Источник тока регулируют до тех пор, пока напряжение узла A не станет VA = 7 V. Методом узловых потенциалов найдите ток источника Is (направление как на схеме).
V1 = 5 VR1 = 6 ΩR2 = 5 ΩR3 = 3 ΩR4 = 3 ΩVA = 7 V
Is = A
5.Тевенин и НортонСредняя
Найдите напряжение Тевенина Vth со стороны зажимов a–b.
V1 = 24 VR1 = 4 ΩR2 = 8 ΩR3 = 4 Ω
Vth = V
6.Тевенин и НортонСложная
Найдите ток Нортона IN: ток, текущий от a к b, если зажимы замкнуть накоротко.
V1 = 15 VIs = 4 AR1 = 20 ΩR2 = 8 ΩR3 = 10 Ω
IN = A
7.Переходные процессы RC и RLСредняя
Источник Vₛ заряжает конденсатор через R₁, а R₂ подключён параллельно C. Конденсатор разряжен, когда ключ замыкается в момент t = 0. Найдите напряжение на конденсаторе vC в момент t = 50 ms.
Vs = 30 VR1 = 3,3 kΩR2 = 4,7 kΩC = 22 µFt = 50 ms
vC = V
8.Переходные процессы RC и RLСложная
Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 15 V с указанной полярностью. Через какое время vC достигнет 13 V? Найдите t.
Vs = 10 VR = 4,7 kΩC = 68 µFvC(0) = 15 V
t = ms
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
Резистор и конденсатор включены параллельно в сеть 230 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите действующее значение тока I.
V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 50 ΩC = 22 µF
I = A
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
Последовательный RLC-контур имеет R = 2 Ω, L = 5 mH и C = 0,1 µF. Найдите его добротность Q при резонансе.
R = 2 ΩL = 5 mHC = 0,1 µF
Q =
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
К однофазной сети 240 V параллельно подключены две нагрузки: нагрузка 27 kW при коэффициенте мощности 0,6 (индуктивном) и нагрузка 2 kW при коэффициенте мощности 0,95 (ёмкостном). Найдите общий коэффициент мощности cos φ со стороны сети.
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Источник 50 V (действующее значение), 50 Hz имеет внутреннее сопротивление Zs = 25 + j6 Ω. Полное сопротивление нагрузки ZL можно выбирать произвольно. Найдите наибольшую активную мощность Pmax, которую можно передать нагрузке.
Vs = 50 V (rms)f = 50 HzZs = 25 + j6 Ω
Pmax = W
13.Трёхфазная мощностьСредняя
Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 110 kW. При этой нагрузке его КПД равен 95%, а коэффициент мощности 0,88 (отстающий). Линейное напряжение сети 415 V. Найдите линейный ток IL.
Pout = 110 kWη = 95%cos φ = 0,88VL = 415 V
IL = A
14.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 50 kW при коэффициенте мощности 0,7 (отстающий) от сети 690 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,92 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.
P = 50 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,92VL = 690 Vf = 60 Hz
Cph = µF
15.ТрансформаторыСредняя
К первичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 10:1 приложено 2400 V. К вторичной обмотке подключён резистор 8 Ω. Найдите первичный ток I1.
N1:N2 = 10:1V1 = 2400 VRL = 8 Ω
I1 = A
16.ТрансформаторыСложная
Однофазный трансформатор 500 kVA имеет потери в стали 4000 W. При номинальной нагрузке и коэффициенте мощности 0,95 (отстающий) его КПД равен 98,5%. Найдите потери в меди при номинальной нагрузке Pcu,fl в ваттах.
S = 500 kVAPcore = 4000 Wpf = 0,95η = 98,5%
Pcu,fl = W
3Растворы
1.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR1 = 1,412 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 4 + 2 = 6 Ω
R2 ∥ 6 = 3·6/(3+6) = 2 Ω
Req = R1 + 2 = 15 + 2 = 17 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 24/17 = 1,412 A
Ответ
IR1 = 1,412 A
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR1 = 1,072 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 25 + 6 = 31 Ω
R4 ∥ 31 = 2,735 Ω
R3 + 2,735 = 4,735 Ω
R2 ∥ 4,735 = 3,395 Ω
Req = R1 + 3,395 = 5 + 3,395 = 8,395 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 9/8,395 = 1,072 A
Ответ
IR1 = 1,072 A
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: VA = 2,297 V
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Определите узлы
Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 15 V). Неизвестные: VA, VB.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.
VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/2 + (VA − 15)/12 + (VA − VB)/15 = 0
0,65·VA − 0,06667·VB = 1,25
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
VA известно, поэтому это уравнение даёт VB.
