Основы электротехники: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов
Req = R1 + R2 + …
Параллельное соединение резисторов
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два параллельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Мощность
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
  2. Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. После каждого шага перерисовывайте схему.
  4. Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Метод узловых потенциалов

Закон токов Кирхгофа
ΣIin = ΣIout
Ток ветви
I = (Va − Vb)/R
Опорный узел
Vground = 0

Метод

  1. Выберите опорный узел (землю) и обозначьте потенциалы остальных узлов.
  2. Запишите первый закон Кирхгофа для каждого неизвестного узла: сумма токов, вытекающих по ветвям, равна сумме втекающих.
  3. Выразите ток каждой ветви как (Va − Vb)/R.
  4. Решите систему уравнений, затем найдите нужные токи.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина
Vth = Vopen circuit
Сопротивление Тевенина
Rth: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона
IN = Vth/Rth
Ток нагрузки
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальной мощности
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Метод

  1. Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
  2. Найдите напряжение холостого хода между a и b: это Vth.
  3. Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это Rth.
  4. Верните нагрузку в эквивалентную схему: Vth последовательно с Rth.
  5. Для эквивалента Нортона преобразуйте: IN = Vth/Rth, с RN = Rth параллельно.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени
τ = RC | τ = L/R
Отклик
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постоянном токе
разрыв; vC не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе
короткое замыкание; iL не может измениться скачком
Установившийся режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
  2. Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
  3. Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
  4. Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Угловая частота
ω = 2πf
Модуль и угол
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме
V = I·Z

Метод

  1. Переведите частоту: ω = 2πf.
  2. Найдите каждое реактивное сопротивление: XL = ωL и XC = 1/(ωC).
  3. Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
  4. Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность
P = V·I·cos φ
Реактивная мощность
Q = V·I·sin φ
Полная мощность
S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности
pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Соединение треугольником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Полная активная мощность
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Полная и реактивная мощность
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе
Δ: VL Y: VL/√3
Потребляемая мощность двигателя
Pin = Pout/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации
a = N1/N2 = V1/V2
Отношение токов
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Номинальный ток
I = S/V
Приведённое сопротивление
Z1′ = a²·ZL
Потери в меди при неполной нагрузке
Pcu = x²·Pcu,fl
КПД
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Максимальный КПД
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2Тренировочные задачи

1.Последовательные и параллельные резисторыСредняя
R1​ = 12 ΩIR1​R3​ = 3 Ω+−V1​24 VR2​8 ΩAR4​20 ΩB

Найдите ток IR1, отдаваемый источником и текущий через R1.

V1 = 24 VR1 = 12 ΩR2 = 8 ΩR3 = 3 ΩR4 = 20 Ω
IR1 = A
2.Последовательные и параллельные резисторыСложная
R1​ = 30 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​12 VR2​15 ΩIR2​AR4​4 ΩBR6​8 Ω

Найдите ток IR2 через R2.

V1 = 12 VR1 = 30 ΩR2 = 15 ΩR3 = 12 ΩR4 = 4 ΩR5 = 15 ΩR6 = 8 Ω
IR2 = A
3.Метод узловых потенциаловСредняя
R1​ = 6 ΩIR1​R3​ = 6 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAR4​20 ΩBIs​3 A

Используйте метод узловых потенциалов, чтобы найти ток IR1 через R1 в направлении стрелки.

V1 = 9 VIs = 3 AR1 = 6 ΩR2 = 4 ΩR3 = 6 ΩR4 = 20 Ω
IR1 = A
4.Метод узловых потенциаловСложная
R1​ = 5 ΩR2​ = 3 ΩR4​ = 4 Ω+−V1​18 VR3​8 ΩAR5​6 ΩBIs​1 A+−V2​12 V

Используйте метод узловых потенциалов, чтобы найти узловое напряжение VA (относительно земли).

