Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). В исследовании «случай—контроль» сравнивают 270 пациентов с заболеванием (случаи) и 670 людей без него (контроли). В таблице показано, сколько в каждой группе подвергались воздействию фактора риска. Найдите отношение шансов OR для воздействия. Округлите до двух знаков после запятой.
a = 189b = 362c = 81d = 308
OR =
2.Статистика доказательной практикиСложная
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). У пациента вероятность заболевания до теста составляет 30%. Тест с чувствительностью 94% и специфичностью 76% даёт результат: отрицательна. Найдите вероятность заболевания после теста p′ в процентах. Округлите до одного знака после запятой.
Величина распределена нормально со средним 50 и стандартным отклонением 8. Какая доля P значений меньше 46?
μ = 50σ = 8x = 46
P =
5.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 21 элементов имеет среднее 109 и стандартное отклонение s = 15. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.
n = 21x̄ = 109s = 1595%t(20) = 2,086
верхняя граница =
6.Доверительные интервалыСложная
Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 6 участков, средний урожай 36 kg, стандартное отклонение 2,5 kg. Группа участков 2: 6 участков, среднее 45,5 kg, стандартное отклонение 9,5 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 16 студентов, средний балл 106, стандартное отклонение 8,5. Группа 2: 6 студентов, средний балл 91,5, стандартное отклонение 9. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).
n₁ = 16x̄₁ = 106s₁ = 8,5n₂ = 6x̄₂ = 91,5s₂ = 9
t =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Односторонний z-критерий при α = 0,01 должен обнаруживать сдвиг среднего на 1 единиц с мощностью 90 %. Стандартное отклонение равно 5. Найдите минимальный объём выборки n.
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Шансы воздействия
случаи: 189/81 = 2,333
контроли: 362/308 = 1,175
Отношение шансов
OR = (189·308)/(362·81) = 1,985 ≈ 1,99
Ответ
OR = 1,99
OR выше 1: воздействие чаще встречается среди случаев.
2.Статистика доказательной практики
Ответ: p′ = 3,3 %
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
Отношение правдоподобия
LR− = (1 − 0,94)/0,76 = 0,07895
Шансы до теста
0,3/(1 − 0,3) = 0,4286
Шансы после теста
0,4286·0,07895 = 0,03383
Вероятность после теста
p′ = 0,03383/(1 + 0,03383) = 0,03273 ≈ 3,3%
Ответ
p′ = 3,3%
3.Описательная статистика
Ответ: s = 11,81
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = −0,5
Таблица нормального распределения
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 0,3085
Ответ
P = 0,3085
5.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = 115,8
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 20, t = 2,086
Предельная ошибка
E = 2,086·15/√21 = 6,828
Интервал
109 ± 6,828 → [102,2, 115,8]
Ответ
верхняя граница = 115,8
6.Доверительные интервалы
Ответ: E = 8,935 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Объединённое стандартное отклонение
sp² = (5·2,5² + 5·9,5²)/10 = 48,25
sp = 6,946
Предельная ошибка
E = 2,228·6,946·√(1/6 + 1/6) = 8,935
Ответ
E = 8,935 kg
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 3,511
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Объединённая дисперсия
sp² = (15·8,5² + 5·9²)/20 = 74,44
sp = 8,628
Стандартная ошибка
SE = 8,628·√(1/16 + 1/6) = 4,13
Статистика критерия
t = (106 − 91,5)/4,13 = 3,511
Ответ
t = 3,511
При df = 20 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,086; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: n = 326
Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.