансформаторы
Ответ: Sη,max = 14,43 kVA
Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.