Начертите таблицу 2 × 2 и обозначьте a, b, c и d, прежде чем считать.
Читайте чувствительность и специфичность по столбцам, прогностические ценности по строкам.
Для другой распространённости представьте 10 000 человек и заполните таблицу по Se, Sp и распространённости.
Для отношения правдоподобия переведите вероятность в шансы, умножьте и переведите обратно.
Для исследования сначала найдите EER и CER; затем RR = EER/CER, ARR = CER − EER и NNT = 1/ARR с округлением вверх.
Описательная статистика
Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Доверительные интервалы
σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n
Метод
Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
2Тренировочные задачи
1.Статистика доказательной практикиСредняя
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). В когорте группы людей наблюдали в течение разного времени (см. таблицу: число людей и годы наблюдения для каждой). За время наблюдения возникло 114 новых случаев. Найдите показатель заболеваемости IR на 1000 человеко-лет. Округлите до одного знака после запятой.
480 × 0,5 годы360 × 2,5 годы550 × 2,5 годы114 новые случаи
IR = на 1000 человеко-лет
2.Статистика доказательной практикиСложная
Учебное упражнение (вымышленные значения, не клиническая рекомендация). Проходят скрининг 10 000 человек тестом с чувствительностью 96% и специфичностью 90%. Распространённость заболевания 27%. Сколько ложноположительных результатов FP ожидается?
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 170 и стандартным отклонением 15. Найдите z-оценку z для результата 155.
μ = 170σ = 15x = 155
z =
5.Доверительные интервалыСредняя
Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 30 телефонов, среднее 76 h, известное стандартное отклонение 3 h. Модель 2: 80 телефонов, среднее 75,5 h, известное стандартное отклонение 18 h. Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 3. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 0,5?
σ = 3E = 0,599%
n =
7.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 100 студентов имеет средний балл 499,1 и выборочное стандартное отклонение 10. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 499,1s = 10n = 100
t =
8.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
В исследовании выздоравливают 24 из 80 пациентов, получавших лечение A, и 42 из 250 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 24n₁ = 80x₂ = 42n₂ = 250
z =
3Растворы
1.Статистика доказательной практики
Ответ: IR = 45,3 на 1000 человеко-лет
Отношения правдоподобия и показатели риска: LR+ = чувствительность/(1 − специфичность), LR− = (1 − чувствительность)/специфичность. В исследовании EER и CER — частоты событий с лечением и без него: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER и NNT = 1/ARR, с округлением вверх. В исследовании «случай—контроль» можно использовать только отношение шансов OR = ad/(bc). Показатель заболеваемости = новые случаи/человеко-время.
Человеко-годы
PY = 480·0,5 + 360·2,5 + 550·2,5 = 2515
Показатель заболеваемости
IR = 114/2515·1000 = 45,3 на 1000 человеко-лет
Ответ
IR = 45,3 на 1000 человеко-лет
2.Статистика доказательной практики
Ответ: FP = 730
Прогностические ценности зависят от распространённости: PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) и NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). С отношениями правдоподобия: шансы до теста = p/(1 − p), шансы после теста = шансы до теста × LR, вероятность = шансы/(1 + шансы). Для населения N истинно положительные = N·p·Se и ложноположительные = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), с округлением вверх.
С заболеванием и без него
10 000·0,27 = 2700
10 000 − 2700 = 7300
Ложноположительные
FP = 7300·0,1 = 730
Ответ
FP = 730
Из 3322 положительных результатов только 2592 относятся к больным (PPV 78%).
3.Описательная статистика
Ответ: s = 14,3
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (155 − 170)/15 = −1
Ответ
z = −1
5.Доверительные интервалы
Ответ: E = 5,373 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точечная оценка
x̄₁ − x̄₂ = 76 − 75,5 = 0,5
Стандартная ошибка
SE = √(3²/30 + 18²/80) = 2,086
Предельная ошибка
E = 2,576·2,086 = 5,373
Ответ
E = 5,373 h
Интервал содержит 0, поэтому данные не показывают значимого различия.
6.Доверительные интервалы
Ответ: n = 239
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (2,576·3/0,5)² = 238,9
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 239
Ответ
n = 239
7.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −0,9
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 10/√100 = 10/10 = 1
Статистика критерия
t = (499,1 − 500)/1 = −0,9
Ответ
t = −0,9
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| < 1.984, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
8.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: z = 2,569
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Выборочные доли
p̂₁ = 24/80 = 0,3
p̂₂ = 42/250 = 0,168
p̂ = 66/330 = 0,2
Стандартная ошибка при H₀
SE = √(0,2·0,8·(1/80 + 1/250)) = 0,05138
Статистика критерия
z = (0,3 − 0,168)/0,05138 = 2,569
Ответ
z = 2,569
|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).