Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). В рандомизированном исследовании 460 пациентов получили новое лечение, а 140 получили контрольное лечение. В таблице показано, сколько в каждой группе имели исход (нежелательное событие, например инсульт). Найдите абсолютное снижение риска ARR в процентах. Округлите до одного знака после запятой.
лечение: 44/460контроль: 22/140
ARR = %
2.Статистика доказательной практикиСложная
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). Проходят скрининг 10 000 человек тестом с чувствительностью 78% и специфичностью 78%. Распространённость заболевания 6%. Сколько людей с заболеванием тест пропускает (ложноотрицательные, FN)?
Величина распределена нормально со средним 170 и стандартным отклонением 5. Какая доля P значений меньше 173?
μ = 170σ = 5x = 173
P =
5.Доверительные интервалыСредняя
У 6 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее 7,8 и стандартное отклонение 5,5. Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для средней разности.
n = 6d̄ = 7,8sd = 5,595%t(5) = 2,571
верхняя граница = mmHg
6.Доверительные интервалыСложная
О доле бракованных изделий заранее ничего не известно. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 95 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,04?
p = 0,5E = 0,0495%
n =
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 250; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 10. Случайная выборка из 100 наблюдений имеет среднее 249,14. Проверьте H₀: μ = 250 против H₁: μ < 250. Найдите p-значение p.
μ₀ = 250σ = 10n = 100x̄ = 249,14H₁: μ < μ₀
p =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Односторонний z-критерий при α = 0,01 должен обнаруживать сдвиг среднего на 3 единиц с мощностью 80 %. Стандартное отклонение равно 24. Найдите минимальный объём выборки n.
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Частота событий
EER = 44/460 = 0,09565
CER = 22/140 = 0,1571
Абсолютное снижение риска
ARR = 0,1571 − 0,09565 = 0,06149 ≈ 6,1%
Ответ
ARR = 6,1%
2.Статистика доказательной практики
Ответ: FN = 132
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
С заболеванием и без него
10 000·0,06 = 600
10 000 − 600 = 9400
Ложноотрицательные
FN = 600·0,22 = 132
Ответ
FN = 132
3.Описательная статистика
Ответ: s = 8,408
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = 0,6
Таблица нормального распределения
Φ(0,6) = 0,7257
P = 0,7257
Ответ
P = 0,7257
5.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = 13,57 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Критическое значение
df = 5, t = 2,571
Предельная ошибка
E = 2,571·5,5/√6 = 5,773
Интервал
7,8 ± 5,773 → [2,027, 13,57]
Ответ
верхняя граница = 13,57 mmHg
6.Доверительные интервалы
Ответ: n = 601
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Выразите n
n = 1,96²·0,5·0,5/0,04² = 600,2
Округлите вверх
n = 601
Ответ
n = 601
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: p = 0,1949
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Статистика критерия
SE = σ/√n = 10/√100 = 1
z = (249,14 − 250)/1 = −0,86
Площадь хвоста
Φ(0,86) = 0,8051
1 − Φ(0,86) = 0,1949
p-значение
p = 0,1949
Ответ
p = 0,1949
p > 0,05, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 %.
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: n = 643
Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.