Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). Тест имеет чувствительность 72% и специфичность 64%. Найдите отрицательное отношение правдоподобия LR−. Округлите до двух знаков после запятой.
Se = 72%Sp = 64%
LR− =
2.Статистика доказательной практикиСложная
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). Без препарата у 7% пациентов в течение года возникает определённый побочный эффект. Препарат повышает этот риск с относительным риском RR = 1,81. Найдите число пациентов, при лечении которых возникает один вред, NNH: сколько пациентов должны принимать препарат в течение года, чтобы у одного дополнительного пациента возник побочный эффект? Округлите вверх до целого числа пациентов.
Величина распределена нормально со средним 170 и стандартным отклонением 10. Какая доля P значений меньше 158?
μ = 170σ = 10x = 158
P =
5.Доверительные интервалыСредняя
Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 50 телефонов, среднее 100,5 h, известное стандартное отклонение 11 h. Модель 2: 50 телефонов, среднее 112 h, известное стандартное отклонение 12 h. Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.
Диаметры 15 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 11 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — верхняя граница σ. При df = 14 2,5 % распределения χ² лежит ниже 5,629 и 2,5 % — выше 26,119.
n = 15s = 11 µmχ² = 5,629, 26,119
σ = µm
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 100 студентов имеет средний балл 196,3 и выборочное стандартное отклонение 12. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 196,3s = 12n = 100
t =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Какой должна быть выборка, чтобы 95 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 1,5? Стандартное отклонение — 8. Найдите наименьший объём выборки n.
σ = 8E = 1,595%
n =
3Растворы
1.Статистика доказательной практики
Ответ: LR− = 0,44
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Отрицательное отношение правдоподобия
LR− = (1 − 0,72)/0,64 = 0,4375 ≈ 0,44
Ответ
LR− = 0,44
2.Статистика доказательной практики
Ответ: NNH = 18
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
Риск с препаратом
0,07·1,81 = 0,1267
Абсолютное увеличение риска
ARI = 0,1267 − 0,07 = 0,0567
Число пациентов, при лечении которых возникает один вред (NNH)
NNH = 1/0,0567 = 17,64 → 18
Ответ
NNH = 18
3.Описательная статистика
Ответ: s = 11,37
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = −1,2
Таблица нормального распределения
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 0,1151
Ответ
P = 0,1151
5.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = −5,57 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точечная оценка
x̄₁ − x̄₂ = 100,5 − 112 = −11,5
Стандартная ошибка
SE = √(11²/50 + 12²/50) = 2,302
Предельная ошибка
E = 2,576·2,302 = 5,93
Интервал
−11,5 ± 5,93 → [−17,43, −5,57]
Ответ
верхняя граница = −5,57 h
Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.
6.Доверительные интервалы
Ответ: σ = 17,35 µm
Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.
Сумма квадратов
(n − 1)s² = 14·11² = 1694
Границы для σ²
1694/26,119 = 64,86
1694/5,629 = 300,9
Граница для σ
σ = √300,9 = 17,35 µm
Ответ
σ = 17,35 µm
95 % интервал для σ: [8,053, 17,35] µm.
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −3,083
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 12/√100 = 12/10 = 1,2
Статистика критерия
t = (196,3 − 200)/1,2 = −3,083
Ответ
t = −3,083
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| > 1,984, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: n = 110
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).