Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). В рандомизированном исследовании 790 пациентов получили новое лечение, а 960 получили контрольное лечение. В таблице показано, сколько в каждой группе имели исход (нежелательное событие, например инсульт). Найдите относительный риск RR события при лечении. Округлите до двух знаков после запятой.
лечение: 171/790контроль: 298/960
RR =
2.Статистика доказательной практикиСложная
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). Лечение снижает риск события на 45% в относительном выражении (RRR = 45%). В группе пациентов риск без лечения (CER) за пять лет составляет 21%. Найдите число пациентов, которых необходимо лечить, NNT в течение пяти лет, чтобы предотвратить одно событие. Округлите вверх до целого числа пациентов.
Величина распределена нормально со средним 60 и стандартным отклонением 5. Какая доля P значений больше 65?
μ = 60σ = 5x = 65
P =
5.Доверительные интервалыСредняя
У 6 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее −3,2 и стандартное отклонение 3,6. Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для средней разности.
n = 6d̄ = −3,2sd = 3,690%t(5) = 2,015
нижняя граница = mmHg
6.Доверительные интервалыСложная
Диаметры 25 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 7,8 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — нижняя граница σ. При df = 24 2,5 % распределения χ² лежит ниже 12,401 и 2,5 % — выше 39,364.
n = 25s = 7,8 µmχ² = 12,401, 39,364
σ = µm
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 100 студентов имеет средний балл 117,3 и выборочное стандартное отклонение 15. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 117,3s = 15n = 100
t =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
В исследовании выздоравливают 180 из 300 пациентов, получавших лечение A, и 80 из 150 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 180n₁ = 300x₂ = 80n₂ = 150
z =
3Растворы
1.Статистика доказательной практики
Ответ: RR = 0,7
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Частота событий
EER = 171/790 = 0,2165
CER = 298/960 = 0,3104
Относительный риск
RR = 0,2165/0,3104 = 0,6973 ≈ 0,7
Ответ
RR = 0,7
2.Статистика доказательной практики
Ответ: NNT = 11
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
Абсолютное снижение риска
ARR = 0,21·0,45 = 0,0945
Число пациентов, которых необходимо лечить (NNT)
NNT = 1/0,0945 = 10,58 → 11
Ответ
NNT = 11
Один и тот же относительный эффект даёт меньший NNT при более высоком исходном риске.
3.Описательная статистика
Ответ: s = 13,09
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = 1
Таблица нормального распределения
Φ(1) = 0,8413
P = 1 − 0,8413 = 0,1587
Ответ
P = 0,1587
5.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = −6,161 mmHg
Интервал для разности: оценка ± критическое значение × стандартная ошибка. Для двух независимых средних при известных σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) и z. При равных неизвестных дисперсиях: объединённое s_p и t с n₁ + n₂ − 2 степенями свободы. Для парных данных работайте с разностями: d̄ ± t·s_d/√n.
Критическое значение
df = 5, t = 2,015
Предельная ошибка
E = 2,015·3,6/√6 = 2,961
Интервал
−3,2 ± 2,961 → [−6,161, −0,2386]
Ответ
нижняя граница = −6,161 mmHg
6.Доверительные интервалы
Ответ: σ = 6,09 µm
Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.
Сумма квадратов
(n − 1)s² = 24·7,8² = 1460
Границы для σ²
1460/39,364 = 37,09
1460/12,401 = 117,7
Граница для σ
σ = √37,09 = 6,09 µm
Ответ
σ = 6,09 µm
95 % интервал для σ: [6,09, 10,85] µm.
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −1,8
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 15/√100 = 15/10 = 1,5
Статистика критерия
t = (117,3 − 120)/1,5 = −1,8
Ответ
t = −1,8
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| < 1.984, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: z = 1,35
Проверка гипотезы: статистика критерия = (оценка − значение при H₀)/(стандартная ошибка при H₀). p-значение — это вероятность при условии истинности H₀ получить статистику, не менее экстремальную, чем наблюдаемая: площадь одного хвоста для односторонней H₁ и удвоенная площадь хвоста для двусторонней H₁. Отвергайте H₀, если p ≤ α.
Выборочные доли
p̂₁ = 180/300 = 0,6
p̂₂ = 80/150 = 0,5333
p̂ = 260/450 = 0,5778
Стандартная ошибка при H₀
SE = √(0,5778·0,4222·(1/300 + 1/150)) = 0,04939
Статистика критерия
z = (0,6 − 0,5333)/0,04939 = 1,35
Ответ
z = 1,35
|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).