Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). В исследовании «случай—контроль» сравнивают 400 пациентов с заболеванием (случаи) и 300 людей без него (контроли). В таблице показано, сколько в каждой группе подвергались воздействию фактора риска. Найдите отношение шансов OR для воздействия. Округлите до двух знаков после запятой.
a = 309b = 159c = 91d = 141
OR =
2.Статистика доказательной практикиСложная
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). Скрининговый тест имеет чувствительность 92% и специфичность 88%. Он применяется в популяции с распространённостью 1%. Найдите прогностическую ценность положительного результата PPV в процентах. Округлите до одного знака после запятой.
Величина распределена нормально со средним 170 и стандартным отклонением 8. Какая доля P значений меньше 154?
μ = 170σ = 8x = 154
P =
5.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 13 элементов имеет среднее 20,5 и стандартное отклонение s = 10. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для среднего.
n = 13x̄ = 20,5s = 1099%t(12) = 3,055
E =
6.Доверительные интервалыСложная
О доле бракованных изделий заранее ничего не известно. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 95 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,025?
p = 0,5E = 0,02595%
n =
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 120; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 3. Случайная выборка из 36 наблюдений имеет среднее 119,3. Проверьте H₀: μ = 120 против H₁: μ < 120. Найдите p-значение p.
μ₀ = 120σ = 3n = 36x̄ = 119,3H₁: μ < μ₀
p =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
В исследовании выздоравливают 175 из 250 пациентов, получавших лечение A, и 66 из 100 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 175n₁ = 250x₂ = 66n₂ = 100
z =
3Растворы
1.Статистика доказательной практики
Ответ: OR = 3,01
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Шансы воздействия
случаи: 309/91 = 3,396
контроли: 159/141 = 1,128
Отношение шансов
OR = (309·141)/(159·91) = 3,011 ≈ 3,01
Ответ
OR = 3,01
OR выше 1: воздействие чаще встречается среди случаев.
2.Статистика доказательной практики
Ответ: PPV = 7,2 %
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
Чем ниже распространённость, тем ниже PPV того же теста.
3.Описательная статистика
Ответ: s = 10,76
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = −2
Таблица нормального распределения
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Ответ
P = 0,02275
5.Доверительные интервалы
Ответ: E = 8,473
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 12, t = 3,055
Предельная ошибка
E = 3,055·10/√13 = 8,473
Ответ
E = 8,473
6.Доверительные интервалы
Ответ: n = 1537
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Выразите n
n = 1,96²·0,5·0,5/0,025² = 1537
Округлите вверх
n = 1537
Ответ
n = 1537
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: p = 0,08076
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Статистика критерия
SE = σ/√n = 3/√36 = 0,5
z = (119,3 − 120)/0,5 = −1,4
Площадь хвоста
Φ(1,4) = 0,9192
1 − Φ(1,4) = 0,0808
p-значение
p = 0,08076
Ответ
p = 0,08076
p > 0,05, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 %.
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: z = 0,73
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Выборочные доли
p̂₁ = 175/250 = 0,7
p̂₂ = 66/100 = 0,66
p̂ = 241/350 = 0,6886
Стандартная ошибка при H₀
SE = √(0,6886·0,3114·(1/250 + 1/100)) = 0,05479
Статистика критерия
z = (0,7 − 0,66)/0,05479 = 0,73
Ответ
z = 0,73
|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).