Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). В когортном исследовании подвергавшиеся воздействию люди дали 7000 человеко-лет и 228 новых случаев, а не подвергавшиеся — 2400 человеко-лет и 31 новых случаев. Найдите отношение показателей заболеваемости IRR (подвергавшиеся против не подвергавшихся). Округлите до двух знаков после запятой.
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). Лечение снижает риск события на 21% в относительном выражении (RRR = 21%). В группе пациентов риск без лечения (CER) за пять лет составляет 27%. Найдите число пациентов, которых необходимо лечить, NNT в течение пяти лет, чтобы предотвратить одно событие. Округлите вверх до целого числа пациентов.
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 100 и стандартным отклонением 10. Найдите z-оценку z для результата 110.
μ = 100σ = 10x = 110
z =
5.Доверительные интервалыСредняя
У 15 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее 7,4 и стандартное отклонение 6,9. Найдите нижнюю границу 95 % доверительного интервала для средней разности.
n = 15d̄ = 7,4sd = 6,995%t(14) = 2,145
нижняя граница = mmHg
6.Доверительные интервалыСложная
Диаметры 30 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 9,2 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — нижняя граница σ. При df = 29 2,5 % распределения χ² лежит ниже 16,047 и 2,5 % — выше 45,722.
n = 30s = 9,2 µmχ² = 16,047, 45,722
σ = µm
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 500; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 25. Случайная выборка из 100 наблюдений имеет среднее 493,85. Проверьте H₀: μ = 500 против H₁: μ ≠ 500. Найдите p-значение p.
μ₀ = 500σ = 25n = 100x̄ = 493,85H₁: μ ≠ μ₀
p =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Односторонний z-критерий для H₀: μ = 100 против H₁: μ < 100 проводится при α = 0.01 по выборке объёмом 100; стандартное отклонение известно и равно 25. В действительности среднее равно 93. Найдите мощность 1 − β критерия в процентах.
μ₀ = 100μ = 93σ = 25n = 100α = 0,01
1 − β = %
3Растворы
1.Статистика доказательной практики
Ответ: IRR = 2,52
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Показатели заболеваемости
подвергались воздействию: 228/7000 = 32,57 на 1000 человеко-лет
не подвергались воздействию: 31/2400 = 12,92 на 1000 человеко-лет
Отношение показателей
IRR = 32,57/12,92 = 2,522 ≈ 2,52
Ответ
IRR = 2,52
2.Статистика доказательной практики
Ответ: NNT = 18
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
Абсолютное снижение риска
ARR = 0,27·0,21 = 0,0567
Число пациентов, которых необходимо лечить (NNT)
NNT = 1/0,0567 = 17,64 → 18
Ответ
NNT = 18
Один и тот же относительный эффект даёт меньший NNT при более высоком исходном риске.
3.Описательная статистика
Ответ: s = 19,9
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (110 − 100)/10 = 1
Ответ
z = 1
5.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = 3,579 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Критическое значение
df = 14, t = 2,145
Предельная ошибка
E = 2,145·6,9/√15 = 3,821
Интервал
7,4 ± 3,821 → [3,579, 11,22]
Ответ
нижняя граница = 3,579 mmHg
6.Доверительные интервалы
Ответ: σ = 7,327 µm
Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.
Сумма квадратов
(n − 1)s² = 29·9,2² = 2455
Границы для σ²
2455/45,722 = 53,68
2455/16,047 = 153
Граница для σ
σ = √53,68 = 7,327 µm
Ответ
σ = 7,327 µm
95 % интервал для σ: [7,327, 12,37] µm.
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: p = 0,01389
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Статистика критерия
SE = σ/√n = 25/√100 = 2,5
z = (493,85 − 500)/2,5 = −2,46
Площадь хвоста
Φ(2,46) = 0,9931
1 − Φ(2,46) = 0,0069
p-значение
p = 2·0,0069 = 0,01389
Ответ
p = 0,01389
p ≤ 0,05, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 %.
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: 1 − β = 68,23 %
Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).