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
(7 − 5)/6 + 7/5 = (VB − 7)/3
1,733 = (VB − 7)/3 → VB = 12,2 V
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники направляют в B.
Is = (VB − VA)/R3 + VB/R4 = (12,2 − 7)/3 + 12,2/3 = 5,8 A
Ответ
Is = 5,8 A
5.Тевенин и Нортон
Ответ: Vth = 16 V
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 4·8/(4+8) = 2,667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,667 + 4 = 6,667 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 24·8/(4+8) = 16 V
6.Тевенин и Нортон
Ответ: IN = −3,727 A
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 20·8/(20+8) = 5,714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 5,714 + 10 = 15,71 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4,286 + (−4)·5,714 = −18,57 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −18,57 + (−4)·10 = −58,57 V
Эквивалент Нортона
Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.
IN = Vth/Rth = −58,57/15,71 = −3,727 A
7.Переходные процессы RC и RL
Ответ: vC = 12,17 V
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Эквивалентная схема Тевенина со стороны конденсатора
Закоротите источник, чтобы найти Rth; отключите конденсатор, чтобы найти напряжение, до которого он зарядится.
Rth = R1 ∥ R2 = 3,3·4,7/(3,3 + 4,7) = 1,939 kΩ
vC(∞) = 30·4,7/(3,3 + 4,7) = 17,63 V
Постоянная времени
τ = Rth·C = 1,939·22 = 42,65 ms
Кривая заряда
vC(t) = 17,63·(1 − e−50/42,65) = 12,17 V
Ответ
vC = 12,17 V
8.Переходные процессы RC и RL
Ответ: t = 163,3 ms
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Начальное значение, конечное значение, постоянная времени
Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.
t = τ·ln((15 − 10)/(13 − 10)) = 319,6·ln(1,667) = 163,3 ms
Ответ
t = 163,3 ms
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: I = 7,848 A
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивное сопротивление
XC = 1/(ωC) = 1/(2π·200·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω
Токи ветвей
Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.
IR = V/R = 230/50 = 4,6 A
IX = V/XC = 230/36,17 = 6,359 A
Общий ток
Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.
I = √(IR² + IX²) = √(4,6² + 6,359²) = 7,848 A
Ответ
I = 7,848 A
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: Q = 111,8
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Резонансная частота
f0 = 1/(2π·√(0,005·0,1·10⁻⁶)) = 7118 Hz
Добротность
Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: cos φ = 0,6343
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность каждой нагрузки
Индуктивная нагрузка потребляет реактивную мощность (Q > 0); ёмкостная — отдаёт её (Q < 0).
Q1 = 27·tan(arccos 0,6) = 36 kvar
Q2 = −2·tan(arccos 0,95) = −0,6574 kvar
Суммы
P = 27 + 2 = 29 kW
Q = 36 + (−0,6574) = 35,34 kvar
S = √(29² + 35,34²) = 45,72 kVA
Общий коэффициент мощности
cos φ = P/S = 29/45,72 = 0,6343 отстающий
Ответ
cos φ = 0,6343
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: Pmax = 25 W
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Сопряжённое согласование
Реактивное сопротивление нагрузки компенсирует реактивное сопротивление источника, а активное сопротивление нагрузки равно активному сопротивлению источника.
ZL = Zs* = 25 − j6 Ω
Наибольшая мощность
I = Vs/(2Rs) = 50/50 = 1 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 50²/(4·25) = 25 W
Ответ
Pmax = 25 W
13.Трёхфазная мощность
Ответ: IL = 183,1 A
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Потребляемая электрическая мощность
Pin = Pout/η = 110/0,95 = 115,8 kW
Ток линии
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 115789/(√3·415·0,88) = 183,1 A
Ответ
IL = 183,1 A
14.Трёхфазная мощность
Ответ: Cph = 165,5 µF
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 50·tan(acos 0,7) = 50·1,02 = 51,01 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0,92) = 50·0,426 = 21,3 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 29,71 kvar
Ёмкость на фазу
В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.
Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.
Вторичные напряжение и ток
V2 = 2400/10 = 240 V
I2 = 240/8 = 30 A
Первичный ток
Идеальный трансформатор не имеет потерь: V₁·I₁ = V₂·I₂.
I1 = I2/10 = 3 A
Ответ
I1 = 3 A
Проверка: нагрузка со стороны первичной обмотки равна a²·RL = 800 Ω, и 2400/800 даёт тот же ток.
16.Трансформаторы
Ответ: Pcu,fl = 3234 W
Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.