Вывод + источника напряжения Vₛ между A и B находится у B, поэтому он задаёт VB − VA = Vₛ. Методом узловых потенциалов с супер-узлом найдите узловое напряжение VB (относительно земли).
Is = 5 AVs = 9 VR1 = 6 ΩR2 = 2 Ω
VB = V
4.Метод узловых потенциаловСложная
Используйте метод узловых потенциалов, чтобы найти узловое напряжение VB (относительно земли).
До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите энергию W(∞), запасённую в катушке после установления режима, в mJ.
Vs = 20 VR = 15 ΩL = 33 mH
W(∞) = mJ
8.Переходные процессы RC и RLСложная
Ключ был замкнут долгое время, поэтому цепь находится в установившемся режиме. При t = 0 ключ размыкается. Найдите ток i2 через R2 при t = 750 ms.
Vs = 30 VR1 = 1 kΩR2 = 3,3 kΩC = 100 µFt = 750 ms
i2 = mA
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
Последовательная цепь RLC подключена к сети 100 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите действующее значение тока I.
V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 15 ΩL = 250 mHC = 4,7 µF
I = A
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
Последовательный RLC-контур имеет R = 1 Ω, L = 20 mH и C = 2,2 µF. Найдите его добротность Q при резонансе.
R = 1 ΩL = 20 mHC = 2,2 µF
Q =
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
К однофазной сети 240 V параллельно подключены две нагрузки: нагрузка 7 kW при коэффициенте мощности 0,7 (индуктивном) и нагрузка 15 kW при коэффициенте мощности 0,95 (индуктивном). Найдите общий коэффициент мощности cos φ со стороны сети.
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазная нагрузка потребляет 27 kW при коэффициенте мощности 0,7 (индуктивном) от сети 240 V, 50 Hz. Параллельно нагрузке подключён конденсатор 220 µF. Найдите новый коэффициент мощности cos φ со стороны сети.
P = 27 kWpf1 = 0,7V = 240 Vf = 50 HzC = 220 µF
cos φ =
13.Трёхфазная мощностьСредняя
Симметричная нагрузка, соединённая треугольником, с полным сопротивлением 24 + j7 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 208 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.
VL = 208 VZ = 24 + j7 Ω на фазу
P = kW
14.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 100 kW при коэффициенте мощности 0,65 (отстающий) от сети 400 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,92 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.
P = 100 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,92VL = 400 Vf = 50 Hz
Cph = µF
15.ТрансформаторыСредняя
К вторичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 3:1 подключён резистор 10 Ω. Найдите сопротивление R1′ со стороны первичной обмотки.
N1:N2 = 3:1RL = 10 Ω
R1′ = Ω
16.ТрансформаторыСложная
Однофазный трансформатор 75 kVA имеет потери в стали 225 W. При номинальной нагрузке и коэффициенте мощности 0,9 (отстающий) его КПД равен 97,5%. Найдите потери в меди при номинальной нагрузке Pcu,fl в ваттах.
S = 75 kVAPcore = 225 Wpf = 0,9η = 97,5%
Pcu,fl = W
3Растворы
1.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR2 = 0,1875 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 2 + 6 = 8 Ω
R2 ∥ 8 = 8·8/(8+8) = 4 Ω
Req = R1 + 4 = 12 + 4 = 16 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 6/16 = 0,375 A
Ток через R₂
Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 6 − 0,375·12 = 1,5 V
IR2 = VA/R2 = 1,5/8 = 0,1875 A
Ответ
IR2 = 0,1875 A
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR1 = 0,8941 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 5 + 20 = 25 Ω
R4 ∥ 25 = 8,108 Ω
R3 + 8,108 = 38,11 Ω
R2 ∥ 38,11 = 5,184 Ω
Req = R1 + 5,184 = 6 + 5,184 = 11,18 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 10/11,18 = 0,8941 A
Ответ
IR1 = 0,8941 A
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: VB = 9,75 V
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Образуем супер-узел
Через источник напряжения между A и B течёт неизвестный ток, поэтому ЗТК нельзя записать отдельно для A или B. Объедините A, B и источник в один супер-узел: втекающий в него ток равен вытекающему.
VB = VA + Vs = VA + 9
VA/R1 + VB/R2 = Is
Решите
VA/6 + (VA + 9)/2 = 5
VA = (5 − 9/2)/(1/6 + 1/2) = 0,75 V
VB = 0,75 + 9 = 9,75 V
Ответ
VB = 9,75 V
4.Метод узловых потенциалов
Ответ: VB = 2,874 V
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Определите узлы
Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 18 V, V2 = 36 V). Неизвестные: VA, VB.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.
VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/20 + (VA − 18)/25 + (VA − VB)/30 = 0
0,1233·VA − 0,03333·VB = 0,72
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 15·15/(15+15) = 7,5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 7,5 + 15 = 22,5 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 30·15/(15+15) = 15 V
6.Тевенин и Нортон
Ответ: PL = 1,843 W
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 3·10/(3+10) = 2,308 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,308 + 4 = 6,308 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 18,46 + (−1,5)·2,308 = 15 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 15 + (−1,5)·4 = 9 V
Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина
Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.
IL = Vth/(Rth + RL) = 9/(6,308 + 30) = 0,2479 A
PL = IL²·RL = 0,2479²·30 = 1,843 W
7.Переходные процессы RC и RL
Ответ: W(∞) = 29,33 mJ
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени и конечный ток
Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.
τ = L/R = 33 mH / 15 Ω = 2,2 ms
i(∞) = Vs/R = 20/15 = 1,333 A
Запасённая энергия
W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·33·1,333² = 29,33 mJ
Ответ
W(∞) = 29,33 mJ
8.Переходные процессы RC и RL
Ответ: i2 = 0,7188 mA
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Начальное напряжение конденсатора
В установившемся режиме конденсатор — разрыв, поэтому R₁ и R₂ образуют делитель напряжения. Напряжение конденсатора не может измениться скачком при размыкании ключа.
vC(0) = 30·3,3/(1 + 3,3) = 23,02 V
Постоянная времени после размыкания ключа
τ = R2·C = 3,3·100 = 330 ms
Разряд
vC(t) = 23,02·e−750/330 = 2,372 V
i2 = vC/R2 = 2,372/3,3 = 0,7188 mA
Ответ
i2 = 0,7188 mA
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: I = 0,5489 A
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивные сопротивления
ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XL = ωL = 628,3·0,25 = 157,1 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·4,7·10⁻⁶) = 338,6 Ω
Полное сопротивление
При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).
Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.
I = V/|Z| = 100/182,2 = 0,5489 A
Ответ
I = 0,5489 A
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: Q = 95,35
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Резонансная частота
f0 = 1/(2π·√(0,02·2,2·10⁻⁶)) = 758,7 Hz
Добротность
Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: cos φ = 0,8767
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность каждой нагрузки
Индуктивная нагрузка потребляет реактивную мощность (Q > 0); ёмкостная — отдаёт её (Q < 0).
Q1 = 7·tan(arccos 0,7) = 7,141 kvar
Q2 = 15·tan(arccos 0,95) = 4,93 kvar
Суммы
P = 7 + 15 = 22 kW
Q = 7,141 + 4,93 = 12,07 kvar
S = √(22² + 12,07²) = 25,09 kVA
Общий коэффициент мощности
cos φ = P/S = 22/25,09 = 0,8767 отстающий
Ответ
cos φ = 0,8767
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: cos φ = 0,7534
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.
Q1 = 27·tan(arccos 0,7) = 27,55 kvar
QC = V²·2πf·C = 240²·2π·50·220·10⁻⁶ = 3981 var = 3,981 kvar
Q2 = 27,55 − 3,981 = 23,56 kvar
Новая полная мощность
S2 = √(27² + 23,56²) = 35,84 kVA
Новый коэффициент мощности
cos φ = P/S2 = 27/35,84 = 0,7534
Ответ
cos φ = 0,7534
13.Трёхфазная мощность
Ответ: P = 4,984 kW
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Фазное напряжение
Vph = VL = 208 V
Фазный ток
|Z| = √(24² + 7²) = 25 Ω
Iph = 208/25 = 8,32 A
Полная активная мощность
Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.
P = 3·Iph²·R = 3·8,32²·24 = 4,984 kW
Ответ
P = 4,984 kW
Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,96, и √3·VL·IL·cos φ даёт ту же мощность.
14.Трёхфазная мощность
Ответ: Cph = 492,8 µF
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 100·tan(acos 0,65) = 100·1,169 = 116,9 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0,92) = 100·0,426 = 42,6 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 74,31 kvar
Ёмкость на фазу
В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.
Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.
Приведённое сопротивление
Напряжение растёт в a раз, а ток уменьшается в a раз, поэтому отношение V/I растёт в a² раз.
R1′ = a²·RL = 3²·10 = 90 Ω
Ответ
R1′ = 90 Ω
16.Трансформаторы
Ответ: Pcu,fl = 1506 W
Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.