Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). В исследовании «случай—контроль» сравнивают 190 пациентов с заболеванием (случаи) и 320 людей без него (контроли). В таблице показано, сколько в каждой группе подвергались воздействию фактора риска. Найдите отношение шансов OR для воздействия. Округлите до двух знаков после запятой.
a = 75b = 93c = 115d = 227
OR =
2.Статистика доказательной практикиСложная
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). Проходят скрининг 10 000 человек тестом с чувствительностью 97% и специфичностью 81%. Распространённость заболевания 1%. Сколько ложноположительных результатов FP ожидается?
Величина распределена нормально со средним 170 и стандартным отклонением 12. Какая доля P значений больше 155,6?
μ = 170σ = 12x = 155,6
P =
5.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 25 элементов имеет среднее 16,5 и стандартное отклонение s = 1,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.
n = 25x̄ = 16,5s = 1,590%t(24) = 1,711
верхняя граница =
6.Доверительные интервалыСложная
О доле бракованных изделий заранее ничего не известно. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 95 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,05?
p = 0,5E = 0,0595%
n =
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 36 студентов имеет средний балл 103,2 и выборочное стандартное отклонение 8. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 103,2s = 8n = 36
t =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Выборка из 16 измерений имеет среднее 104,4. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 8. Найдите нижнюю границу L 90 % доверительного интервала для среднего.
x̄ = 104,4σ = 8n = 1690%
L =
3Растворы
1.Статистика доказательной практики
Ответ: OR = 1,59
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Шансы воздействия
случаи: 75/115 = 0,6522
контроли: 93/227 = 0,4097
Отношение шансов
OR = (75·227)/(93·115) = 1,592 ≈ 1,59
Ответ
OR = 1,59
OR выше 1: воздействие чаще встречается среди случаев.
2.Статистика доказательной практики
Ответ: FP = 1881
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
С заболеванием и без него
10 000·0,01 = 100
10 000 − 100 = 9900
Ложноположительные
FP = 9900·0,19 = 1881
Ответ
FP = 1881
Из 1978 положительных результатов только 97 относятся к больным (PPV 4,9%).
3.Описательная статистика
Ответ: s = 10,49
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = −1,2
Таблица нормального распределения
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 1 − 0,1151 = 0,8849
Ответ
P = 0,8849
5.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = 17,01
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 24, t = 1,711
Предельная ошибка
E = 1,711·1,5/√25 = 0,5133
Интервал
16,5 ± 0,5133 → [15,99, 17,01]
Ответ
верхняя граница = 17,01
6.Доверительные интервалы
Ответ: n = 385
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Выразите n
n = 1,96²·0,5·0,5/0,05² = 384,2
Округлите вверх
n = 385
Ответ
n = 385
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 2,4
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 8/√36 = 8/6 = 1,333
Статистика критерия
t = (103,2 − 100)/1,333 = 2,4
Ответ
t = 2,4
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| > 2,03, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: L = 101,1
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).