V1 = 18 VIs = 1 AV2 = 12 VR1 = 5 ΩR2 = 3 ΩR3 = 8 ΩR4 = 4 ΩR5 = 6 Ω
VA = V
5.Тевенин и НортонСредняя
R1​ = 8 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​15 VR2​5 ΩAab

Найдите ток Нортона IN: ток, текущий от a к b, если зажимы замкнуть накоротко.

V1 = 15 VR1 = 8 ΩR2 = 5 ΩR3 = 20 Ω
IN = A
6.Тевенин и НортонСложная
R1​ = 10 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​6 VR2​3 ΩAIs​5 ABRL​5 ΩIL​

К a–b подключена нагрузка RL = 5 Ω. С помощью эквивалента Тевенина найдите мощность PL, передаваемую в нагрузку.

V1 = 6 VIs = 5 AR1 = 10 ΩR2 = 3 ΩR3 = 10 ΩRL = 5 Ω
PL = W
7.Переходные процессы RC и RLСредняя
+−Vs​5 Vt = 0R = 68 ΩL22 mHi(t)

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите напряжение vL на катушке в момент t = 1 ms.

Vs = 5 VR = 68 ΩL = 22 mHt = 1 ms
vL = V
8.Переходные процессы RC и RLСложная
+−Vs​20 Vt = 0R = 10 kΩC22 µF+−vC​vC​(0) = 10 V

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 10 V с указанной полярностью. Через какое время vC достигнет 13 V? Найдите t.

Vs = 20 VR = 10 kΩC = 22 µFvC(0) = 10 V
t = ms
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
100 V60 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 10 µFI

Последовательная цепь RLC подключена к сети 100 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите активную мощность P, потребляемую от источника.

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 10 µF
P = W
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
VfR = 100 ΩL = 5 mHC = 0,01 µF

Последовательный RLC-контур имеет R = 100 Ω, L = 5 mH и C = 0,01 µF. Найдите его полосу пропускания B (ширину полосы между частотами половинной мощности) в Hz.

R = 100 ΩL = 5 mHC = 0,01 µF
B = Hz
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
P = 38 kWQSφ

Однофазный двигатель потребляет 38 kW при коэффициенте мощности 0,7 (индуктивном) от сети 400 V. Найдите ток линии I.

P = 38 kWpf = 0,7V = 400 V
I = A
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
P = 25 kWQ1​S1​φ1​QC​

Однофазная нагрузка потребляет 25 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном) от сети 400 V, 50 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,98. Найдите новый ток линии Inew.

P = 25 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,98V = 400 Vf = 50 Hz
Inew = A
13.Трёхфазная мощностьСредняя
ABCVL​ = 690 VIL​ = 150 Acos φ = 0,82отстающий

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет линейный ток 150 A от сети с линейным напряжением 690 V. Коэффициент мощности 0,82 (отстающий). Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

VL = 690 VIL = 150 Acos φ = 0,82
P = kW
14.Трёхфазная мощностьСложная
P = 75 kWφ1​S1​Q2​QC​

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 75 kW при коэффициенте мощности 0,7 (отстающий) от сети 400 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,98 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.

P = 75 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,98VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF
15.ТрансформаторыСредняя
11000 V400 VIHV​ILV​ = ?100 kVA

Однофазный трансформатор 100 kVA, 11000/400 V работает при номинальной нагрузке. Считайте его идеальным. Найдите ток ILV в обмотке низшего напряжения.

S = 100 kVAV1 = 11000 VV2 = 400 V
ILV = A
16.ТрансформаторыСложная
pf 0,95250 kVA, η = 97,5%

Однофазный трансформатор 250 kVA имеет потери в стали 2000 W. При номинальной нагрузке и коэффициенте мощности 0,95 (отстающий) его КПД равен 97,5%. Найдите потери в меди при номинальной нагрузке Pcu,fl в ваттах.

