Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). В исследовании «случай—контроль» сравнивают 140 пациентов с заболеванием (случаи) и 620 людей без него (контроли). В таблице показано, сколько в каждой группе подвергались воздействию фактора риска. Найдите отношение шансов OR для воздействия. Округлите до двух знаков после запятой.
a = 49b = 74c = 91d = 546
OR =
2.Статистика доказательной практикиСложная
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). Без препарата у 7% пациентов в течение года возникает определённый побочный эффект. Препарат повышает этот риск с относительным риском RR = 2,02. Найдите число пациентов, при лечении которых возникает один вред, NNH: сколько пациентов должны принимать препарат в течение года, чтобы у одного дополнительного пациента возник побочный эффект? Округлите вверх до целого числа пациентов.
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 70 и стандартным отклонением 8. Найдите z-оценку z для результата 58.
μ = 70σ = 8x = 58
z =
5.Доверительные интервалыСредняя
Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 30 телефонов, среднее 116,5 h, известное стандартное отклонение 5 h. Модель 2: 100 телефонов, среднее 121,5 h, известное стандартное отклонение 12 h. Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.
Диаметры 21 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 4,2 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — нижняя граница σ. При df = 20 2,5 % распределения χ² лежит ниже 9,591 и 2,5 % — выше 34,17.
n = 21s = 4,2 µmχ² = 9,591, 34,17
σ = µm
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 81 студентов имеет средний балл 201,3 и выборочное стандартное отклонение 4. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 201,3s = 4n = 81
t =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Какой должна быть выборка, чтобы 90 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 3? Стандартное отклонение — 15. Найдите наименьший объём выборки n.
σ = 15E = 390%
n =
3Растворы
1.Статистика доказательной практики
Ответ: OR = 3,97
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Шансы воздействия
случаи: 49/91 = 0,5385
контроли: 74/546 = 0,1355
Отношение шансов
OR = (49·546)/(74·91) = 3,973 ≈ 3,97
Ответ
OR = 3,97
OR выше 1: воздействие чаще встречается среди случаев.
2.Статистика доказательной практики
Ответ: NNH = 15
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
Риск с препаратом
0,07·2,02 = 0,1414
Абсолютное увеличение риска
ARI = 0,1414 − 0,07 = 0,0714
Число пациентов, при лечении которых возникает один вред (NNH)
NNH = 1/0,0714 = 14,01 → 15
Ответ
NNH = 15
3.Описательная статистика
Ответ: s = 13,54
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (58 − 70)/8 = −1,5
Ответ
z = −1,5
5.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = −7,48 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точечная оценка
x̄₁ − x̄₂ = 116,5 − 121,5 = −5
Стандартная ошибка
SE = √(5²/30 + 12²/100) = 1,508
Предельная ошибка
E = 1,645·1,508 = 2,48
Интервал
−5 ± 2,48 → [−7,48, −2,52]
Ответ
нижняя граница = −7,48 h
Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.
6.Доверительные интервалы
Ответ: σ = 3,213 µm
Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.
Сумма квадратов
(n − 1)s² = 20·4,2² = 352,8
Границы для σ²
352,8/34,17 = 10,32
352,8/9,591 = 36,78
Граница для σ
σ = √10,32 = 3,213 µm
Ответ
σ = 3,213 µm
95 % интервал для σ: [3,213, 6,065] µm.
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 2,925
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444
Статистика критерия
t = (201,3 − 200)/0,4444 = 2,925
Ответ
t = 2,925
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| > 1,99, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: n = 68
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).