Источник тока регулируют до тех пор, пока напряжение узла A не станет VA = 7 V. Методом узловых потенциалов найдите ток источника Is (направление как на схеме).
V1 = 9 VR1 = 15 ΩR2 = 8 ΩR3 = 3 ΩR4 = 2 ΩVA = 7 V
Is = A
5.Тевенин и НортонСредняя
К a–b подключена нагрузка RL = 3 Ω. Замените остальную цепь эквивалентом Тевенина и найдите ток нагрузки IL.
V1 = 12 VR1 = 8 ΩR2 = 15 ΩR3 = 3 ΩRL = 3 Ω
IL = A
6.Тевенин и НортонСложная
К a–b подключена нагрузка RL = 2 Ω. Замените остальную цепь эквивалентом Тевенина и найдите ток нагрузки IL.
До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите напряжение vL на катушке в момент t = 5 ms.
Vs = 20 VR = 22 ΩL = 150 mHt = 5 ms
vL = V
8.Переходные процессы RC и RLСложная
Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 15 V с указанной полярностью. Через какое время vC достигнет 12 V? Найдите t.
Vs = 5 VR = 1 kΩC = 220 µFvC(0) = 15 V
t = ms
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
Резистор и катушка включены параллельно в сеть 100 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите модуль полного сопротивления |Z|.
V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩL = 150 mH
|Z| = Ω
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
Резистор R1 включён последовательно с параллельным соединением R2 и конденсатора C в сеть 100 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите действующее значение тока I.
V = 100 V (rms)f = 200 HzR1 = 40 ΩR2 = 20 ΩC = 100 µF
I = A
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Однофазный двигатель потребляет 33 kW при коэффициенте мощности 0,7 (индуктивном) от сети 240 V. Найдите реактивную мощность Q, которую он потребляет.
P = 33 kWpf = 0,7V = 240 V
Q = kvar
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазный трансформатор 100 kVA питает нагрузку 43 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном). Какую дополнительную активную мощность ΔP можно добавить в виде активной нагрузки (коэффициент мощности 1), прежде чем трансформатор достигнет своей номинальной мощности в kVA?
Smax = 100 kVAP1 = 43 kWpf1 = 0,65
ΔP = kW
13.Трёхфазная мощностьСредняя
Симметричная нагрузка, соединённая треугольником, с полным сопротивлением 24 + j18 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 400 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.
VL = 400 VZ = 24 + j18 Ω на фазу
P = kW
14.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 120 kW при коэффициенте мощности 0,65 (отстающий) от сети 415 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,98 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.
P = 120 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,98VL = 415 Vf = 60 Hz
Cph = µF
15.ТрансформаторыСредняя
К первичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 2:1 приложено 460 V. К вторичной обмотке подключён резистор 24 Ω. Найдите первичный ток I1.
N1:N2 = 2:1V1 = 460 VRL = 24 Ω
I1 = A
16.ТрансформаторыСложная
Однофазный трансформатор 250 kVA имеет потери в стали 1000 W. При номинальной нагрузке и коэффициенте мощности 0,85 (отстающий) его КПД равен 98,8%. Найдите потери в меди при номинальной нагрузке Pcu,fl в ваттах.
S = 250 kVAPcore = 1000 Wpf = 0,85η = 98,8%
Pcu,fl = W
3Растворы
1.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR2 = 2,769 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 4 + 12 = 16 Ω
R2 ∥ 16 = 2·16/(2+16) = 1,778 Ω
Req = R1 + 1,778 = 4 + 1,778 = 5,778 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 18/5,778 = 3,115 A
Ток через R₂
Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 3,115·4 = 5,538 V
IR2 = VA/R2 = 5,538/2 = 2,769 A
Ответ
IR2 = 2,769 A
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: Req = 32,51 Ω
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 12 + 12 = 24 Ω
R4 ∥ 24 = 12,24 Ω
R3 + 12,24 = 15,24 Ω
R2 ∥ 15,24 = 2,507 Ω
Req = R1 + 2,507 = 30 + 2,507 = 32,51 Ω
Ответ
Req = 32,51 Ω
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: IR3 = −2,871 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Определите узлы
Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 24 V). Неизвестные: VA, VB.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.
VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/5 + (VA − 24)/10 + (VA − VB)/5 = 0
0,5·VA − 0,2·VB = 2,4
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.
VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/15 + (VB − VA)/5 = 5
−0,2·VA + 0,2667·VB = 5
Решите
Δ = (0,5)(0,2667) − (−0,2)(−0,2) = 0,09333
VA = Δ1/Δ = 1,64/0,09333 = 17,57 V
VB = Δ2/Δ = 2,98/0,09333 = 31,93 V
Ответ
IR3 = (VA − VB)/R3 = (17,57 − 31,93)/5 = −2,871 A
4.Метод узловых потенциалов
Ответ: Is = 5,354 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
VA известно, поэтому это уравнение даёт VB.