S = 250 kVAPcore = 2000 Wpf = 0,95η = 97,5%
Pcu,fl = W

3Растворы

1.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR1 = 1,338 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 12 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​24 VR2​8 ΩAR4​20 ΩB

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R3 + R4 = 3 + 20 = 23 Ω
R2 ∥ 23 = 8·23/(8+23) = 5,935 Ω
Req = R1 + 5,935 = 12 + 5,935 = 17,94 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 24/17,94 = 1,338 A

Ответ

IR1 = 1,338 A
2.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR2 = 0,1617 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 30 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​12 VR2​15 ΩAR4​4 ΩBR6​8 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R5 + R6 = 15 + 8 = 23 Ω
R4 ∥ 23 = 3,407 Ω
R3 + 3,407 = 15,41 Ω
R2 ∥ 15,41 = 7,6 Ω
Req = R1 + 7,6 = 30 + 7,6 = 37,6 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 12/37,6 = 0,3191 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 0,3191·30 = 2,426 V
IR2 = VA/R2 = 2,426/15 = 0,1617 A

Ответ

IR2 = 0,1617 A
3.Метод узловых потенциалов

Ответ: IR1 = 0,1056 A

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

R1​ = 6 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAR4​20 ΩBIs​3 A

Определите узлы

Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 9 V). Неизвестные: VA, VB.

ЗТК в узле A

Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/4 + (VA − 9)/6 + (VA − VB)/6 = 0
0,5833·VA − 0,1667·VB = 1,5

ЗТК в узле B

Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/20 + (VB − VA)/6 = 3
−0,1667·VA + 0,2167·VB = 3

Решите

Δ = (0,5833)(0,2167) − (−0,1667)(−0,1667) = 0,09861
VA = Δ1/Δ = 0,825/0,09861 = 8,366 V
VB = Δ2/Δ = 2/0,09861 = 20,28 V

Ответ

IR1 = (V1 − VA)/R1 = (9 − 8,366)/6 = 0,1056 A
4.Метод узловых потенциалов

Ответ: VA = 10,54 V

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

R1​ = 5 ΩR2​ = 3 ΩR4​ = 4 Ω+−V1​18 VR3​8 ΩAR5​6 ΩBIs​1 A+−V2​12 V

Определите узлы

Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 18 V, V2 = 12 V). Неизвестные: VA, VB.

ЗТК в узле A

Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/8 + (VA − 18)/5 + (VA − VB)/3 = 0
0,6583·VA − 0,3333·VB = 3,6

ЗТК в узле B

Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/6 + (VB − VA)/3 + (VB − 12)/4 = 1
−0,3333·VA + 0,75·VB = 4

Решите

Δ = (0,6583)(0,75) − (−0,3333)(−0,3333) = 0,3826
VA = Δ1/Δ = 4,033/0,3826 = 10,54 V
VB = Δ2/Δ = 3,833/0,3826 = 10,02 V

Ответ

VA = 10,54 V
5.Тевенин и Нортон

Ответ: IN = 0,25 A

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.

R1​ = 8 ΩR3​ = 20 ΩКЗR2​5 ΩAabRth​

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R1 ∥ R2 = 8·5/(8+5) = 3,077 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,077 + 20 = 23,08 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​15 VR2​5 ΩAab+−Vth​

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 15·5/(8+5) = 5,769 V
IN​0,25 ARth​23,08 Ωab

Эквивалент Нортона

Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.

IN = Vth/Rth = 5,769/23,08 = 0,25 A
6.Тевенин и Нортон

Ответ: PL = 66,09 W

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.

R1​ = 10 ΩR3​ = 10 ΩКЗR2​3 ΩAОБРЫВBabRth​

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R1 ∥ R2 = 10·3/(10+3) = 2,308 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,308 + 10 = 12,31 Ω
R1​ = 10 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​6 VR2​3 ΩAIs​5 ABab+−Vth​

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1,385 + 5·2,308 = 12,92 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 12,92 + 5·10 = 62,92 V
Rth​ = 12,31 Ω+−Vth​62,92 VRL​5 ΩIL​

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.

