Между узлом A и землёй включены три ветви, как показано на схеме. Методом узловых потенциалов найдите ток I1 в ветви 1, текущий вверх в узел A по направлению стрелки.
Найдите сопротивление Тевенина Rth со стороны зажимов a–b.
V1 = 6 VR1 = 6 ΩR2 = 15 ΩR3 = 10 Ω
Rth = Ω
6.Тевенин и НортонСложная
Найдите ток Нортона IN: ток, текущий от a к b, если зажимы замкнуть накоротко.
V1 = 30 VIs = 5 AR1 = 5 ΩR2 = 5 ΩR3 = 25 Ω
IN = A
7.Переходные процессы RC и RLСредняя
Через катушку течёт установившийся ток 3 A. При t = 0 ключ замыкает контур через R, а источник отключается, поэтому ток катушки убывает через R. За какое время ток уменьшится до 0,6 A? Найдите t.
i(0) = 3 AR = 100 ΩL = 220 mH
t = ms
8.Переходные процессы RC и RLСложная
Ключ был замкнут долгое время, поэтому цепь находится в установившемся режиме. При t = 0 ключ размыкается. Найдите ток i2 через R2 при t = 10 ms.
Vs = 6 VR1 = 2,2 kΩR2 = 1 kΩC = 22 µFt = 10 ms
i2 = mA
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
Последовательная цепь RLC подключена к сети 100 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).
V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 10 µF
φ = °
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
Последовательная цепь RLC подключена к сети 100 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите резонансную частоту f0 цепи.
V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 2,2 µF
f0 = Hz
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Нагрузка с полным сопротивлением Z = 4 + j3 Ω подключена к однофазной сети 120 V (действующее значение). Найдите потребляемую ею реактивную мощность Q.
V = 120 VZ = 4 + j3 Ω
Q = var
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазная нагрузка потребляет 5 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном) от сети 400 V, 50 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,9. Найдите необходимую ёмкость C.
P = 5 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,9V = 400 Vf = 50 Hz
C = µF
13.Трёхфазная мощностьСредняя
Симметричная нагрузка, соединённая звездой, с полным сопротивлением 15 + j20 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 480 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.
VL = 480 VZ = 15 + j20 Ω на фазу
P = kW
14.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 250 kW при коэффициенте мощности 0,72 (отстающий) от сети 415 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,98 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.
P = 250 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,98VL = 415 Vf = 60 Hz
Cph = µF
15.ТрансформаторыСредняя
Усилитель с выходным сопротивлением 1600 Ω питает громкоговоритель 16 Ω через идеальный трансформатор. Для передачи максимальной мощности громкоговоритель должен выглядеть со стороны усилителя как 1600 Ω. Найдите коэффициент трансформации a = N₁/N₂.
Rs = 1600 ΩRL = 16 Ω
a =
16.ТрансформаторыСложная
Однофазный трансформатор 25 kVA имеет потери в стали 75 W и потери в меди 300 W при номинальной нагрузке. При какой нагрузке Sη,max, в kVA, его КПД максимален?
S = 25 kVAPcore = 75 WPcu,fl = 300 W
Sη,max = kVA
3Растворы
1.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR2 = 3,699 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 3 + 6 = 9 Ω
R2 ∥ 9 = 5·9/(5+9) = 3,214 Ω
Req = R1 + 3,214 = 2 + 3,214 = 5,214 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 30/5,214 = 5,753 A
Ток через R₂
Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 5,753·2 = 18,49 V
IR2 = VA/R2 = 18,49/5 = 3,699 A
Ответ
IR2 = 3,699 A
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR1 = 5,092 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 2 + 3 = 5 Ω
R4 ∥ 5 = 2,727 Ω
R3 + 2,727 = 32,73 Ω
R2 ∥ 32,73 = 5,07 Ω
Req = R1 + 5,07 = 2 + 5,07 = 7,07 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 36/7,07 = 5,092 A
Ответ
IR1 = 5,092 A
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: I1 = 1,906 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
Примите нижний провод за землю. Каждая ветвь проводит ток (VA − Vk)/Rk, вытекающий из A, где Vk — напряжение её источника (ноль для простого резистора). Сумма токов, вытекающих из A, равна нулю.
(VA − 24)/5 + (VA − 12)/5 + (VA − 6)/6 = 0
Находим VA
VA = (24/5 + 12/5 + 6/6) / (1/5 + 1/5 + 1/6) = 8,2/0,5667 = 14,47 V
Ток ветви
Стрелка направлена вверх по ветви, в узел A.
