Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). В рандомизированном исследовании 240 пациентов получили новое лечение, а 880 получили контрольное лечение. В таблице показано, сколько в каждой группе имели исход (нежелательное событие, например инсульт). Найдите число пациентов, которых необходимо лечить, NNT, чтобы предотвратить одно событие. Округлите вверх до целого числа пациентов.
лечение: 7/240контроль: 62/880
NNT =
2.Статистика доказательной практикиСложная
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). У пациента вероятность заболевания до теста составляет 10%. Тест с чувствительностью 90% и специфичностью 68% даёт результат: положительна. Найдите вероятность заболевания после теста p′ в процентах. Округлите до одного знака после запятой.
Величина распределена нормально со средним 100 и стандартным отклонением 10. Какая доля P значений меньше 80?
μ = 100σ = 10x = 80
P =
5.Доверительные интервалыСредняя
99 % доверительный интервал для среднего, построенный по 64 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 2,9. Какой будет предельная ошибка E₂, если в том же исследовании использовать 576 наблюдений?
99%n₁ = 64E₁ = 2,9n₂ = 576
E₂ =
6.Доверительные интервалыСложная
Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 8 участков, средний урожай 19 kg, стандартное отклонение 1 kg. Группа участков 2: 6 участков, среднее 8 kg, стандартное отклонение 1 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 7 студентов, средний балл 24,5, стандартное отклонение 2,5. Группа 2: 5 студентов, средний балл 19,1, стандартное отклонение 8. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).
n₁ = 7x̄₁ = 24,5s₁ = 2,5n₂ = 5x̄₂ = 19,1s₂ = 8
t =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Односторонний z-критерий для H₀: μ = 500 против H₁: μ < 500 проводится при α = 0.01 по выборке объёмом 25; стандартное отклонение известно и равно 5. В действительности среднее равно 497.9. Найдите вероятность ошибки второго рода β в процентах.
μ₀ = 500μ = 497,9σ = 5n = 25α = 0,01
β = %
3Растворы
1.Статистика доказательной практики
Ответ: NNT = 25
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Частота событий
EER = 7/240 = 0,02917
CER = 62/880 = 0,07045
Число пациентов, которых необходимо лечить (NNT)
ARR = 0,07045 − 0,02917 = 0,04129
NNT = 1/0,04129 = 24,22 → 25
Ответ
NNT = 25
Лечение 25 пациентов предотвращает примерно одно событие.
2.Статистика доказательной практики
Ответ: p′ = 23,8 %
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
Отношение правдоподобия
LR+ = 0,9/(1 − 0,68) = 2,813
Шансы до теста
0,1/(1 − 0,1) = 0,1111
Шансы после теста
0,1111·2,813 = 0,3125
Вероятность после теста
p′ = 0,3125/(1 + 0,3125) = 0,2381 ≈ 23,8%
Ответ
p′ = 23,8%
3.Описательная статистика
Ответ: s = 13,37
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = −2
Таблица нормального распределения
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Ответ
P = 0,02275
5.Доверительные интервалы
Ответ: E₂ = 0,9667
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Отношение предельных ошибок
E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(64/576) = 0,3333
Новая предельная ошибка
E₂ = 2,9·0,3333 = 0,9667
Ответ
E₂ = 0,9667
6.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = 12,18 kg
Интервал для разности: оценка ± критическое значение × стандартная ошибка. Для двух независимых средних при известных σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) и z. При равных неизвестных дисперсиях: объединённое s_p и t с n₁ + n₂ − 2 степенями свободы. Для парных данных работайте с разностями: d̄ ± t·s_d/√n.
Объединённое стандартное отклонение
sp² = (7·1² + 5·1²)/12 = 1
sp = 1
Предельная ошибка
E = 2,179·1·√(1/8 + 1/6) = 1,177
Интервал
11 ± 1,177 → [9,823, 12,18]
Ответ
верхняя граница = 12,18 kg
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 1,702
Проверка гипотезы: статистика критерия = (оценка − значение при H₀)/(стандартная ошибка при H₀). p-значение — это вероятность при условии истинности H₀ получить статистику, не менее экстремальную, чем наблюдаемая: площадь одного хвоста для односторонней H₁ и удвоенная площадь хвоста для двусторонней H₁. Отвергайте H₀, если p ≤ α.
Объединённая дисперсия
sp² = (6·2,5² + 4·8²)/10 = 29,35
sp = 5,418
Стандартная ошибка
SE = 5,418·√(1/7 + 1/5) = 3,172
Статистика критерия
t = (24,5 − 19,1)/3,172 = 1,702
Ответ
t = 1,702
При df = 10 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,228; |t| меньше, поэтому H₀ не отвергается.
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: β = 58,94 %
Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).