IL = Vth/(Rth + RL) = 62,92/(12,31 + 5) = 3,636 A
PL = IL²·RL = 3,636²·5 = 66,09 W
7.Переходные процессы RC и RL

Ответ: vL = 0,2273 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 22 mH / 68 Ω = 0,3235 ms
i(∞) = Vs/R = 5/68 = 0,07353 A

Напряжение на катушке

В момент t = 0 всё напряжение питания приложено к катушке; затем оно спадает до нуля.

vL(t) = Vs·e−t/τ = 5·e−1/0,3235 = 0,2273 V

Ответ

vL = 0,2273 V
8.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 78,47 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

vC(0) = 10 V, vC(∞) = Vs = 20 V
τ = R·C = 10 kΩ · 22 µF = 220 ms
vC(t) = 20 + (10 − 20)·e−t/τ

Выразите время

13 = 20 + (−10)·e−t/τ → e−t/τ = (13 − 20)/(10 − 20) = 0,7
t = τ·ln((10 − 20)/(13 − 20)) = 220·ln(1,429) = 78,47 ms

Ответ

t = 78,47 ms
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: P = 11,92 W

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

XL = 18,85 Ω, XC = 265,3 Ω

Полное сопротивление

|Z| = √(80² + (−246,4)²) = 259,1 Ω

Активная мощность

Катушки и конденсаторы только запасают и возвращают энергию; всю активную мощность потребляет резистор.

I = 100/259,1 = 0,386 A
P = I²·R = 0,386²·80 = 11,92 W

Ответ

P = 11,92 W
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: B = 3183 Hz

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Резонансная частота

f0 = 1/(2π·√(0,005·0,01·10⁻⁶)) = 22508 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/100)·√(0,005/(0,01·10⁻⁶)) = 7,071

Полоса пропускания

B = f0/Q = 22508/7,071 = 3183 Hz

Ответ

B = 3183 Hz
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I = 135,7 A

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Ток линии

Работу совершает только активная часть мощности, поэтому разделите на коэффициент мощности.

I = P/(V·cos φ) = 38000/(400·0,7) = 135,7 A

Ответ

I = 135,7 A
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: Inew = 63,78 A

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q1 = P·tan φ1 = 25·tan(49,46°) = 29,23 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 25·tan(11,48°) = 5,076 kvar
QC = Q1 − Q2 = 24,15 kvar

Новый ток линии

Inew = P/(V·cos φ2) = 25000/(400·0,98) = 63,78 A

Ответ

Inew = 63,78 A
13.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 147 kW

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Полная мощность

S = √3·VL·IL = √3·690·150 = 179,3 kVA

Активная мощность

P = S·cos φ = 179,3·0,82 = 147 kW

Ответ

P = 147 kW
14.Трёхфазная мощность

Ответ: Cph = 338,7 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q1 = 75·tan(acos 0,7) = 75·1,02 = 76,52 kvar
Q2 = 75·tan(acos 0,98) = 75·0,2031 = 15,23 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

QC = Q1 − Q2 = 61,29 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.

V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 20429/(377·400²) = 338,7 µF

Ответ

Cph = 338,7 µF
15.Трансформаторы

Ответ: ILV = 250 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Номинальный ток

Через обе обмотки передаётся одинаковая полная мощность.

ILV = S/V = 100000/400 = 250 A

Ответ

ILV = 250 A
16.Трансформаторы

Ответ: Pcu,fl = 4090 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Выходная и потребляемая мощность

Pout = 250·0,95 = 237,5 kW
Pin = 237500/0,975 = 243590 W

Суммарные потери и потери в меди

Ploss = 243590 − 237500 = 6090 W
Pcu,fl = 6090 − 2000 = 4090 W

Ответ

Pcu,fl = 4090 W

ExamProblems · examproblems.com/courses/electrical-engineering-fundamentals