I1 = (24 − VA)/R1 = (24 − 14,47)/5 = 1,906 A
Ответ
I1 = 1,906 A
Отрицательный результат означает, что в действительности ток течёт против стрелки.
4.Метод узловых потенциалов
Ответ: IR1 = 1,037 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Определите узлы
Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 6 V, V2 = −12 V). Неизвестные: VA, VB.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.
VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/3 + (VA − 6)/4 + (VA − VB)/20 = 0
0,6333·VA − 0,05·VB = 1,5
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.
VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/25 + (VB − VA)/20 + (VB − (−12))/30 = (−0,5)
−0,05·VA + 0,1233·VB = −0,9
Решите
Δ = (0,6333)(0,1233) − (−0,05)(−0,05) = 0,07561
VA = Δ1/Δ = 0,14/0,07561 = 1,852 V
VB = Δ2/Δ = −0,495/0,07561 = −6,547 V
Ответ
IR1 = (V1 − VA)/R1 = (6 − 1,852)/4 = 1,037 A
5.Тевенин и Нортон
Ответ: Rth = 14,29 Ω
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 6·15/(6+15) = 4,286 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4,286 + 10 = 14,29 Ω
6.Тевенин и Нортон
Ответ: IN = 5,545 A
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 5·5/(5+5) = 2,5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,5 + 25 = 27,5 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 15 + 5·2,5 = 27,5 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 27,5 + 5·25 = 152,5 V
Эквивалент Нортона
Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.
IN = Vth/Rth = 152,5/27,5 = 5,545 A
7.Переходные процессы RC и RL
Ответ: t = 3,541 ms
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени
τ = L/R = 220 mH / 100 Ω = 2,2 ms
Выразите время
0,6 = 3·e−t/τ → t = τ·ln(3/0,6)
t = 2,2·ln(5) = 3,541 ms
Ответ
t = 3,541 ms
8.Переходные процессы RC и RL
Ответ: i2 = 1,19 mA
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Начальное напряжение конденсатора
В установившемся режиме конденсатор — разрыв, поэтому R₁ и R₂ образуют делитель напряжения. Напряжение конденсатора не может измениться скачком при размыкании ключа.
vC(0) = 6·1/(2,2 + 1) = 1,875 V
Постоянная времени после размыкания ключа
τ = R2·C = 1·22 = 22 ms
Разряд
vC(t) = 1,875·e−10/22 = 1,19 V
i2 = vC/R2 = 1,19/1 = 1,19 mA
Ответ
i2 = 1,19 mA
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: φ = 53,7 °
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивные сопротивления
ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0,15 = 188,5 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·10·10⁻⁶) = 79,58 Ω
Полное сопротивление
При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Резонанс
При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC). Частота сети не важна.
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: Q = 1728 var
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Ток
|Z| = √(4² + 3²) = 5 Ω
I = V/|Z| = 120/5 = 24 A
Реактивная мощность
Q = I²·X = 24²·3 = 1728 var
Ответ
Q = 1728 var
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: C = 26,43 µF
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.
Q1 = P·tan φ1 = 5·tan(36,87°) = 3,75 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 5·tan(25,84°) = 2,422 kvar
QC = Q1 − Q2 = 1,328 kvar
Ёмкость
Конденсатор, подключённый к сети, поставляет Q = V²·ωC.
C = QC/(2πf·V²) = 1328/(2π·50·400²) = 26,43 µF
Ответ
C = 26,43 µF
13.Трёхфазная мощность
Ответ: P = 5,53 kW
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Фазное напряжение
Vph = 480/√3 = 277,1 V
Фазный ток
|Z| = √(15² + 20²) = 25 Ω
Iph = 277,1/25 = 11,09 A
Полная активная мощность
Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.
P = 3·Iph²·R = 3·11,09²·15 = 5,53 kW
Ответ
P = 5,53 kW
Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,6, и √3·VL·IL·cos φ даёт ту же мощность.
14.Трёхфазная мощность
Ответ: Cph = 976,5 µF
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 250·tan(acos 0,72) = 250·0,9639 = 241 kvar
Q2 = 250·tan(acos 0,98) = 250·0,2031 = 50,76 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 190,2 kvar
Ёмкость на фазу
В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.
V = 415 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 63400/(377·415²) = 976,5 µF
Ответ
Cph = 976,5 µF
15.Трансформаторы
Ответ: a = 10
Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.
Согласуйте приведённую нагрузку
a²·16 = 1600
a = √(1600/16) = √100 = 10
Ответ
a = 10
16.Трансформаторы
Ответ: Sη,max = 12,5 kVA
Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.