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
(7 − 9)/15 + 7/8 = (VB − 7)/3
0,7417 = (VB − 7)/3 → VB = 9,225 V
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники направляют в B.
Is = (VB − VA)/R3 + VB/R4 = (9,225 − 7)/3 + 9,225/2 = 5,354 A
Ответ
Is = 5,354 A
5.Тевенин и Нортон
Ответ: IL = 0,6977 A
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 8·15/(8+15) = 5,217 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 5,217 + 3 = 8,217 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 12·15/(8+15) = 7,826 V
Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина
Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.
IL = Vth/(Rth + RL) = 7,826/(8,217 + 3) = 0,6977 A
6.Тевенин и Нортон
Ответ: IL = 3,227 A
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 2·8/(2+8) = 1,6 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,6 + 3 = 4,6 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 14,4 + 1,5·1,6 = 16,8 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 16,8 + 1,5·3 = 21,3 V
Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина
Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.
IL = Vth/(Rth + RL) = 21,3/(4,6 + 2) = 3,227 A
7.Переходные процессы RC и RL
Ответ: vL = 9,606 V
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени и конечный ток
Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.
τ = L/R = 150 mH / 22 Ω = 6,818 ms
i(∞) = Vs/R = 20/22 = 0,9091 A
Напряжение на катушке
В момент t = 0 всё напряжение питания приложено к катушке; затем оно спадает до нуля.
vL(t) = Vs·e−t/τ = 20·e−5/6,818 = 9,606 V
Ответ
vL = 9,606 V
8.Переходные процессы RC и RL
Ответ: t = 78,47 ms
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Начальное значение, конечное значение, постоянная времени
Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.
t = τ·ln((15 − 5)/(12 − 5)) = 220·ln(1,429) = 78,47 ms
Ответ
t = 78,47 ms
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: |Z| = 49,22 Ω
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивное сопротивление
XL = ωL = 2π·60·0,15 = 56,55 Ω
Токи ветвей
Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.
IR = V/R = 100/100 = 1 A
IX = V/XL = 100/56,55 = 1,768 A
Общий ток
Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.
I = √(IR² + IX²) = √(1² + 1,768²) = 2,032 A
Полное сопротивление
|Z| = V/I = 100/2,032 = 49,22 Ω
Ответ
|Z| = 49,22 Ω
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: I = 2,31 A
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивное сопротивление
XC = 1/(2π·200·100·10⁻⁶) = 7,958 Ω
Параллельное соединение
Умножьте числитель и знаменатель на комплексно сопряжённое число, чтобы разделить Zp на действительную и мнимую части.
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: Q = 33,67 kvar
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Угол
φ = arccos(0,7) = 45,57°, tan φ = 1,02
Реактивная мощность
Q = P·tan φ = 33·1,02 = 33,67 kvar
Ответ
Q = 33,67 kvar
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: ΔP = 43,44 kW
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность существующей нагрузки
Q1 = 43·tan(arccos 0,65) = 50,27 kvar
Наибольшая суммарная активная мощность
При полной нагрузке S = Smax, а Q от активной нагрузки не меняется.
P = √(Smax² − Q1²) = √(100² − 50,27²) = 86,44 kW
Дополнительная активная мощность
ΔP = 86,44 − 43 = 43,44 kW
Ответ
ΔP = 43,44 kW
13.Трёхфазная мощность
Ответ: P = 12,8 kW
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Фазное напряжение
Vph = VL = 400 V
Фазный ток
|Z| = √(24² + 18²) = 30 Ω
Iph = 400/30 = 13,33 A
Полная активная мощность
Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.
P = 3·Iph²·R = 3·13,33²·24 = 12,8 kW
Ответ
P = 12,8 kW
Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,8, и √3·VL·IL·cos φ даёт ту же мощность.
14.Трёхфазная мощность
Ответ: Cph = 595,2 µF
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 120·tan(acos 0,65) = 120·1,169 = 140,3 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0,98) = 120·0,2031 = 24,37 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 115,9 kvar
Ёмкость на фазу
В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.
V = 415 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 38643/(377·415²) = 595,2 µF
Ответ
Cph = 595,2 µF
15.Трансформаторы
Ответ: I1 = 4,792 A
Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.
Вторичные напряжение и ток
V2 = 460/2 = 230 V
I2 = 230/24 = 9,583 A
Первичный ток
Идеальный трансформатор не имеет потерь: V₁·I₁ = V₂·I₂.
I1 = I2/2 = 4,792 A
Ответ
I1 = 4,792 A
Проверка: нагрузка со стороны первичной обмотки равна a²·RL = 96 Ω, и 460/96 даёт тот же ток.
16.Трансформаторы
Ответ: Pcu,fl = 1581 W
Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.